AUTRE APPAREIL DE HELLE-SHAW

Helle-Shaw a donné d’autres appareils, en particulier un intégromètre dans lequel le principe sphère et roulette est utilisé de la façon suivante :

Soient une sphère S (fig. 68) mobile autour d’un de

LES INTÉGROMÈTRES. 103

ses diamètres horizontaux d, d', et deux roulettes À, B ayant leur point de contact sur un grand cercle horizontal de la sphère, et situées dans des plans méridiens.

Ces deux roulettes, reliées par un cadre qui maintient

Fig. 68.

leurs plans rectangulaires, peuvent tourner autour d’un axe vertical passant par le centre O.

Soient dÿ, dx, dy les déplacements angulaires de la sphère autour de dd’, et des roulettes À et B autour de

leurs axes. On a p dx = a cosa dh, o dy = a sina dô, d’où dy

— — tang æ.

dx Se

La roulette B développe la Jongueur ) / tango dx,

ei elle permet d'évaluer l'intégrale

franges dx.

104 CHAPITRE Il.

Si donc un mécanisme est disposé de telle sorte qu'en suivant Le contour d’une courbe fermée, l'ordonnée sort constamment proportionnelle à tang > tandis que la roulette tourne d’une quantité proportionnelle à dx, la roulette B par sa rotation enregistrera une quantité proportionnelle à l’aire de la courbe.

Pratiquement, dans l'appareil réalisé par Helle-Shaw, le cadre des roulettes est fixe et c’est la sphère qui est mobile autour de l’axe vertical passant par O ; 1l est évident que les mouvements relatifs de la sphère et des roulettes restent les mêmes, et que tout ce qui a été dit précédemment subsiste.

L'appareil, représenté schématiquement ( fi9. 69), com-

Fig. 69.

prend un cylindre C mobile autour de son axe horizontal bb' et sur lequel est enroulée la feuille de dessin, la direcon des ordonnées étant parallèle à celle des génératrices. La sphère est maintenue entre quatre roulettes A, B, A!, B', et son axe dd' tourne dans les coussinets d’un

collier G mobile autour de l’axe vertical passant par O et

LES INTÉGROMÈTRES. 105

porté par une pièce fixée au socle de l'appareil. Ce collier est solidaire d’un bras D perpendiculaire à dd' et s’engageant dans un manchon à tourillons T qui se déplace le long d'une tringle parallèle aux génératrices du cylindre, quand le collier de la sphère tourne autour de O.

Ce manchon porte un traçoir avec lequel on suit constamment le point de la courbe passant sur la génératrice supérieure du cylindre.

S1 l’on désigne par « l’angle de dd', axe de rotation de la sphère, avec la direction des génératrices du cylindre, on voit que l’ordonnée y de la courbe est proportionnelle à Lang . |

S1 alors on fait tourner le cylindre autour de son axe, la roulette À tourne d’un angle proportionnel à dx et entraîne la sphère qui à son tour produit la rotation de B autour de son axe.

D’après ce que nous savons, cette dernière enregistrera l'intégrale

f rangs dx:

Les lectures se font sur un cadran verucal V devant lequel se déplace une aiguille H fixée sur le prolongement de l’axe de la roulette B.

Si maintenant on dispose une seconde sphère dont l’axe de rotation soit perpendiculaire à celui de la première, et si cette sphère est entraînée par la roulette B comme la première l'était par À, une roulette B, perpendiculaire à B

enregistrera l'intégrale

Î tang? a dr,

puisqu'il suffit, pour avoir la rotation de B,, de muluplier celle de B par tang a. Cette dernière roulette permettra donc de calculer le moment statique de la surface par apport à un axe parallèle à l’axe des x, puisque tang a est toujours proportionnel à y.

D'une façon générale, considérons p sphères disposées de telle sorte qu’une sphère de rang Æ ait son axe de rota- Uuon perpendiculaire à celui de la sphère de rang À — 1; la roulette-enregistreuse de la sphère Æ — 1, c'est-à-dire

la me roulette, donnant l'intégrale

ÿL tangk-1a dr,

la roulette-enregistreur de la sphère Æ qui est par conséquent la (£ +1)" roulette du système, donnera l’inté-

gra le

f range a dx; te

Æ étant quelconque, la (p + 1)"" roulette, la dernière.

Jar conséquent, enrecistrera l’intéerale 9 te) le]

frangrs dat

Pratiquement, l’intégromètre de Helle-Shaw est construit pour calculer soit l’aire d’une surface, soit l’aire, le moment statique et le moment d'inertie par rapport à À DAI € Pur 1P-8 |

Dans ce dernier cas, les trois sphères, maintenues par leurs roulettes, sont montées sur un chariot qui peut se mouvoir parallèlement à Ox. Le collier de la première

sphère est solidaire d’une tige perpendiculaire à son axe

LES INTÉGROMÈTRES. 107

de rotation et s'engageant, à son autre extrémité, dans un manchon à tourillons portant un traçoir qui se déplace parallèlement à Oy.

