LE Î
d'un contour fermé.
b. Les intégromètres, donnant à la fois la valeur numérique de l’aire, du momentstatique et du moment d'inertie d’une surface plane.
c. Les intégraphes, traçant directement une courbe
représentative de la fonction
Y= f JC) dr.
d. Les analyseurs harmoniques, destinés à fournir la
valeur numérique des termes d’une série de Fourier.
L'origine de tous ces appareils est relativement récente et ne remonte pas au delà du commencement du siècle dernier. Les premières recherches avaient pour but de simplifier les calculs nécessités par lévaluation des surfaces; le problème présentait un intérêt tout spécial dans le cas des travaux auxquels donnèrent lieu les opérations de létablissement du cadastre.
En 1827, Hoppikofer présentait un planimètre qui semble avoir été contemporain de plusieurs autres appareils du même genre, notablement perfectionnés dans la suite.
Parmi les inventeurs qui s’attachèrent spécialement à l'étude des intégrateurs, 1l faut citer en première ligne A. Amsler qui envisagea la question de l'intégration mécanique sous une forme générale, et réalisa la construction de nombreux appareils dont les plus connus sont : le planimètre polaire devenu d’un usage classique, et l’intégromètre donnant la valeur du moment statique et du moment d'inertie d'une surface plane (!). Amsler a également construit un planimètre servant à déterminer l'aire d’une surface sphérique, un appareil, le stéréographomètre, donnant l’aire d’un contour fermé dont on connait Ja projection stéréographique, et un intégrateur composé.
Dans la suite, différents modèles d'intégrateurs furent successivement réalisés par M. Marcel Desprez en France,
J. et W. Thomson, Helle-Shaw en Angleterre.
(:) Amsler a publié ses travaux dans une brochure parue à Schaffhouse en 1856 et depuis longtemps épuisée : Ueber die mechanische Bestimmung des Flächeninhaltes, der statischen und Trägheitsmomente <bener Figuren, insbesondere über einen neuen Planimeter.
Vers 1858, Abdank-Abakanowicz en France a étudié spécialement la construction des intégraphes dont il a donné de nombreux modèles (!}, et Boys, directeur de l'École royale des Mines de Londres, imaginait vers la même époque un appareil du même genre.
La construction des analyseurs harmoniques, nécessitée principalement par l'étude de l'Électrotechnique, semble avoir été plus particulièrement en honneur à l'étranger; Lord Kelvin, Scharp, Henrici, Yule en Angleterre, Boucherot en France, ont réalisé plusieurs appareils de: cette classe.
Les intégrateurs composés, d’une construction compliquée et d’un caractère de généralité beaucoup plus restreint que les appareils précédents, sont à l’heure actuelle encore peu nombreux. Les principaux travaux tentés dans cet ordre d'idées sont ceux de W. Thomson en Angleterre et celui de M. Michel Pétrovitch présenté en 1997 à l'Académie des Sciences. Plus récemment, M. l'ingénieur général d’Arullerie navale Jacob a étudié des appareils destinés à l'intégration de certains types. d'équations différentielles du premier ordre, et en outre un intégrateur permettant de résoudre sans calcul le problème du mouvement d’un point dans un milieu résistant, quelle que soit la nature du fluide constituant ce
milieu.
Dans ce qui suit, nous examinerons principalement les
appareils dont l'usage est le plus courant. En première
(1) Abdank-Abakanowicz a résumé ses travaux dans une brochureparue en 1886 : Les integraphes et la courbe integrale.
hgne se placent les planimètres et les intégromètres dont l'emploi simplifie considérablement les opérations qu’on a à effectuer dans les problèmes de résistance de matériaux, d'évaluation du travail des machines et tout spécialement, en architecture navale, dans les calculs de déplacement et de stabilité.
Nous étudierons ensuite les intégraphes, en rappelant quelques-unes des principales propriétés des courbes intégrales, et les analyseurs harmoniques qui, malgré l'intérêt que peut présenter leur emploi dans beaucoup d'applications, sont encore assez peu répandus dans la pratique.
Enfin nous indiquerons quelques-unes des solutions proposées relativement à la réalisation des intégrateurs
composés.
Généralités.
