H. Nordlinger, Der Holzring, p. 10. J

Mesure de raccroissement en hauteur. — De même que le nombre d'accroissements visibles sur la section faite rez terre donne le nombre d'années écoulé depuis que la première pousse a dépassé le niveau du sol, de même la section faite à un niveau h donnera, par le nombre de ses accroissements, le temps depuis lequel l'arbre a formé des pousses annuelles au-dessus de la hauteur h.

En d'autres termes, si N est l'âge d'un arbre, H sa hauteur totale, n le nombre des couches visibles à un niveau h, on pourra dire que dans les n dernières années de sa vie l'arbre a crû de la quantité H — A ; ou bien encore qu'à l'âge N — n l'arbre avait atteint la hauteur h.

Cette simple observation nous permet d'étudier le développement de la hauteur au moyen du seul comptage du nombre des couches annuelles à différents niveaux.

Remarquons que Ton peut faire varier h d'une qiiantilé pouvant aller jusqu'à la longueur d'une pousse annuelle sans que n varie, de sorte que l'énoncé ci-dessus doit se modifier comme suit :

Si N est l'âge d'un arbre, H sa hauteur, n le nombre de couches visibles à une hauteur h, l'arbre a mis, à une année près et par défaut, N — n années à atteindre la hauteur h ou encore la hauteur h a été atteinte dans le courant de la (N — ny année.

Exemple \ — Supposons que nous ayons pris dans une tige de pin sylvestre des rondelles qui nous donnent les sections aux niveaux de 0"^,20 — 4"^,30 — 5'°,30 — 9",30 — 42"»,30 — \ 4'",30 — i6»,30 — \ 8'",30 — 20",30 — 21 "»,30 et que la hauteur totale soit 22"^,50*.

La première section nous montre 80 accroissements. Mais comme elle a été prise à 0",20 du sol, nous estimons que les deux premiers accroissements formés ne sont pas visibles sur celte section et nous portons l'âge de l'arbre à 82 ans. Nous comptons les accroissements sur chaque section et formons le tableau qui suit :

1. Von Guttenberg, in Handbuch der Forstwissenschafl, t. Il, p. 193-195.

2. On prend généralement ces rondelles plus rapprochées dans le bas et dans le haut de la tige, parce que dans la première jeunesse et dans Tâge avancé, raccroissement de la hauteur est plus lent qu'à Tâge moyen. On s'arrange pour avoir parmi les sections à étudier celle à hauteur d'homme.

Hauteur \

des sections f

au-dessus l

du sol. ;

Nombre

de oouebes

annuelles

visibles.

Âge auquel j

la bauteur f

des sections

a été atteinte

Ce tableau nous donne à une année près et par défaut les âges auxquels ont été atteintes les hauteurs 0™,2, 1",30, etc. Si nous voulons connaître les hauteurs aux âges de 10, 30, 30 ans, etc., nous emploierons le procédé d'inteipolation graphique suivant :

Soient (fig. 1) deux axes de coordonnées rectangulaires; construisons une courbe dont les abscisses soient proportionnelles à l'âge de l'arbre et les ordonnées aux hauteurs correspondantes.

Les données du tableau ci-dessus nous permettront de fixer un

Fig. 1. — Déyeloppement en bauteur d'un pin sylvestre.

certain nombre de points de cette courbe; nous la traçons d'un trait continu et une simple mesure d'ordonnée nous permet alors de déterminer la hauteur à un âge quelconque.

C'est ainsi que pour l'exera;jle choisi nous trouverons les résultats suivants :

ÀGB3.

Aunées.

HAUTEURS

Mètres.

icctoistKisns

OISSEIKSTS odiques.

moyens, périodiques ou anuueU.

letres.

Mètres.

Accroissement transversal. — Soit un arbre âgé de 100 ans; pour rechercher comment son diamètre a crû au niveau h, découpons une rondelle qui nous donne sur une de ses faces* la section au niveau h. Faisons aplanir et polir avec soin cette section. Nous comptons ses accroissements : ils sont au nombre de 35, ce qui nous montre déjà que l'arbre a mis 100 — 35 = 65 ans à atteindre le niveau II, de sorte que les accroissements formés à ce niveau sont dus aux 35 dernières années de sa vie.

Pour connaître la grandeur du diamètre à 90 ans, comptons à partir de Técorce de la rondelle 10 couches annuelles et nous arrivons à la limite du 90* accroissement dont nous traçons exactement la circonférence au crayon. Nous mesurons son diamètre puis nous recommençons à compter 10 couches en allant toujours du bord vers le centre, nous délimitons le îiO* accroissement, nous mesurons encore le diamètre, et ainsi de suite. Nous pouvons, par ce procédé, trouver la valeur du diamètre à tous les âges et à tous les niveaux.

