LES COURBES INTÉGRALES

Nous rappelons ICI quelques-unes des principales propriétés des courbes intégrales, dont l'emploi permet de résoudre rapidement de nombreux problèmes ou lintes eration graphique peut être avantageusement substituée

aux méthodes ordinaires du calcul direct (*).

(:) Il ne nous est pas possible, sans sortir du cadre de cet ouvrage, d'étudier les cas multiples où la courbe intégrale et par suite les inté-

Courbes différentielles et courbes intégrales.

Soit ABC (ji. 53) une courbe donnée dont l’équation

est supposée résolue par rapport à Y Y = f(x).

On sait que l’aire 4aÀ Bb comprise entre la courbe, l’axe

des x et les deux ordonnées d’abscisses & et b, a pour

Az [ rt.

Construisons alors une courbe en portant, à partir

expression

d’une droite quelconque parallèle à Ox, et sur chaque ordonnée de la courbe ABC, des longueurs proportion-

nelles à l’aire limitée à cette ordonnée, telles que " KY — Î f(x) de.

On a une courbe A/B'C! qui est la courbe intégrale directe du premier ordre de la courbe donnée.

Au lieu de considérer l'aire comprise entre la courbe et

graphes, trouvent leur application. La brochure déjà citée d'Abdank- Abakanowiez en contient plusieurs exemples. Nous citerons en particulier : l'étude de nombreux problèmes de résistance des matériaux et la théorie des voûtes, la résolution des équations numériques de degré quelconque, la détermination de la résistance des trains à l’aide du pendule d'inertie de M. Desdouits, l’étude des problèmes de déplacement et de stabilité, en architecture navale. On pourra consulter également sur ce dernier sujet la Théorie du Navire de MM. Pollard et Dudebout, Tome I (Gauthier-Villars, 1890) et une communication faite par J.-G. Johnstone à la 48° session de l’Znstitut of Naval Architects., 22 mars 1907.

l’axe des x, on peut considérer l'aire «A Bb', comprise entre l'axe des y, la courbe et des droites parallèles à Or.

L'expression de cette aire est

Di a= f æ dy,

et, en construisant une courbe ayant mêmes ordonnées

Fire:

que la courbe A BC et dont les abscisses sont respective-

KX= f x dy,

on a une deuxième courbe intégrale qui est la courbe inté-

ment X, telles que

orale complémentaire du premier ordre de ABC.

Les courbes ABC, A B' ont de même chacune deux courbes intégrales. Donc en tout quatre courbes intégrales du deuxième ordre pour la courbe donnée ABC.

On peut construire par les mêmes procédés des courbes intégrales du troisième et du quatrième ordre.

Les définitions précédentes permettent de mettre en

lumière un certain nombre de propriétés des courbes inté-

grales, dont la démonstration est immédiate.

I. Le coefficient angulaire en un point de la courbe intégrale est proportionnel à l’ordonnée correspon-

dante de la courbe ABC.

En effet, soit

KY — fc) de + Le

l'équation de la courbe intégrale.

Le coefficient angulaire de la tangente en un point est

dY dY 14 KR JC

De même, il est évident que le coefficient angulaire en un point de l'intégrale complémentaire est proportionnel à l’abscisse de la courbe donnée.

Il résulte de cette première proposition que si, pour chaque point B de la courbe donnée, on porte à parur du pied b de l’ordonnée, suivant l’axe des + et dans le sens

négalif, une longueur —K, la droite aB est parallèle à la

tangente au point B, correspondant de la courbe intégrale Hireéter(yeg. 59).

C’est cette propriété de la droite aB, appelée directrice,

Ho 75;

que nous trouverons utilisée dans la construction des intégraphes.

Zmurko a également indiqué un procédé rapide pour la construction de la courbe intégrale en la considérant

comme l’enveloppe des droites telles que a, B, (").

IE, La courbe intégrale directe du premier ordre d’une droite parallèle à Ox est une droite inclinée

passant par l’origine.

En effet, soit y — à l'équation de cette droite ; celle de la courbe intégrale est

Y — alr = aAr£ecC.

(!) ABDANK-ABAKANOWICK, Les integraphes et la courbe intégrale.

La constante c est nulle, car pour æ=0o, Y—=o, donc Y= ax.

IT. La courbe intégrale du premier ordre d’une droite inclinée passant par l’origine est une parabole du second degré, ayant pour axe, l’axe des y.

Soit en effet y = a x, l'équation de cette droite; celle

de la courbe intégrale sera : ï EE fr dx = fax dx = -ax?+ C.

e/ LE 2

C est nul, donc

ce qui démontre la proposition.

De même, la courbe intégrale de la parabole précédente

Fiat

est une courbe du troisième degré passant par l’origine où elle présente un point d'inflexion et a pour langente

l'axe des x, etc.