APPLICATION DU PLANIMÈTRE AU CALCUL D'INTÉGRALES
Les différents planimètres que nous venons d'étudier permettent d'évaluer par une simple opération l'aire d’un
contour fermé, c’est-à-dire de déterminer la valeur de
JE: dm = [ f(æ) de,
si la courbe, rapportée à des axes rectangulaires, est don-
l'intégrale
née par l'équation J = f(x).
Construisons maintenant une courbe ayant mêmes abscisses, mais dont les ordonnées soient les carrés des : ordonnées correspondantes de la première courbe. On peut alors avec le planimètre déterminer l’aire de cette
deuxième courbe qui a pour valeur
12 dr = 2MoxtA),
c’est-à-dire le double du moment de l'aire A par rapport a OT.
Construisons dans les mêmes conditions une troisième courbe ayant pour ordonnées 3: son aire aura pour
valeur,
fr CES LA CAD
c’est-à-dire trois fois la valeur du moment d'inertie de A par rapport à ox.
On peut donc avec un planimètre ordinaire obtenir, par trois mesures successives, les valeurs de À, M;z (A)
Cie CA):
Planimètres spéciaux.
PLANIMÈTRE RADIAL DE DURAND-AMSLER (1).
On construit depuis quelque temps des appareils enregistreurs dans lesquels les diagrammes sont tracés dans un système de coordonnées polaires. À cet ellet, un disque en papier tourne autour de son centre d’un mouvement uniforme pendant qu'un style se meut, soit en ligne droite, soit suivant un arc de cercle, en s’éloignant ou en se rapprochant du centre.
Ces instruments, très répandus en Amérique, sont employés pour les mesures du travail mécanique, de la température, de l’énergie électrique.
Les planimètres ordinaires ne pouvant être utilisés pour l'évaluation des diagrammes de ce genre, le professeur
W.-F. Durand, de l’Université de Leland-Stanford, a
(') Ce planimètre a été décrit dans la Zeitschrift für Instrumentenkunde, juillet 1911.
proposé en 1908; à l'American Society of Mechanical Engineers, un planimètre permettant de déterminer rapi-
dement la valeur de l’ordonnée moyenne d'un diagramme.
L'appareil comprend deux Uiges parallèles G, CG, pouvant
coulisser dans un poids À placé au centre du diagramme : ces deux tiges peuvent en même temps tourner autour de ce centre. Elles sont réunies à l’une de leurs extrémités par un cadre D portant la roulette-enregistreuse F et le traçoir avec lequel on suit le contour de la courbe. La droite passant par le centre de rotation et par la pointe du traçoir forme à chaque instant le rayon vecteur et est parallèle à la direction des deux tuges : enfin l’axe de la roulette doit aussi être rigoureusement parallèle à cette direction.
Si l’on suit avec le traçoir le contour d’une courbe fer-
mée, l’indication de la roulette est proportionnelle au produit de la valeur moyenne du rayon vecteur par l’angle « compris entre les rayons vecteurs extrêmes ; en divisant par « le nombre relevé au compteur de la roulette, on obtient donc la valeur de l’ordonnée moyenne du diagramme.
Pour faire usage de l’instrument on tourne la molette G jusqu’à ce que la pointe centrale dépasse le plan inférieur du poids ; on l’introduit alors dans le trou qui se trouve au centre du disque de papier, et trois autres pointes portées par le poids assurent la fixité de l’appareil sur la
feuille du diagramme.
- PLANIMÈTRE DE BEUVIÈRE.
Ce planimètre, dont il existe deux modèles légèrement différents dans la collection du Conservatoire des Arts et Métiers, a été imaginé par Beuvière, chef des travaux du cadastre.
On partage la surface dont on cherche l’aire en un cer-
Fig. 48.
tain nombre de bandes de même hauteur; on obuent ainsi des trapèzes mixtilignes abcd auxquels on substitue des
rectangles équivalents; il suffit pour cela de mener une
parallèle mn aux côtés ab, cd, telle que la somme algébrique des aires des surfaces ombrées à l’intérieur et à
l'extérieur du contour soit nulle, et de mesurer la longueur mA.
