THÉORIE

Considérons deux courbes C, C et une droite ADB de longueur constante dont les points À et D sont assujettis à se mouvoir respectivement sur C et C/. En B est fixée une roulette intégrante dont l'axe coïncide avec AB. Quand la droite ADB se déplace, le point D décrivant la courbe C, la roulette se meut sur une courbe F.

Posons

MU & bD—= 4, DD ds, BB°— ds’,

et désignons par &, a! les angles que fait AB avec les courbes C’ et Faux points D et B.

L’aire élémentaire AD A'D' a pour valeur

(1) dA = Lds sina + T de.

Évaluons ds en fonction de ds!; pour cela il suffit de projetersur une perpendiculaire à AB le contour BDD'B'B; on a, en remplaçant les arcs DD", BB’ par leurs cordes, et

la projection de B'D’ par l’arc de cercle de centre D’et de rayon a, ce qui revient à négliger des infiniment petits

d'ordre supérieur au premier, ds sina = ds'sinx'+ a de.

Transportant dans (1), il vient OR [?

dA = | ds'sina + (ar + =) do, go) 0) et, en intégrant,

A — ! as sin a + (ar+ —)e+ const.

D’après ce que noussavons des propriétés de la roulette

intégrante, f ds sinx’ représente la longueur de l’arc déve-

loppé par un point quelconque de la circonférence de la

roulette. c’est-à-dire sw : on a donc finalement

A = low + (a+ = )e+ const.

La courbe C’, au lieu d’être quelconque, peut être un cercle de centre O; c’est ce qu’on réalise pratiquement en articulant au point D la droite AB avec une seconde droite de longueur R et mobile autour du point O, qui est appelé le pôle (fig. 6).

S1 alors on décrit une courbe fermée C avec une pointe fixée en À et si le pôle est extérieur à cette courbe,

l’angle o reprend la même valeur quand À estrevenu à son

Fig.00.

point de départ; dans ce cas, © — 0. Les aires autres que l'aire de la courbe considérée étant balayées deux fois et

en sens inverse, on a finalement

À — low,

et l’angle w dont a tourné la roulette donne la valeur

de A.

Si maintenant (fig. 7) le pôle est intérieur à la courbe G décrite par le point A, varie de o à2r; de plus l'aire

évaluée précédemment étant comprise entre la courbe et la circonférence du cercle polaire, 1l faut, pour avoir l'aire

Fig. 8.

totale de la courbe C, ajouter celle de ce cercle, c’est-àdire rR?.

LES PLANIMÈTRES. 17 On a donc finalement l2\ A = lpw+or(al+ se) + Tr R?, 2, A = low + r(R?+oal +).

a quantité r(R?+oal+ el) représente la surface d’un cercle qui n’est autre que celui de rayon OA corres-

pondant au cas où le plan de la roulette vient passer par le

pôle. Pour cette position particulière, on a en eflet ( {g.8)

DAME Ra 7e

Si le point À décrit la circonférence de ce cercle, la roulette se déplace normalement à son plan, son centre décrivant le cercle de rayon OB; elle ne tourne donc pas. On a alors

w —= O, © = 27, et, pour la valeur de l'aire,

A = T(R?+oal+ 02).

Autre démonstration. — Soient deux courbes quelconques GC, Cet AB une tige de longueur constante s’appuyant en À et D sur ces deux courbes; en B est fixée une roulette intégrante dont l’axe est dans le prolongement de la tige.

Soit I la position du centre instantané de rotation.

Le déplacement élémentaire de la tige, de AD en A’D”, ‘peut être considéré comme produit par sa rotation d’un angle infiniment petit do autour de I.

On a alors

dA = aire AA'D'D = aire MAA'— aire MDD,

et en assimilant ces surfaces à des triangles infiniment

petits, ce qui revient à remplacer l’arc par sa corde, c'est-

\ Ver

\ war

\,, V, à-dire à négliger à la limite des infiniment petits d'ordre

supérieur au premier,

aire MAA'— MA + sin do

__(l+a+e)(lHat+e-M )

sin do (1).

