PROCÉDÉS GRAPHIQUES

a. La méthode suivante, publiée par M. Basil Widmore dans l’£lectrician de Londres (t), fournit un moyen commode de déterminer en grandeur et en phase les composantes de fréquences successives.

Considérons le tracé d’une période complète de la courbe périodique donnée X.. Si l’on divise la période en m parties égales, on obtient, en superposant ces différentes parties par addition de leurs ordonnées, une nouvelle courbe débarrassée de tous les termes dontla fréquence rapportée à celle de la courbe complète n’est pas un multiple de mn.

Ce résultat peut s'expliquer assez facilement de la façon suivante (fi. 97 ) :

Supposons que la courbe donnée X soit le résultat de l'addition des quatre sinusoïdes 1, 2, 3, 4 dont les fréquences sont relativement comme 1, 2, 3, 4. Partageons toute la figure [ en deux sur toute sa hauteur suivant la ligne y y’, et superposons les deux moitiés ainsi obtenues. On a ainsi la figure IT, et l’on voit immédiatement que, par addition des deux tronçons obtenus pour chaque courbe, les sinusoïdes 1 et 3, dont la fréquence n’est pas’un multiple de 2, disparaissent, tandis que les sinusoïdes 2 et 4

subsistent avec des ordonnées dont les valeurs sont doubles

(1) L'Éclairage électrique. t. V, 1895.

de celles qu’elles avaient dans la courbe originale. On obtient alors la figure LIL et, en réduisant de moitié les ordonnées, on a finalement en poinullé la courbe Y débar-

rassée des termes de fréquence et

y l Le | H III | | / \ \ à Le MA Fr 12 / \ | \

2e br

N'ARVAR

En répétant la même opération, par une nouvelle division par 2, on déterminerait en amplitude et en phase la composante de fréquence 4 de la courbe primitive.

La division de la courbe par 3 aurait donné immédiatement la composante 3.

Les propriétés précédentes peuvent d’ailleurs se démontrer par un calcul simple sur lequel nous n’insisterons

pas.

ide A CHAPITRE IV.

On voit que ce procédé est d’une application commode; la précision des résultats dépend du soin avec lequel sont dessinées les courbes et il y a intérêt, à ce point de vue,

orande échelle.

à les tracer à g

b. Méthode de Clifford ('). — Elle est basée sur la remarque suivante :

Considérons l'expression générale d’un coefficient À,

Ag Lf y Sinnæx dx.

de

par exemple (?)

Sil'on pose (1) sinnrdæ@= ax,

la détermination du coefficient revient à l'évaluation de l'aire d’une courbe ayant pour ordonnées y et pour abscisses les valeurs de X résultant de la relation (1); c'est-à-dire

X = —[1—cosnx|.

[4] Si donc d’unelongueur donnée onretranchesuccessivement les projections de cette longueur sur une droite sous les différents angles nx, on obtient les abscisses correspondantes X de la courbe dont l’intégration donnera la valeur du coefficient À,.

Le coefficient B, s'obtient de la même façon, mais en

projetant sur une droite perpendiculaire à la première.

(:) L'Éclairage électrique, t. IV, 1895. M, (?) On remarquera que, dans l'exposé de cette méthode, le coefficient du terme en sinus est désigné par À, au lieu de B..

Le professeur Perry a appliqué ce procédé de la façon suivante :

Divisons la période en 36 parties égales et supposons connues les valeurs de la fonction à ces instants. Pour trouver les différents coefficients, choisissons une longueur

MN comme diamètre d’un cercle dont la circonférence

Fig. 98.

Q 2h. -----\Xm +10 ET IL A; + 34 + | | M ES 12 1 10 $ 8 7 6 5 4 3210

de 36°" de longueur est divisée en 36 parties égales numérotées O0, 1, 2, 3... 39. En abaissant de tous ces points des perpendiculaires sur le diamètre, on a sur MN les points correspondants (fig. 08).

Surune verticale PQ on porte successivement les valeurs

de la fonction aux instants 6,1, 2,.... On a ainsi des

points 0,1,2,3,..., 39 (non tous marqués sur la figure), et, en élevant une perpendiculaire en 2 points correspondants des axes PQ et MN, on obtient un point » d’une courbe À ou d’une courbe B, suivant les cas.

Pour À, par exemple on prendra :

+ ) Ordonnées sur PQ, 0, 1,2, 3,

Abscisses sur MN 0 ae

Pour B, il faut prendre dans le plan du cercle l’origine sur un diamètre perpendiculaire à MN.

On aura donc :

Ordonnées sur PO; 0, nee

Abscisses sur MN, 9, 10, 11, 12, .

Si l’on passe aux A, et B,, on voit immédiatement qu'il faut prendre sur MN les points numérotés de 2 en 2 à parür de l’origine, ce qui donne,

FPourras-

Ordonnées sur PQ, 0,1, 2,072

Abscisses sur MN, o, 2, 4, 6, ...

Pour B, :

Ordonnées sur PQ, 0,1, 2,35.

