CAS DES COURBES FERMÉES
Si la surface, au lieu d’être limitée à une ordonnée, est comprise à l'intérieur d’un contour fermé ABCD, il suffit
de la considérer comme la différence des deux surfaces
OABCE et OADCE.
Soit alors la surface ABCD ( fig. 83). Traçons les courbes intégrales des deux tronçons ABC et CDA. L’ordonnée C/C représente l’aire du contour ABCD), et l’aire A'B'C'C; D'A son moment slalique par rapport à EE.
Pour avoir le moment par rapport à OO, il suffit de tracer, à partir de C/, la courbe intégrale C'A° de la partie CDA. L’aire A C'B’A' représente le moment par rapport à OO' de Paire du contour ABCD.
Pour avoir les moments d'inertie, traçons les courbes intégrales du deuxième ordre.
L’aire du contour ACC représente la moitié du moment d'inertie de la surface ABCD par rapport à EE”, et l'aire A’C'A° la moitié du moment d'inertie par rappanthor
Si l’on trace les courbes intégrales du troisième ordre,
on a les moments d'inertie sous forme d’une longueur; ainsi le moment d'inertie de la surface ABCD, par rapport à EE, est représenté par le double de la longueur C”C et par rapport à OO! par le double de la
longueur A” A.
Fig. 83.
D'une facon générale, si l’on considère un axe quelconque HH', l'aire ABCD est représentée par le segment ab, le moment statique par rapport à cel axe,
par la somme des aires A’cb ct acC', où par le segment
a'b'; enfin, le moment d’inertie par rapport au même axe est représenté par le double de l’aire b'A"c'C'a'b", ou par le double du segment 4"”.
L’aire L'A"c'C'a'b', et par suite le moment d’inerue, est minimum quand HE vient occuper la position GG, c'est-à-dire, d’après ce que nous savons, quand cet axe passe par le centre de gravité de la surface ABCD.
En effet, l’aire en question se réduit alors à celle de la parue A"C'm, la surface des triangles mixulignes tels que a'b'm s’annulant pour celte position particulière.
Si, au lieu d’une surface continue, on a affaire à des ordonnées isolées, on applique les mêmes méthodes que précédemment.
Soient alors les ordounées Aa, Bb, Cc, par exemple. La courbe intégrale du premier ordre est un polygone (oaADL'B'C'C'K') dont les côtés sont alternativement parallèles aux axes de coordonnées (fig. 84).
Le moment statique par rapport à l’axe vertical KK'”est égal à l'aire a A D'B'C'C’K'K, et, par rapport à o00!, «il est égal à l’aire oa À b'B"C'C'o'0.
Traçons la courbe intégrale du deuxième ordre; elle est constituée par une suite de droites inclinées af 7H. Le segment HK représente le moment statique par rapport à K K”, et oH le moment par rapport à l’axe 00”.
£n traçant la courbe intégrale du troisième ordre A’, on obtient les moments d'inertie.
L’ordonnée PT représente la moitié du moment d’inerue par rapport à K K”.
Enfin, par rapport à un axe tel que MM, le moment
d'inertie est représenté par deux fois l’aire mnafym,
ou par le double du segment pp’ compris et la parabole IT, qui est la courbe
droite HH.
Ga