L'appareil comporte un chariot muni d’une plaque de verre, sur laquelle sont gravées des lignes parallèles à l’aide desquelles on obtient la division par bandes. Celles-ci en
réalité ne sont pas tracées sur le dessin. Une roue
Fig. 50.
graduée R, dont le plan est parallèle à la plaque de verre, est portée par le chariot et roule sur une règle LL parallèle aux bandes. |
Pour obtenir la longueur de chaque bande, on note, à
LES PLANIMÈTRES. m5
l’aide des divisions de la roue, le chemin qu’elle à parcouru quand le trait 77 de la plaque s’est déplacé par exemple de m en nñn.
PLANIMÈTRE SPHÉRIQUE D'AMSLER.
T'héorie. — Considérons (/ig. 51) une sphère de rayon R et deux plans parallèles dont lun passe par le centre. Si par le diamètre Oz perpendiculaire à ces plans
on mène deux autres plans, on obtient trois ares de grand
Hirañre
cercle AB, AC, BD, qui, avec l’arc de petit cercle CD, forment un rectangle sphérique. Par les points À et B faisons passer deux arcs de grand cercle AE, BF dont les
plans fassent le même angle d avec le plan du grand
cercle AB. On a un second quadrilatère sphérique ABFE ayant même surface que le rectangle ABDC.
Évaluons l’aire du quadrilatère ABFE.
On a surf. ABFE = surf. ABDC = 5sRsina.
Or, dans le triangle sphérique AEH, rectangle en H, l’arc de grand cercle EH ayant pour angle au centre l'angle à, on a
sinx = sin À sin,
d’où finalement
(1) surf. ABFE = sR sin À sin,
Soit maintenant AC ( fig. 52) un arc de grand cercle de longueur constante, auquel est reliée une roulette dont
le plan est normal à l'arc AC au point D.
Fig. 52.
Supposons que cel arc se déplace sur sa sphère de rayon R et considérons deux positions infiniment voisines AC, A'C'; comme dans la théorie du planimètre polaire
servant à la mesure des surfaces planes, nous allons évaluer
l’aire balayée par l’arc AC dans son déplacement élémentaire.
Soient ds l’arc de grand cercle DD’ parcouru par le point de contact de la roulette, Ÿ l’angle de AG avec DD".
Le déplacement élémentaire peut être considéré comme produit par une translation, sur la surface de la sphère, de AC en AC, faisant l’angle d avec DD, suivie d’une rotation dY autour de D' amenant A,C, à la position A/C7.
La surface des triangles sphériques AA/A,, CCC, ‘étant infiniment petite du deuxième ordre, peut être négligée
et l’on a
surf. AA°C!°CG = surf, AA; D'D + surf. DD'C,C ur D'C Cf surf D'A'A,:
S1 l’on désigne par À,, À, les angles au centre des arcs de
grand cercle DA et DC, on a, d’après la relation (1),
surf, AA'C'C = R ds sind sinA;+ R ds sind sin» + R2(1— cos 2) db — R?(1— cos A1) dY, ou dE = R(sin 1 + sin A2) ds sind + R? db(cos À, — cos 2). Or ds sind représente la projection du chemin DD’ sur le plan de la roulette, c’est-à-dire l'arc développé sur sa circonférence dans la rotation autour de son axe, pendant le
déplacement élémentaire; soit 5 dw la longueur de cet arc.
La’relation précédente devient dE = Ro(sinh, + sin) dw + R?(cosA1 — cos 2) dy,
et, en intégrant,
E = Ro(sinh + sind) [ do + G [ ay,
en désignant par C la quantité R? (cos À, — cos L).
{do est l’angle dont a tourné la roulette; sa valeur est
donnée par le compteur de l'appareil comme dans le planimètre polaire ordinaire. Elle permet donc d'évaluer l'aire Ë. Or quand l'arc AC parcourt une surface déterminée, en revenant à son point de départ, les points A et CG décrivent sur la sphère deux courbes fermées S,, Sz. Soient 5, et s, les aires de ces courbes.