MH est un infiniment petit du premier ordre; son produit par sin de sera du deuxième ordre, par conséquent négli-

geable. +

(*) MA est égal en effet à A'D'+ B'D'+ MB'=/+a+ MB, et MB différant de e d’une quantité infiniment petite, négligeable puisqu'elle est multipliée par sin dy, on a bien

MA'=/hba—+e,

Le

LES PLANIMÈTRES. 19 On a donc

man vo dre) 2:

sin do; de même

sin do,

treMDDoe —

et développant sin de en série, on a pour d'A

2 pe 2 3 NE ce — à. — CEE +...) 2 2 3

ou, en négligeant do’... infiniment petits d'ordre supé-

rieur au premier,

dA = (= +al) do + le de.

PA

Or € do est l’arc infiniment petit qui représente le chemin développé par la circonférence de la roulette, c’est-àdire o dw.

On a donc finalement

[2 " sf (= + al) de + Le du et, en intégrant,

P2 À = low e de + al) ® + const.

La courbe C'est la directrice; on voit que la démonstration précédente ne suppose aucune condition spéciale sur la nature de cette courbe.

Supposons que la courbe C soit fermée et qu'on veuille évaluer son aire. Si GC ne contient à son intérieur aucun point de la courbe Cet si, lorsque À a fait un tour

complet, D est revenu à sa position initiale sans avoir par-

couru complètement C quand celle-ci est fermée, 4 a repris

alors la même valeur.

On a

À = lpw,

et cette valeur de A représente l’aire de CZ

En effet la droite AD ( fig. 10)a balayé la surface comprise

Fig. 10.

à l’intérieurde la courbe C, eten plusla surface limitée à C, C’ et aux deux courbes G,G’, enveloppes des positions successives de AD; mais cette dernière surface est parcourue deux fois et en sens inverse : finalement 1l ne reste donc que l'aire de la courbe C.

Supposons maintenant que le point À décrive la courbe C comme précédemment, mais que C/ étant fermée, le point D la parcourt entièrement; quand la tige AD est revenue à sa position primitive, © a varié de 2", et l’on a

pour la valeur de A A = low + r(l?+2al).

Si la courbe c'est extérieure à c (fig. 11), l'aire A représente la somme des aires de ces deux courbes. La partie

hachurée comprise entre c,c', G, G/ est parcourue deux fois et en sens inverse; sa valeur ne figure donc pas dans A.

En désignant par 6, 5’ les aires decetc/,ona donc ? A = low + r(l2+oal) = 6 +0.

Si c'estintérieure à c ( fig. 12), la surface balayée par AD est celle qui est comprise entre ces deux courbes.

Fig. 12.

On a alors A = low + r(l?+aal) = 0 —".

D'une façon générale, si les points À et D ont fait respec-

tivement un tour complet sur € et c’, quand la droite AD

est revenue à sa position primitive, on a, suivant le sens

dans lequel ces courbes ont été parcourues,

A =lpw+mr(l?+aal) =+Eo+Ho.

Remarque. — L'égalité e do —p dw, dans laquelle c représente la distance du point de contact de la roulette au point H, c’est-à-dire au point où la tige touche son enveloppe, montre que, pour un déplacement élémentaire de, dw sera nul en même temps que e, c’est-à-dire quand le plan de la roulette passe par le centre instantané de rotation : chaque fois que cette condition particulière se produit, la roulette pivote donc autour de son point de

contact sans tourner.

Position de la roulette. — Nous avons supposé, dans la théorie précédente, que l’axe de la roulette coïncidait avec celui du bras moteur. En réalité, pour des raisons de construcuion, 1l n’en est pas ainsi; mais il est facile de voir que les conclusions précédentes subsistent, si la roulette est reportée latéralement, pourvu que son axe reste rigoureusement parallèle à celui de la uige motrice.

En effet, soient A la position de la tige motrice, B celle de la roulette, 1 celle du centre instantané de rotation.

Quand l’ensemble a effectué autour de [ une rotauon élémentaire de, la roulette est venue en B' et a parcouru l’arc élémentaire

BB'= BI do.

Son développement, projection de cet arc sur son plan,

est BI de sina = BH do = € do.

Supposons maintenant la roulette placée en B, sur une perpendiculaire en B au bras moteur et'de telle sorte que son axe reste parallèle à la direction HA.

Ha * Up TS:

L’arc parcouru pendant la rotation ds est alors BB, — BI do etle développement correspondant de la roulette B;1 do sina’= BH” do = € do,

quantité égale à celle trouvée dans le premier cas.