SÉRIE DE FOURIER. ANALYSE HARMONIQUE

Fourier a démontré que toute fonction périodique de fréquence 1 peut être décomposée en une série de fonctions périodiques simples de fréquence 1, 2, 3, .... Ces

fonctions sont des foncuons de sinus et de cosinus, de

telle sorte que la fonction périodique y = f(4) peut se

mettre sous la forme :

Y = Ao+ A1 cos0 + A, cos20 +...

+ B, sin0 + B, sin20 +...

Pour que cette série soit complètement déterminée, 1l faut connaître la valeur des différents coefficients AAA LTED DE

Cauchy a démontré que ces coefficients étaient donnés

par les intégrales ue

| à L 2K | = y dû, 2T

Art A 1: y cos db,

2T (1) VE = 18 y cosn0 dû; | 10.4) : ,2T B, = — J sin0 dB, One 2T Br : il y sinn0 db.

La série de Fourier peut être donnée également sous la

forme

Y — Co + C; sin(0 +—o:) + Go sin(20+ 6) +...+ GC, sin(n0 + o).

(!) L'expression des coefficients AÀ,, À,,..., À,; B,,..., Bde la série

de Fourier s'obtient facilement de la façon suivante : Multipliant les deux membres du développement par cos 6 et inté-

En développant les sinus des différents termes, on a im-

médiatement les relations reliant les coefficients de cette

grant de o à 27, on a

2T nl y cosn0 dé 0

— x cosn6 dû

2T 2T +Af cosô cosn0 dû +...+A, f cos’ 0 d0 0 0

2T .2T + B, f sin cos 20 dû +...+ 8, / sinn0 cosn0 d0, 0 0

c'est-à-dire pour le second membre une somme de termes ayant l’une des deux formes

2T a, f. cos p0 cosn0 dû,

2T 8, sin pô cosn06 dé.

Or il est facile de vérifier qu'entre les limites o et 27, toutes ces intégrales sont nulles sauf celle correspondant au terme A pour lequel p = n. La valeur de cette intégrale étant égale à x, on a

2T 2T fl y cosnô dû — A, fl COS DUO APT:

PR iT Ai f y cosn0 dû.

T Jo

En multipliant par sin 26 et intégrant entre les mêmes limites, on aurait de même la valeur du coefficient B,

d’où

BD, == y sinn0 di.

La valeur du coefficient A, s'obtient en intégrant de 0 à 2T,

2T 2T LÉ di A, di AIT,

DT AT | 124 dA.

190 x CHAPITRE IV.

dernière. forme aux coefficients À,, :.., A,,0b,,%°B;,

du premier développement.

On a Y = Co + C1 cosv, sin 0 + Ci sin, cosô +...

+ GC, coso, sin 0 + C, sinv, cosnb,

d’où 1 2 TT C; COS pi = — [ J sin6 dû — A, 2H ; I Gi sinvoi = — [ y cos0 dû = B',; ‘. . 0 se 3h. à ne Tunis 7e Piste Dia lee js ne en ee Un etes 27H : l Cn COS ©» = — hi y sinn0 dû — A, “0 "27 2 I ù Ca Sin On = — f Mcosnt a PB; rs 0 B, ADO = Re Cr =} AF 2 Die Dj, Da) , 2, Sont appelées les phases des diverses fonc-

tions simples.

La série de Fourier trouve son application toutes les fois qu'il s'agit d'étudier un phénomène périodique ; on en rencontre de nombreux exemples en électrotechnique, plus particulièrement dans l'étude des courants alternatifs et dans l’étude des mouvements de machines, de la construcuon des navires, des phénomènes naturels, comme le mouvement des marées, etc.

Les courbes expérimentales obtenues présentent rarement le caractère de la périodicité. Une courbe peut présenter de nombreuses ou de grandes aspérités et être

considérée comme s’écartant beaucoup de la sinusoïde,

alors qu'elle en est, en réalité, beaucoup plus proche qu'une autre courbe de formes moins tourmentées. Tout dépend en effet de l'amplitude et de la phase, et la superposition de ces éléments peut, suivant les cas, amener à considérer comme non périodique un phénomène qui l'est réellement.

L'analyse harmonique à pour but, étant donnée une courbe, de la décomposer en ses harmoniques simples, c'est-à-dire de déterminer les courbes, dont la superposition reproduit précisément la courbe donnée.

Cela revient à connaître les quantités

As; A, “ho BE, D; Dis ++.) Pn.

Trois méthodes se présentent naturellement à Pesprit :

1° La méthode par le caleul direct ;

2° Les procédés graphiques ;

3° Les procédés mécaniques qui nécessitent l'emploi d'appareils spéciaux permettant d’effectuer mécaniquement

les intégrations indiquées par les relations (1).

Les formules de Cauchy donnent la méthode à suivre pour calculer tous les éléments d’une courbe périodique donnée. On multiplie les ordonnées de la courbe successivement par celles des sinus et cosinus des fréquences 1,2, 3 ..., et l’on intègre chacune des nouvelles courbes

entre les limites d’une période; en multipliant les inté-

5: Lin I ns grales ainsi obtenues par —» on a les valeurs des différents

coefficients.

Ces opérations sont toujours longues et laborieuses;

aussi y a-t-il intérêt, dans les applications, à remplacer le calcul direct par les méthodes graphiques ou mieux par

les procédés mécaniques.