Si, pendant que le point C décrit S;, le point A parcourt
seulement une portion de la courbe S, et revient finalement à son point de départ, f à
La surface sphérique abcd comprise entre S:, l’arc ab
et les enveloppes ad, bc des positions successives de l’arc
de grand cercle AC, est balayée deux fois et en sens inverse. L'aire mesurée se réduit donc à celle de la
courbe S:, et l’on a
Si maintenant le point À parcourt entièrement la
courbe S, quand C décrit la courbe S», fa? est égal
à 27, et È mesure l’aire de la surface sphérique comprise
entre les deux courbes.
Fig. 54.
En considérant comme surface de la courbe S, la surface dmcZ, on a
En général on aura
D—— Co — 01 + K.
Remarque. — Dans certains cas particuliers on pourra
également avoir (a) 2 + o1+ 09 = AT R?,
car une courbe fermée tracée sur une sphère la partage en deux parties dont chacune peut être considérée comme étant la surface de la courbe.
L'égalité (x) suppose alors qu’on prend pour surface de la courbe S, la portion de sphère dmc.
L'appareil imaginé par Amsler présente des dispositions analogues à celles du planimètre polaire qu’il a construit
pour la détermination de l’aire des surfaces planes. Les
axes qui dans ce dernier cas sont perpendiculaires au plan du dessin (axe du traçoir, de la charnière, et de la pointe du pôle) doivent dans le planimètre sphérique être normaux à la surface dela sphère. Dans ce but et pour faciliter le maniement de l’appareil, les deux bras sont munis en
leur milieu d’une charnière qui est perpendiculaire à leur
axe longitudinal et à l’axe de l'articulation C qui les réunit. Le point de contact de la roulette doit en outre se trouver sur l’arc de grand cercle passant par G et par la pointe du traçoir.
Les lectures se font à l’aide d’un appareil compteur
identique à celui d’un planimètre ordinaire.
STÉRÉOGRAPHOMÈTRE.
Le stéréographomètre, dont il existe un modèle dans la collection du Conservatoire des Arts et Métiers, a été
imaginé par Amsler; il est destiné à évaluer l'aire d’une
surface sphérique dont on connaît la projection stéréographique.
L'appareil comprend essentiellement (fig. 56) trois uges, a,b, p et deux roues dentéesR,, R;, mobiles autour de leurs centres et engrenant l’une sur l’autre : elles sont montées
sur un même support solidaire de la tige p, qui est perpen-
diculaire à la ligne des centres CG. La roue R, a un diamètre double de celui de R, et cette dernière porte une roulette intégrante R reposant sur la feuille du dessin comme dans un intésromètre à moments ordinaire. Cette roulette est disposée de telle sorte que son axe fasse constamment avec la ligne C, P un angle égal à 2.
La tige a peut glisser suivant sa longueur et toujours
dans une direction perpendiculaire à p; à cet effet, elle est maintenue par des galets gg... dont les axes sont fixés à une pièce M solidaire de la tige p.
La roue R, est reliée invariablement à la tige D, et cette dernière passe librement dans un collier S fixé à a et mobile autour de l’axe perpendiculaire au plan de la figure passant par l’intersection des deux droites.
L’extrémité F de la tige «a est munie d’un style avec lequel on suit le contour de la courbe donnée.
Tout l’ensemble peut tourner autour d’une pointe P, fixée au support M, et qui sert de pôle à l'instrument : ce point est située sur la perpendiculaire abaissée du centre C, sur la tige a. Pour effectuer une mesure, on place le pôle P au pied de la perpendiculaire abaissée du centre de projection stéréographique sur le plan du dessin, et avec le style F, on parcourt entièrement le contour s ; la différence des lectures indiquées par la roulette permet de calculer l’aire de la surface sphérique dont s est la
projection stéréographique.
Théorie. — La théorie de l'appareil, donnée par Amsler, peut s'établir de la façon suivante (!):
Considérons (fig. 57) une sphère de diamètre PC, tangente en P au plan du dessin sur lequel est tracée la projection stéréographique.
