IV. St la courbe donnée présente des points à tan

LES INTÉGRAPHES. 117 gente horizontale, les points correspondants de la courbe intégrale sont des points d’inflexion.

En effet, l'équation de la courbe intégrale étant

= fyde+c,

si ces points ne sont pas des points singuliers, on a

EY dy

— = 0 dx? dx é

ce qui démontre la proposition.

On voit également que si la courbe ABC coupe l’axe des + en des points À, b, c, les points correspondants de

la courbe intégrale ont leur tangente horizontale ( fig. 77).

Dis 7.

En effet, le coefficient angulaire de la tangente en ces

points est

V. Si la courbe donnée a une tangente parallèle à Oy, l'intégrale présente au point correspondant un

point de rebroussement.

118 CHAPITRE Il. R >] 16 A Ces

En effet, dans le voisinage du point M’ la courbe int grale aura deux branches aboutissant en ce point; elles

auront évidemment même tangente M'T' puisque le cObts

ficient angulaire est égal à l’ordonnée de M. V7 Fig 58 | LES 1 0 | » IM' É ge Ne + 022 M" T’ - FAR À Ë l ; A [ ; (l . L M | [l

Si, au lieu d'avoir une tangente parallèle à Oy, la cou: comprend une portion de droite MM,, la courbe …

Pise At “EUR

grale a deux branches aboutissant en M qui est un poin

anguleux. '

La différence des coefficients angulaires des langer Les

est égale à MM. C0

On voit également qu'à un changement brusque dans l’inclinaison de la courbe donnée correspond pour l'inté-

grale une variation brusque de la courbure.

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DFS COURBES INTÉGRALES. MOMENT STATIQUE ET CENTRE DE GRAVITÉ.

Le moment statique de l'aire de la courbe ABC par rapport à un axe K K' parallèle à O y et d’abscisse &, est égal à l’aire de la courbe intégrale du premier ordre himitée à cet axe, ou à l’ordonnée correspondante de la courbe intégrale seconde (fig. 80).

En effet, soit y dx un élément de l’aire ABC; son

moment par rapport à KK'est

(a— x) y dx

fier A:

Or y dx, étant un élément de l'aire ABC, est représenté

et ie moment total

par un élément dy, de l’ordonnée C/ C de la courbe intégrale; cet élément multiplié par (&— x) sera donc un

élément de l’aire A/B'C/C:

fa—a)y dr = fax) dr

est donc égale à l’aire A’ B'CC;.

Tracons maintenant la courbe intégrale seconde AB"C L’ordonnée C/C” représente l’aire A'B'C/C;, c’est-à-dire

le moment de l’aire ABCC, par rapport à KK”.

On démontrerait de même que le moment de À BCC, par

de la courbe intégrale.

L'intégrale

rapport à MM est représenté par l’aire A, C'B'A', ou par l’abscisse correspondante de la courbe intégrale complémentaire de A’B'C/.

LOUE Fig. 50.

Par rapport à un axe tel que HH', le moment de ABCC,

aura pour expression faa—a+ ty de fia—e)y de +1] y dr,

c’est-à-dire aire A'B'C'C; + aire C'h'h; C",

ou encore l’ordonnée ° L" prolongée jusqu’à sa rencontre

avec la tangente en C” à la courbe intégrale seconde.

Enfin pour un axe quelconque LL, le moment de l’aire P q q ) ABCC, est égal à la somme algébrique des aires hachurées comprises entre la courbe A/B'C/, l'axe LL’ et les deux droites A/C', À C’. Si cette somme est nulle le centre de eravité de l’aire AB CC, est situé sur LI. le) |

Il est facile de voir que cet axe passe alors par le point 4 où la tangente en C” à la courbe intégrale seconde rencontre la droite AC".

En effet, soit GG' la nouvelle position de LE. C’£ est l’intécrale de la droite A! C/: par conséquent CC” repré-

5 113 P q y re]

sente l’aire du rectangle g C'C' #,. Or, CC, représentant aussi l’aire A'B'C'C',ona

aire du rectangle 2°, CC g1 = aire A'B'C'C; et, comme elles comportent une partie commune, aire Ang — aire C'm£g;.

Cette propriété des courbes intégrales du premier et du

deuxième ordre permet de déterminer facilement la posi-

tion du centre de gravité d’une aire plane quelconque