ADScsses sur MN 0, 1, 10,210, 000

On a ainsi une série de courbes fermées dont l’aire permet de calculer la valeur des coefficients; ‘si la circon-

férence du cercle dont MN est le diamètre a / centimètres,

; LR ; RE nl

il faut diviser les aires ainsi obtenues par —; 7 ayant suc-

cessivement les valeurs 1, 2, 3, ..., n.

PROCÉDÉS MÉCANIQ UES.

Il nous reste à examiner comment le problème de l’analyse harmonique peut être résolu mécaniquement; les appareils qui ont été réalisés dans ce but forment une catégorie d’intégrateurs auxquels on a donné le nom d’analyseurs harmoniques et dont nous allons décrire

les principaux types.

Analyseurs harmoniques. ANALYSEUR DE LORD KELVIN.

C’est le premier appareil de ce genre qui ait été réalisé ; il présente une application directe d’une méthode générale pour le calcul de l'intégrale du produit de deux foncons qui à fait l’objet d’une Communication à la Société royale de Londres. Le « Meteorological Office » de cette

ville s’en sert pour déterminer les facteurs périodiques dans les variations des différents éléments météorologiques.

Considérons un disque À mobile autour d’un axe per-

pendiculaire à son plan passant par son centre, et une

sphère S se déplaçant suivant un rayon en restant toujours tangente au disque et à un cylindre C, mobile autour de son axe, dont les génératrices sont parallèles à ce rayon.

Si l’on donne au disque une rotation élémentaire repré-

sentée par v(0) db,

et si la distance du point de contact de la sphère au centre

du disque est représentée par Y(0), le cylindre tournera de dw tel que do — à ©(8)Y(6) dB, el en intégrant

ae fr e(0)4(0) a.

L'angle «w dont aura tourné le cylindre donnera par conséquent la valeur de l'intégrale.

Ce principe est identique à celui du planimètre à rotauon de J. Thomson décrit précédemment.

La rotation du disque pourra se faire de la façon suivante :

Construisons sur un cylindre la courbe

V=+} (0) dé,

les ordonnées étant comptées suivant les génératrices, et les 4 suivant la circonférence ( fig. 100). Si, à l’aide d’une pointe faisant partie d’une crémaillère engrenant avec un

pignon denté solidaire du disque, on suit cette courbe, en

maintenant la pointe sur la génératrice supérieure du cylindre, il est évident que, quand celui-ci tournera de d 6,

la pointe el par suite la crémaillère se déplaceront de dY — w(0) dn.

Le disque tournera alors de

À »(0) dO.

Le déplacement de la sphère peut s'effectuer à l’aide

d’une fourche solidaire d’une tige terminée par une pointe qu’on maintient constamment sur la génératrice d’un cylindre parallèle au précédent.

Si l’on trace sur ce cylindre la courbe LÉO

les ordonnées étant comptées suivant les génératrices, et les abscisses sur la circonférence, et si l’on s'arrange de facon que le point de contact de la sphère soit au centre du disque quand la pointe est sur l’axe des 6, la distance du point de contact au centre sera égale à y pendant la rotation du cylindre; il suffit pour cela de maintenir la

pointe sur le point de la courbe passant sur la génératrice supérieure.

Il résulte de ce qui précède que pour réaliser l’appareil, il faudrait autant de mécanismes qu’on veut calculer de coefficients; chaque mécanisme comprenant : d’une part, disque, sphère et cylindre enregistreur ; d'autre part,

deux cylindres parallèles ayant même déplacement angu-

laire et sur lesquels sont tracées les courbes y = f (6)

(déterminées expérimentalement), et

fs nô db ou f cos n0 d6,

servant respectivement à guider le déplacement des sphères et à produire la rotation des plateaux.

Pratiquement, on ne trace la courbe y = f (6) que sur un seul cylindre qui sert à la manœuvre simultanée de toutes les sphères ; à cet effet, la pointe est reliée à toutes les fourches qui se déplacent par conséquent de la même

quant té.

Fig. 101.

Quant aux courbes [sin nA dû et fcos nt di on évite de

les construire, à l’aide de la disposition suivante :

La crémaillère GC est reliée, par une coulisse qui lui est

perpendiculaire, à un point P de la circonférence du cylindre portant la courbe y = f(8)( fig. 101). Sil’on prend le rayon du cylindre pour unité, la longueur OH représente sin6 quand P se déplace de A vers B, A étant l’origine des 6. Si au début P est en B, OH représente alors cos0. Le mouvement élémentaire de la crémaillère et par suite celui du disque seront donc proportionnels à cos dû ou sin 0 d 0.

Pour avoir maintenant un déplacement élémentaire

(l OPr-9P

cos 20 d@ ou sin n0 44, il suffit de relier la crémaillère correspondante, par un dispositif identique, à un point fixe d’une roue faisant n tours pendant que le cylindre en fait 1, la distance de ce point fixe P, au centre étant

, x OP N . I . T2 . GE évale à —— c'est-à-dire - puisque OP a été pris pour unité. D n n

Il est évident que le déplacement élémentaire de la cré-

maillère devient alors