TEL
Intégraphes.
entre la ligne PP!
intégrale de la
L'idée première des intégraphes est due à Coriolis, qui
en à exposé le principe, en 1836, dans le Journal de
Liouville.
Le projet de Coriolis y est présenté de la façon sui-
vante :
« Si lon conçoit qu'un fil tendu s’enroule sur un cylindre et que le frottement soit assez fort pour empécher ce fil de glisser le long de la surface contre laquelle il est enroulé, la courbe formée par le fil sur la surface du cylindre, développée ensuite sur un plan, Jouira de la propriété que la direction de la tangente sera toujours celle de la partie du fil, tendue en ligne droite avant qu'elle s’enroule.
» Si donc on peut donner au fil dans cette partie une direction qui résulte de l’équation différentielle d’une courbe, celle-ci se trouvera tracée sur le cylindre en prenant pour abscisses les angles compris sur la base du cylindre.
» Cette considération conduit à un tracé assez simple de plusieurs courbes.
» On voit de suite que l’exponentielle, dont l'équation est
AY LT dx
— ou
SE de #3
peut se décrire en enroulant sur un cylindre un fil tendu qui passe toujours par un point fixe. Ce point doit être à la distance a de la génératrice du cylindre, qui se trouve
dans le plan langent mené par ce point.
« 1 l’on avait l'équation différentielle
dy | re ES
ou, en posant —v(r,
on trouverait encore assez facilement la courbe qui répond à celte équation au moyen du relief de la courbe dont l’ordonnée est o (x).
» Pour cela, 1l suffirait d’avoir une règle AMX, dont un côté A X serait droit et l’autre AM formerait la courbe dont l’'ordonnée serait © (x) —7, r étant le rayon du cylindre.
» Ensuite, on ferait tourner le cylindre en appliquant contre sa base la règle AX. Si le fil qui s'enroule reste
dans le plan vertical MN, ce qui est facile à obtenir en
l’'appliquant contre un plan fixe et qu’il passe aussi sur la courbe AM en M, il est clair qu'il formera sur le cylindre une courbe telle qu’en se déroulant sur le plan, elle satisfait à l’équation différentielle ci-dessus, puisque la sous-tangente serait égale à w(x), æ étant l’abscisse mesurée sur la base circulaire du cylindre (1). »
Les principes qui ont été utilisés dans la construction des intégraphes sont une application directe des considé-
rations exposées par Coriolis.
(!) ABDANK-ABAKANOWICZ, Les intégraphes et la courbe intégrale.
130 CHAPITRE JL.
Supposons en effet ( {g. 86) une roulette R, à bords minces, appliquée sur la surface du cylindre au point où le fil tendu s’en détache, et de telle sorte que son plan soit normal au plan tangent au cylindre en ce point. Si l’intersection de ces deux plans coïncide avec la direction du fil, c’est-à-dire si le plan de la roulette lui est constamment parallèle, celle-ci, dans le mouvement de rotauon du cylindre, enveloppera sur sa surface la même courbe C que celle précédemment définie. Il suffit done, à l’aide d’un mécanisme approprié, de donner à la roulette une orientation convenable, résultant de l’équation différenuelle de la courbe.
Si le cylindre est remplacé par un plan, la courbe C devient l’enveloppe des traces du plan de la roulette sur
Fig. 86.
ce plan, la direction de cette dernière étant toujours déterminée par l'équation différentielle de la courbe.
Au lieu de considérer la courbe intégrale comme le lieu des points de contact d’une roulette sur la surface
d’un cylindre ou d’un plan, on peut chercher à la con-
struire directement, en disposant un mécanisme à l’aide duquel un style trace une courbe dont les ordonnées
soient à chaque instant égales ou proporlionnelles à
fr dx. Il suffit pour cela que le style se déplace d’une
quantité proportionnelle à l'angle dont a tourné la roulette intégrante d’un planimètre de Wetli, par exemple.
