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Le déplacement élémentaire du planimètre peut être
ramené à une rotation dû du bras polaire et àunerotalion
du bras moteur égale à do—df.
Si alors le bras polaire tourne de 40 autour du pôle p,
Le petit pignon, et par suite la sphère O, tourneront autour
LES PLANIMÈTRES. 67 de l’axe horizontal pC de dW', tel que
R' dû = r dY.
Soit « l’angle du bras moteur et de la courbe décrite
ee
He one
par son point d’articulation avec le braspolaire; le cylindre. dont l’axe est resté parallèle à CF, tournera de dw, tel
que o dw = R sinz dW,
ou p du — sin à dO, et comme ds = di; ce du = È ds sin x
En se reportant alors à la formule
dA = l' ds sinx + ae.
d’où
Comme précédemment, il y a deux cas à examiner suivant que le pôle est intérieur ou extérieur à la courbe,
Pour qu'il n’y ait pas glissement, il faut que l’axe du cylindre et l’axe de rotation de la sphère se trouvent rigoureusement dans un même plan,
Dans un premier modèle construit par Amsler, la sphère O entraînait une roulette intégrante qui se trouvait soumise dès lors à des mouvements de rotation et de glissement. Comme dans le cas précédent, la sphère était menée par un pignon conique, mais son axe élait incliné sur
l'horizontale.
PLANIMÈTRE J. THOMSON.
On peut encore réaliser de différentes façons des appareils utilisant le principe des planimètres à rotation.
J. Thomson à construit des instruments dans lesquels la rotation du cylindre enregistreur, horizontal, a lieu par l’intefmédiaire d’une sphère entraînée elle-même par la rotation d’un plateau tournant d’un angle proportionnel à dx, Cette sphère se déplace suivant un diamètre du plateau parallèle à l’axe du cylindre, à l’aide d'une fourche formant l’extrémité d’un bras porte-style. Le déplacement de ce bras étant constamment égal à la variation de l’or-
donnée de celte courbe, on peut s'arranger de façon que
la distance du point de contact de la sphèrè sur le plateau au centre de ce dernier soit égale à cette ordonnée. Soient R le rayon de la sphère, à la distance de son point de contact au centre du disque, K dx la rotation élémentaire de celui-ci et dW celle de la sphère; on
aura KR dr Raw.
Pendant ce mouvement, la sphère roule sur le cylindre
Fig. 46.
le long de la génératrice de contact et entraîne sa rotation autour de l’axe aa.
On a alors 0 dw = R dw,
d’où finalement p du =K y dax,
puisque à — y.
L’angle w dont le cylindre a tourné donnera donc la
fr dx.
D'une facon générale, si à est une fonction-de x,
0 — f(x), on peut à l’aide de ces appareils, déterminer la
valeur de l'intégrale
valeur de l'intégrale
rte) dæ,
Dans les appareils construits par J. Thomson, le plateau a une inclinaison de 45° sur l’horizon, de telle sorte que l'effort seul de la pesanteur produit les mouvements d’entraînement. Les planimètres de cette catégorie sont d’une construction compliquée, mais sont caractérisés par ‘la
suppression presque complète des frottements.