Pour obtenir le diamètre moyen d'une section il suffit, lorsque son contour est sensiblement une circonférence de cercle, de me-

1 . On choisit ordiDairement la face inférieure à cause de la rondelle de base dont il y a intérêt à considérer la face la plus rapprochée du sol.

surer deux iliainèlres perpendiculaires. Si la forme de la section est plus irrégulière, sans pourtant être trop sinueuse (comme c'est le cas pour le chêne, le hêtre, etc.), on mesure 3 ou 4 diamètres faisant entre eux des angles égaux et on en prend la moyenne. Dans le cas de contours très irréguHers, au lieu de mesurer des diamètres, on mesure la surface de la section et on prend comme diamètre moyen celui du cercle de même surface. Voici comment on opère dans ce dernier cas. On trace (fig. 1 bis), d'une façon convenable, quatre diamèlres OA, OB, OC, OD déterminant quatre secteurs dont les angles au centre sont a et p. On mesure alors la surface des secteurs OAMB en la décomposant en un triange OAB dont ^^^' ^ on calcule facilement la surface et en un segment AMB dont on mesure Taire au planimètre après en avoir décalqué le contour sur une feuille de papier, si cela est nécessaire. Connaissant la surface des

quatre secteurs on la multiplie par le rapport ^ ^ ou r,

a et ^ étant les angles au centre mesurés en degrés et on a ainsi la surface de la section. Il est inutile de faire remarquer que tout cela suppose que la face de la rondelle sur laquelle on opère est bien plane.

Des accroissements du diamètre on déduit ceux des sig'faces transversales ou accroissements circulaires au moyen de tables spéciales*.

Accroissemeiits du volume. — Nous possédons maintenant tous les éléments nécessaires pour calculer aussi exactement que nous le voudrons le volume de la tige à tous les âges, par exemple à des intervalles de 5 ou de 10 ans qui sont ceux ordinairement adoptés. Connaissant les volumes à 5, 10, 15 ans, etc., rien n'est plus facile

1 . Nous recommandons d'une façon toute particulière les tables de M. Kunze (Hil/stafelnfar HolzmassenrAufnahmen; Berlin, chez Parey, 1884), qui présentent le triple avantage d'être portatiyes, simples et correctes. On y trouve les surfaces des cercles dont les diamètres varient de millimètre en millimètre depuis 1 jusqu'à 909.

que d*en déduire les accroissements périodiques et ceux moyens périodiques ou annuels ^

Exemple d'une analyse de tige ^ — On a pris, dans un peuplement provenant de régénération artificielle et d'âge bien sûrement connu, un jeune épicéa de 45 ans. On en a découpé des rondelles qui nous donnent les sections aux niveaux de 0"*,10 — l^jS — 3",3 — 5",3, etc., jusqu'à 19'",3 ; la hauteur totale était 21",4.

Le comptage des couches et le mesurage des diamètres donna les résultats consignés dans le tableau (;i-dessous :

SKCTIOHB.

NOMBBB

DIAMÈTRB8 ICOTBMS,

BU CBHTIlàÈTRBB, AUX AOBI

Ml-

No.

Hauteurs.

des couches

annuelles.

nnis,

écoree comprise.

de 5 ans

de 10 ans

de 15 ans

de 20 ans

de 25 ans

de 30 ans

de 35 ans

de 45 ans

inètr.

Ce tableau obtenu, on construit habituellement une section longitudinale de l'arbre, la courbe de l'accroissement de la hauteur et

1 . Les analyses de tiges sont connues et pratiquées en France depuis longtemps. On en trouve une indication dans le III* volume des Annales forestières, dans un article de M. deLagibertie (1S44). —Déjà M. Poirson, dans le l" volume (I842)de ces Annales, avait donné le résultat de cinq analyses de tiges basées, il est vrai, sur Tétude d'une seule section. — Enfin, un article de M. Godchaux, dans le Vlil* volume de la Revue des eaux et forêts (1869), prouve que de véritables analyses de tiges ont été faites par des commissions d'aménagement il y a plus de 25 ans , et les études sur Taménagement de M.Tassy (dont la première édition date de 1872), renferment une description sommaire d'un procédé d'analyse de tiges (p. 75 de Tédition de 1887).

2. Nous empruntons cet exemple à M. de Guttenberg (Handbuchder Forstwissenschafly de M. Lorey, t. II, p. 213 à 215).

celle de raccroissemenl du diamètre à hauteur d'homme (fig. 2, 3 et A).

Parmi les divers dispositifs que Ton peut adopter pour calculer les accroissemenls du volume, nous choisirons le suivant où, au

FiK. 8.

rig. 4.