Il s’agit de déterminer l'aire de la surface sphérique
comprise à l’intérieur de la courbe $s', intersection de la
(!) Deutsche Mathematiker-Vereinigung, Katalog Mathematischer Modelle, Apparate und Instrumentie, 1892.
sphère avec le cône de sommet C, ayant pour directrice la courbe s.
Si l’on désigne par x l'angle PMF' et par © l’angle que
le plan PC;F" fait avec un plan fixe quelconque passant
Fig. 57.
ou, puisque 1
(1) A— — J Cos2u dy,
l'intégration s'étendant à la totalité du contour de la surface s’. |
Rabattons les deux plans infiniment voisins PCF, PCF, sur le plan de projection, autour de leurs traces respectives PF, PF,. Les deux triangles PCF, PCF, occupent, après rabattement, les positions qu'aurait prises le triangle PCF de la figure 56 avant et après la rotation
do de l’instrument autour du pôle P.
Supposons (/ig. d6) que, pendant cette rotation, la pointe F soit venue en F, sur le contour s et voyons quel a été le développement correspondant de la roulette FR.
Le déplacement élémentaire FF, peut être considéré comme produit par la rotation de de la tige « autour du
pôle P et par la translation F,F, de cette même uge suivant sa propre direction.
Du fait du premier mouvement, le point de contact de
mm mem mie eee ne ee = = = «
ve
la roulette décrit sur la feuille de dessin un arc de cercle élémentaire de longueur PR de. Si l’on désigne par & l'angle PRG, le développement correspondant de la roulette est par suite PR cos ado.
Dans le second déplacement, de F, en F,;, la uge b
tourne de dw autour du centre C;:; la roue R, tourne de 2 dw et la roulette R développe 2RCG, do.
Le développement total de celle-ci est donc
du = PR cos do + 2 RC; du.
Or dans le triangle PRH, on a PR cosa = RC: + G H = RC; + PC; cos2w ; d’où, pour la valeur du développement, Fe = RC do + p cos2w do + 2 RO, du,
el, en intégrant,
TA RC f de + p f cosau de+aRG f du.
Lorsque la pointe F a parcouru entièrement le contour s, la tige ba repris, par rapport aux autres parties de l’ins-
trument, la même position relative qu’au début de l’opé-
ration : par suite f do = 0.
D'autre part / de est nul ou égal à 27, suivant que le
pôle P est extérieur ou intérieur à la courbe 5.
On a alors, suivant les cas,
u = p f cos2v do,
u = p f cos do + 27rRG:.
Si l’on se reporte à l'équation (1) donnant l'aire A’ de
la surface sphérique, on a finalement
A! — E U. ou k RC:
AU Me scies 4 2 AU RC Les quantités À et r/2—"! sont des constantes de l’ap-
pareil.
LES INTÉGROMÈTRES.
Principe des intégromètres.
Nous avons vu que pour déterminer, à l’aide du plani-
mètre, la valeur des intégrales
fr dx el fr Ars à
il était nécessaire de construire préalablement des courbes auxiliaires dont les ordonnées étaient respectivement les carrés ou les cubes des ordonnées de la courbe primitive.
Les appareils généralement appelés intégromètres (quelquefois planimètres à moments) permettent de
calculer en une seule opération les trois intégrales
fr dæ, 1 dx, fs dx ;
ils peuvent même être disposés pour donner la valeur de l'intégrale f y: dx, c’est-à-dire pour calculer, par exemple,
le moment d'inertie des corps de révolution par rapport à leur axe géométrique ou encore par rapport à tout autre axe.
Principe des intégromètres. — Considérons (fig. 59) le bras moteur MM! d’un planimètre linéaire.
LES INTÉGROMÈTRES. 8-:
MS MSI,
y?= l?sin?a, ms ya Jrsinta.
L'évaluation des intégrales successives
fra [ER ford,
revient donc à celle de
mr fsinte TANT. . te fsinra dr,
étendue à la totalité du contour de la courbe fermée. Transformons sin”? 4 en une somme de sinus d’angles
égaux à des multiples de x ou a leurs compléments.