C'est d’après ce principe que Zmurko a construit son intégraphe, vers 1861.
INTÉGRAPHE DE ZMURKO (1).
Cet appareil est disposé de la façon suivante : Le long d’une règle AA’, placée parallèlement à l’axe des x, se meut un disque P horizontal, mobile autour de
l’axe vertical passant par son centre.
Fig. 87.
Ce mouvement est commandé par un galet g solidaire
du disque et roulant contre la règle.
(:) Décrit en 1884, dans le « Cosmos ».
Deux uges T, T”, parallèles à l'axe des y, sont situées de part et d’autre du disque et portent chacune un traçoir, l’un servant à suivre le contour de la courbe donnée, l’autre devant tracer sa courbe intégrale.
La tige T porte un fil tendu, enroulé sur une poulie p, solidaire elle-même d’une seconde poulie p.
Une tige HI, parallèle à xx', est fixée ten extrémités dans des paliers supports EE’ et peut recevoir un mouvement de translation suivant sa direction, par l'intermédiaire d’un fil tendu s’enroulant sur p. Les bouts de ce fil sont fixés aux paliers EF”,
Cette tige porte la roulette intégrante R reposant sur le plateau et peut ainsi tourner autour de son axe; elle passe en outre sur des galets dans un fourreau F, solidaire d’une poulie p”, autour de laquelle est enroulé un fil tendu dont les extrémités sont fixées à la tige T”.
Dans son mouvement de translation parallèlement à xx", la tige HE peut passer librement dans le fourreau, mais si elle tourne autour de son axe, elle entraîne la rotation de ce dernier et, par suite, celle de la poulie p”. La uge T’ se déplace alors parallèlement à yy”.
Le mouvement élémentaire du traçoir F peut être ramené à deux déplacements élémentaires dx et dy; de même celui de F' peut être ramené au même déplacement dx et à un autre dY.
Calculons la valeur de ce dernier.
Donnons à Fle déplacement dy; la poulie p', de rayon 7”,
tourne de dy, tel que
dy = ride ou de = —+.
La poulie p, de rayon r, ayant tourné du même angle, imprime à la tige HIT un mouvement d{ parallèle à æx', dont la valeur est
GRR do.
(1) di = dy.
La distance de la roulette R au centre du disque a done varié de cette même quantité.
Imprimons maintenant à F un mouvement parallèle à æx'; pour cela, déplaçons tout l’appareil de dx.
Le galet g, de rayon &, tourne de dW, tel que
dy — dx
Le plateau P, ayant tourné du même angle, entraîne la
roulette qui développe alors la quantité
eo au law, dx 0 du) = l à Q
La tige HE et la poulie p”tournent du même angle : soit 7” le rayon dé cette dernière. La longueur de Pare développé: suivant la circonférence d’enroulement du fil représente évidemment le déplacement du traçoir F’,
c'est-à-dire dY.
Or, on a V4 rodr Fed = 22", CNRC 9 \ d’où 1!
d\Y — dx.
De l'équation (1), on tire
la constante étant nulle, si l’on admet que la roulette est au centre du plateau quand y — 0.
On a alors Tr dr dx),
pra
d’où finalement
Y — K fyrdr+K.
Le style F”' trace donc bien la courbe intégrale de la
courbe donnée.
INTÉGRAPHE DE BOYS.
La partie essentielle de cet appareil est une roulette dont le plan reste constamment parallèle aux directrices de la courbe donnée. C’est une application directe du principe énoncé dans l’étude des courbes intégrales (propriété de la directrice).
Il] comporte une planchette P, qui peut se déplacer parallèlement à l’axe des x le long d’une règle AA’. Cette planchette est munie d’une fente parallèle à Oy dans laquelle glisse un traçoir avec lequel on suit le contour de la courbe; afin de le faire plus commodément, la fente est formée par la juxtaposition de deux lames de verre.