Ô Fe 2%
Soit C une courbe fermée rapportée à deux axes de coordonnées rectangulaires et dont l'équation est
On sait que l'aire de cette courbe est donnée par la:
fr ar,
étendue à la totalité du contour.
… de lintégrale
- | Fig 4e
égal ou proportionnel à y dx, la longueur totale de l'arc développé à la fin de l'opération permettra d'évaluer l'aire de la courbe donnée.
Il suffit, pour remplir ces conditions, que le développement du chemin parcouru soit proportionnel à dx dans un rapport constamment égal à y.
Si, par exemple, un disque tourne autour d’un axe 33/
perpendiculaire à son plan d’un angle dû proportionnel
à dx pendant qu’une roulette de rayon p se déplace suivant un diamètre de façon que oa = y, le développement
élémentaire sera
D I IKy dr;
et le développement total p w — K fydæ donne, par la
connaissance de l’angle w dont a tourné la roulette, la
fr dx,
On obtient le même résultat en remplaçant le disque
par un cône de révolution tournant autour de son axe.
valeur de l'intégrale
Ce procédé s'est présenté naturellement à l'esprit des premiers constructeurs qui l'ont appliqué directement dans l'établissement de leurs appareils. C’est sur ce principe qu'ont été construits les planimètres dits à rotation.
Au lieu de chercher à déterminer directement la valeur
de l'intégrale fo dx, Amsler a considéré deux courbes
quelconques C, C’ et démontré que, si une droite AB de longueur constante / se déplace de telle sorte que le
point À décrive la courbe C en revenant à son point de
Fig. 3.
départ pendant que Bse meut sur C/, l’aire de la courbe C Partp q )
peut se mettre sous la forme A1 f dssina+K,
ds étant un élément de longueur d'arc de la courbe C/, et
K une constante qui peut être nulle.
LES PLANIMÈTRES, 1h
S1 alors une roulette est reliée à la tige AB et permet
e déterminer la valeur de l’intégrale de dét ] ] le l’int ]
Jl ds sin 2,
le problème sera entièrement résolu.
Ce principe, appelé principe de la tige de longueur constante, a été utilisé par Amsler dans la construction d'un nombre considérable de planimètres, qui eux-mêmes ont donné lieu dans la suite à de nombreuses variantes.
La partie essentielle de ces appareils, comme de la presque Lotalité des appareils d'intégration, est donc une roulette qui se déplace sur un plan ou une surface (généralement une sphère), en étant soumise à la fois à un
mouvement de roulement et de glissement.
Roulette intégrante. — Considérons une roulette
normale à un plan et se déplaçant à sa surface.
Les différents mouvements qu'elle peut prendre sont : 1° Un mouvement de roulement suivant son plan.
La longueur de l'arc développé est alors égale au chemin
parcouru et l’on a pour l’arc élémentaire
ds — p du.
2° Un déplacement dans une direction faisant un angle « avec celle de son axe.
On peut le décomposer en un mouvement de roulement aa, parallèle au plan de la roulette, et un mouve-
ment de translation à, a' parallèle à son axe.
Le premier, seul, produit sa rotation et l’arc développé
est dsj = ad;=" dssinx,
c’est-à-dire . op du = dssina,
et, en intégrant, où = f ds sin %.
L’angle dont a tourné la roulette est égal, à un facteur
constant près, à l'intégrale
[ds sin«.
3° Un déplacement dans la direction de son axe, 1lya alors glissement sans rotation.
4° Enfin, un pivotement autour de la normale au plan passant par le point de contact à@.
On voit donc que la relation
p dw = dssina
est vraie pour toutes lés valeurs de « et permet de déter-
miner la valeur de l'intégrale
fa sin &.
Si, au lieu de se déplacer sur un plan, la roulette se meut sur une surface, les mêmes propriétés subsistent, pourvu que le plan de la roulette reste normal à la surface : On considère alors les déplacements infiniment petits du point de contact de la roulette dans le plan tangent à la surface en ce point.
Les planimètres construits d'après le principe de la tige de longueur constante sont de beaucoup les plus nombreux et les plus employés. Le plus simple est le planimètre polaire que nous étudierons tout d’abord, car sa théorie a servi de point de départ à l'établissement de tous
les appareils similaires.
Planimètres à tige de longueur constante.