La feuille de dessin étant étendue sur une surface plane, on déplace l'appareil parallèlement à l’axe des +, en sui-

vant la courbe avec le tracoir.

Intégromètre Marcel Desprez.

Cet appareil présente cette, particularité de n’avoir qu'une seule roulette qui effectue successivement les différentes opérations d’intégralion.

Dans son ensemble, il comporte un chariot se déplaçant

parallèlement à une direction fixe, pendant que le traçoir

d’un bras articulé en un point du chariot suit le contour de la courbe.

Le point d’articulation décrivant une ligne droite, l’intégromètre se rattache donc à la catégorie des appareils

linéaires.

108 CHAPITRE Il.

Le chariot repose sur deux roulettes à bords minces E, E’ pouvant rouler dans la rainure d’une règle métallique qu’on dispose sur la feuille de dessin ( 5.50). Il est solidaire d’un bras B, perpendiculaire au chemin de roulement et portant à son extrémité un axe vertical autour duquel tourne le bras moteur. Ge bras D porte le traçoir {et se prolonge au delà de O par une partie rectuiligne à laquelle est fixé un axe vertical a. La roulette intégrante est portée par un étrier qui est mobile autour de cet axe, et peut recevoir par rapport au bras moteur diverses orientations de la facon suivante :

L’axe d’articulation O du bras moteur porte trois roues

folles, qui peuvent être rendues successivement solidaires

Fig

de la tige B par une goupille s’engageant dans un trou pratiqué dans leur épaisseur et traversant une pièce solidaire de l’axe O dirigée suivant un rayon.

L'axe a porte trois roues solidaires, de diamètres dif-

LES INTÉGROMÈTRES. 109

férents, pouvant engrener respectivement avec les trois roues précédentes.

On a donc un système planétaire ( fig. 71).

Lorsque le bras moteur aura tourné de «, un point quelconque de la roue satellite aura un déplacement angulaire 0 égal à z augmenté de à, tel que

RTL:

Donc

R R P=u+arma(its).

Par suite l’étrier et l’axe de la roulette ont tourné de la A £ ’ , . R , meme quantité. Par conséquent si le rapport — est égal L r successivement à 1, 2, 3, On aura

Dr O3, TNA E

et l’on pourra obtenir la valeur des intégrales

fr x, [> dr IE dx.

Dans l'appareil, le rapport À prend les valeurs 1, 2, 3 en partant du train supérieur.

Si aucune roue n’est immobilisée, un doigt fixé à la roue inférieure du train central vient buter contre un arrêt de la tige motrice. L’axe de la roulette intégrante est alors, par construction, parallèle à cette tige, et l’appareil, fonctionnant comme un planimètre linéaire, donne la

valeur des aires.

Un ressort spiral, disposé au centre de l'équipage satellite, supprime les temps perdus dans les transmissions d'engrenage.

Enfin l'appareil repose sur la feuille de dessin par une roulette, placée sous le train central, parallèle aux deux roues E, E’, et constituant avec elles le troisième point d'appui du chariot. Un contre-poids P équilibre len-

semble autour de la ligne de roulement.

Généralités.

Les appareils étudiés précédemment donnent la valeur soit de l'aire, soit du moment statique ou d'inertie d’une surface comprise à l’intérieur d’un contour fermé. Le résultat s'obtient par la connaissance de deux nombres qu'on lit au compteur de l'appareil, et une fois la lecture faite, 1l ne reste plus trace de l'opération.

Si, après avoir calculé une aire AaBb, on veut obtenir l'aire À aCc limitée, par exemple, à l’ordonnée Aa et à une ordonnée intermédiaire Cc comprise entre les ordonnées extrêmes, on est obligé d’effectuer une nouvelle mesure, et il faudra, en général, recommencer l'opération autant de fois qu'on voudra déterminer de valeurs diffé-

rentes pour les quantités en question.

Les intégraphes ont pour but de mesurer l’aire d’une courbe et de tracer une courbe représentative de la variation de cette aire. Cette courbe est la courbe intégrale de la courbe donnée. Ces appareils permettent done de voir rapidement comment varient les quantités qu’on évalue, et, une fois l'opération terminée, de relever une mesure en un point quelconque de la courbe tracée.

Les intégraphes peuvent donc être considérés comme étant des appareils enregistreurs. Ils ont par rapport aux intégromètres l'inconvénient d’êtreen généralmoins précis, car le trait peut présenter des irrégularités et a toujours une épaisseur qui laisse une certaine indécision dans l’ap-

préciauion des longueurs à relever.