L’axe du traçoir sert en même temps d’axe d’articula-
tion à deux tiges T, T’.
L'une, T, passe dans un fourreau articulé F; l’autre coulisse également dans un fourreau F', fixé sous une poulie p qui commande le mouvement de la roulette R.
Cette dernière est fixée à un chariot qui peut coulisser
dans une rainure 77" parallèle à Oy, et son orientation a
Fig. 88.
lieu par l'intermédiaire de trois poulies p, p', p' de même diamètre, autour desquelles sont enroulés deux fils tendus.
Si l’axe de la poulie p est sur l’axe des x, et l’ordonnée de la courbe construite à une échelle telle que la distance du point F’ à l’axe de la fente soit prise pour unité, l’in-
clinaison de la tige T’ sera constamment égale à L. Il
suffit alors que la roulette soit parallèle à T” pour que la trace de son plan sur la feuille du dessin enveloppe la
courbe intégrale C.
se
INTÉGRAPHES D'ABDANK-ABAKANOWICZ.
Abdank a étudié spécialement la construction des intégraphes et a imaginé de nombreux dispositifs pour la réalisation de ces appareils.
Comme dans la plupart des intégrateurs, la partie essenelle est une roulette qui s'appuie sur une surface et peut rouler librement sans glissement en suivant toujours la direction de son plan, La condition à laquelle est assujettie cette roulette est d’avoir son plan constamment parallèle aux directrices de la courbe. Les mécanismes imaginés dans ce but peuvent donner lieu à de nombreuses combinaisons.
Dans les premiers appareils d’Abdank, la roulette appuyait fortement sur la génératrice supérieure d’un cylindre C sans pouvoir se déplacer le long de cette génératrice; elle était fixée dans un étrier E, solidaire d’un bras dont l’extrémité F portait un traçoir destiné à suivre le contour de la courbe donnée; ce traçoir était fixé à un double fourreau articulé pouvant glisser à la fois sur le bras et sur une tige G,parallèle à Oy.
L'ensemble (cylindre C et tige G) était monté sur une planchette mobile, glissant parallèlement à l’axe des x le long d'une seconde planchette fixe disposée sur la feuille de dessin. Dans ce mouvement, le cylindre tournait autour de son axe, le long duquel il se déplaçait sous l’action de Ja roulette.
La rotation du cylindre était produite à l’aide d’une poulie calée sur son axe autour de laquelle s’enroulait un
fil tendu entre deux supports de la planchette fixe.
Il est facile de voir que le déplacement du cylindre suivant son axe représente la variation de l’ordonnée de la
courbe intégrale.
Fig..89.
Soit ds le développement de la roulette ds = 0 du.
La quantité dont se déplace le cylindre parallèlement
à Oy est dl \dssinx,
et 1l a en même temps tourné de do, tel que
r do = ds cosu.
Or rdo=K dar.
Donc ds sinx SE PEL dl ds cos 4 5 K-dx
AK tans a dr.
En prenant pour axe des x la projection de la droite perpendiculaire à G passant par le point autour duquel pivote l’étrier E, on a
y =Btanga, d’où finalement
Dans ces appareils, un chariot H, entrainé par une poulie s’engageant dans une gorge gg taillée suivant une circonférence du cylindre, se déplaçait parallèlement à Oy. Un traçoir, fixé à ce chariot, décrivait la courbe
intégrale.
Fig. go.
On voit que l’ensemble, cylindre et roulette, se comq 118)
porte comme un système de vis à pas vartable dans
lequel la vis, c’est-à-dire le cylindre, se déplacerait sui-
vant son axe, tandis que l’écrou, figuré par la roulette,
serait fixe. Les filets de la vis seraient constamment parallèles aux directrices.
On peut aussi concevoir un appareil dans lequel le
® n 1 \ il LA , cylindre ne se meut pas parallèlemeut à yy' et reçoit seu
ho Or.
lement un mouvement de rotation autour de son axe. La roulette entraînée dans ce mouvement se meut alors sur la génératrice supérieure du cylindre, pendant que son plan reste parallèle aux directrices.
On a la disposition schématique de la figure 90.
Parmi les systèmes destinés à assurer l’orientation de la roulette, nous citerons les deux suivants qui ont été appliqués dans la construction des appareils étudiés par Abdank, en collaboration avec M. Napoli, ingénieur au chemin de fer de l'Est.
La première solution consiste à employer un parallélogramme arliculé ABCD (Zig. 91) dont un côté est fixe,
tandis que la branche AD est constamment parallèle aux directrices.
Un chariot, formé également d’un parallélogramme articulé a'b'c'd', se déplace à l’aide de galets roulant dans des rainures creusées sur les branches AB, CD. La roulette est fixée dans un étrier solidaire de la uge b'c'et un crayon placé en F trace la courbe intégrale.
Daus la seconde solution (fig. 92), l’orientation de la
THAIU
roulette a lieu à l’aide d’un double jeu de roues d’angle égales J,J', dont l’un J’ peut se déplacer le long de l'axe commun des roues R, R’.
Dans cette translation, la roue R' peut toujours être entraînée par l'arbre AA, à l’aide d'un long clavetage par exemple; elle tourne donc du même angle que la roue R, et, par suite, le mouvement angulaire de M sera
le même que celui de M. Ïl s'ensuit que la roulette L,
LES INTÉGRAPHES. 141 fixée à la roue M', sera parallèle à la directrice D coulissant dans un fourreau F solidaire de M, si le parallélisme
a été assuré une fois pour toutes.
INTÉGRAPHES ABDANK-NAPOLI.
Premier modèle. — Dans un premier intégraphe construit par Abdank et Napoli, les deux courbes étaient tracées sur un cylindre; c'était une réalisation de la disposition schématique indiquée par la figure 03.
L'appareil avait été spécialement établi dans le but d'obtenir des courbes continues sur une bande de papier se déroulant sur un tambour cylindrique; l'orientation de la roulette était assurée à l’aide d’une liaison à parallélo-
gramme arliculé.
Intégraphe Abdank-Napoli à roues d'angle (1). — L'appareil en question à été construit en vue d’obtenir les courbes sur une même surface plane.
Il est disposé de la façon suivante (fig. 94) :
Un chariot, dont la grande dimension est parallèle à yy!, se déplace dans la direction de l’axe des +, à l’aide de deux roues à bords minces roulant dans la rainure d’une règle parallèle à cet axe. Le troisième point d'appui de l’ensemble est constitué par la roulette.
Cette dernière est fixée dans un étrier solidaire de la roue dentée M', portée par un second chariot G qui peut
glisser dans la direction yy' le long des tiges F, F'. La
(1) Cet appareil figure dans la collection du Conservatoire des Arts et Métiers.
142 CHAPITRE IIL.
roue dentée R’ est solidaire d’un fourreau C pouvant tourner .dans deux paliers K, K' fixés au chariot, et l’ensemble, guidé par des galets, est mobile le long de
l'arbre cannelé AA’.
Cet arbre, sur lequel est calée la roue R, communique donc à la roulette les mouvements de la directrice LL ; celle-c1 coulisse entre des galets de façon à passer toujours par le centre de la roue M, et est articulée en E à une pièce H guidée dans la direction de l’axe des y par la uge TT’. Cette pièce porte le traçoir D’ destiné à suivre le contour de la courbe donnée; celui-ci est fixé à un coulisseau P qu'on peut déplacer le long de H et assujettir à l’aide d’une vis V. Ce n’est donc pas, en réalité, la tige LL qui est la directrice, mais bien une droite parallèle passant par le point D’. Il s’ensuit que l’axe des x, au lieu de passer par le centre de la roue M, est déplacé d’une hauteur égale à DD”.
Le ture-ligne, qui trace la courbe intégrale, est.fixé en ( au chariot G, et il est orienté par un petit parallélogramme articulé de façon que sa fente soit toujours paral-
lèle au plan de la roulette.
Fig. 94.
(fra) dr +C
ta)
Parier LT" peut être déplacée parallèlement à ellemême dans la direction de l’axe des x; on peut ainsi faire varier la constante de l’appareil, constante qui est représentée par la distance du point D au centre de la roue M.
On peut remarquer qu'avec cet appareil les ordonnées des courbes peuvent atteindre presque toute la hauteur du châssis; de plus, la courbe donnée et la courbe intégrale peuvent chevaucher l’une sur l’autre sans que
le chariot portant la roulette gène les mouvements.
INTÉGRAPHES ABDANK-CORADI.
La maison Coradi a construit plusieurs modèles d’intégraphes dans lesquels on retrouve les dispositions essentuielles des appareils d’Abdank.
La figure 95 représente schématiquement un de ces appareils (1).
Il comprend un cadre Q reposant sur trois rouleaux,
Fig. 95.
r,r,r, et mobile dans la drrection de l’axe des x. Deux chariots C, C se déplacent sur les grands côtés de ce cadre c’est-à-dire parallèlement à y7'. Le chariot C porte un traçoir F destiné à suivre la courbe donnée et une pointe qui est engagée dans la fente longitudinale d’une règle L; celle-ci est mobile d'autre part autour d’une seconde pointe fixée en O à la traverse médiane MM’ : Cette
(!) Cet intégraphe est exposé dans les galeries du Conservatoire des Arts et Métiers.
règle constitue la directrice de lappareil. Le chariot intégrateur (/ porte la roulette R parallèle à L et le tireligne traçant la courbe intégrale.
Un parallélogramme P, dont un côté est solidaire d’un petit chariot G glissant le long de la règle, assure le parallélisme de cette dernière avec le plan de la roulette.
On voit de suite que le tire-ligne tracera une courbe
intégrale de la courbe décrite par le traçoir F.
INTÉGRAPHE ACTUEL DE LA MAISON CORADI.
La figure 96 représente le nouveau dispositif de la Maison Coradi.
L'ensemble se compose d’un cadre formé de deuxlongues règles parallèles L, L'séparées par un faible intervalle. Les trois points de contact avec le plan sont constitués par les deux rouleaux 7, 7, montés sur un même axe parallèle aux règles et par la pointe du tracoir.
L'appareil se déplace dans la direction de l’axe des x.
Comme dans le modèle précédent, deux chariots W, W'! sont mobiles le long des deux règles formant le châssis de l’intégraphe. |
Le chariot conducteur W porte la règle graduée B, le traçoir £ destiné à suivre le contour de la courbe donnée, et l’axe vertical antérieur M de la règle directrice D.
Le chariot intégrateur W! est muni d’un bras auquel est fixé le tire-ligne et un cadre mobile C portant la roulette.
Au milieu du grand cadre se trouve le second axe de la règle directrice qui glisse dans un manchon g porté par
cet axe; un chariot W?, mobile sur la règle, est relié au cadre C au moyen d’un parallélogramme articulé, destiné à maintenir le plan de la roulette constamment parallèle à la règle directrice.
La base de l'appareil est la distance des deux axes de rotation de la directrice, quand celle-ci est perpendiculaire à la grande dimension du châssis. On modifie la valeur de cette base en déplaçant l’axe antérieur M; à cet effet, un manchon mobile N, solidaire de la règle directrice, peut coulisser sur la règle graduée B et être fixé au point voulu à l’aide d’uue vis de pression. Un vernier fixé au manchon permet d'apprécier le Æ de millimètre.
La règle L’ est munie d’une graduation et le chariot intégrateur porte également un vernier à l’aide duquel on peut lire le résultat final de l'intégration, comme avec un
planimètre ordinaire.
Généralités.