Pig. 2.

moyen des surfaces des sections transversales aux différents niveaux, nous arrivons à déterminer le volume de la tige à tous les âges (fig. 5) et les accroissements de ce volume par différence (fig. 6).

HAUTEUR

DE La 8KCTIOS.

mètres.

SUarACRS, %S CBMTIuàTBBB CABKÉ8, DS8 8BCTION8, AUX AOB8

de .0 ans

ToUux . .

Volume des billons de 8 mètr. de long en dix mlUiômcs de m. c

Volume du billon entre la découpe et Qm^SO de hauteur

Volume des parties coniques . .

Volume total. .

de 10 ans

de 15 ans

de iO ans

de 25 ans

de 30 ans

de 35 ans

de 40 ans

de 45 ans

IGKFICES, éeorce comprise.

OiaesOO

Fig. 5.

Fig. 6.

Les tiges de 5 et iO ans ont été cubées directement comme des cônes; pour les autres âges on a cubé la tige à partir de O^jlO du sol et le volume du petit billon compris entre 0»,10 et 0",30 a été déterminé au moyen de la mesure de son diamètre moyen sur la section longitudinale. On résume ordinairement les résultats dans un tableau auquel on peut donner la forme suivante :

ÂDftljae de la tige d'un dpicëa Age de 4S ans.

§ 3- — Tracés graphiques. — Aoorolssements annuels et moyens.

Tracés graphiques. — Lorsque nous étudierons les variations d'une d<!s grandeurs — hauteur, forme, volume, etc. — que nous considérons dans un arbre ou dans un peuplement, nous le ferons toujours en fonction du temps; c'est-à-dire que supposant le temps (l'âge) croissant uniformément, nous chercherons comment varie, avec le temps, la grandeur considérée.

Nous savons que les accroissemenis se font d'une manière intermittente, l'activité végétalive restant suspendue pendant une partie de l'année. Si nous voulons, par exemple, considérer la hauteur d'un arbre comme une fonction du temps qui s'est écoulé depuis sa naissance, ou de son âge, cette fonction sera une fonction discontinue.

Traçons deux axes de coordpnnées, portons-y comme abscisses des longueurs proportionnelles au temps et comme ordonnées des lo igueurs proportionnelles à la hauteur. Nous aurons, pour repré-

senler le développement de la hauteur, la ligne tracée en trait plein sur la figure 7^ c'est-à-dire une série de lignes courbes, correspondant aux périodes d'activité, reliées par des droites horizontales correspondant aux périodes de repos.

A la ligne ainsi tracée, substituons-en une que nous obtiendrons enjoignant par un trait continu les points A B G D, etc. ; cette der-

1 an 2 ans 3 ans é ans 5 ans 6 ans

Fig. 7.

7aos

nicre pourra, sans inconvénient pour nos études, remplacer la précédente. En effet, nous ne considérons les grandeurs que nous observons qu'aux âges de 1, 2 n ans révolus et, pour ces âges, la

deuxième courbe donne les mêmes valeurs que la première. Tout se passe, avec cette restriction que nous ne considérons que les points

correspondant exactement aux âges 1,2 w, comme si la loi de

variation de la hauteur était réellement représentée par la ligne courbe ABGD tracée en pointillé sur la figure 7.

Nous pouvons, grâce à cet artifice, considérer les développements en hauteur, diamètre, etc., comme des fonctions continues du temps, les représenter par des courbes, et appliquer à ces courbes les principes du calcul différentiel.

Accroissements annuels et moyens. — Nous avons vu que si a est l'accroissement pris par un arbre pendant une période de p années, on donne à la grandeur a le nom d'accroissement périodique et le

quotient - se nomme l'accroissement moyen périodique. Si nous fai-

sons commencer la période à la naissance de l'arbre, l'accroissement périodique deviendra l'accroissement total et l'accroissement moyen périodique sera l'accroissement moyen total ou, par abréviation, l'accroissement moyen. Celui-ci est donc la moyenne arithmétique de tous les accroissements annuels depuis la naissance jusqu'à l'âge considéré. Si H^ est la hauteur d'un arbre à Tàge n, et a^ son accroissement moyen à cet âge, et a^ a, a...... a^ ses accroissements

annuels pendant les 1", 2* n' années nous aurons, par définition,

ûiH-ttî-f-û»-t^ -h ^n

Relations entre raccroissement annuel et l'accroissement moyeu . — Soit MN une courbe rapportée aux axes de coordonnées Ox 0// (fig. 8). Soit OP l'abscisse du point M. La tangente de Tangle MOP a

pour mesure le rapport ^rp.

Si MP représente une hauteur H^ , OP sera l'âge correspondant n, et —5 est l'accroissement moyen à l'âge n.

D'où cette conclusion que l'accroissement moyen à un âge OP est mesuré par la coefficient angulaire de la droite OM.

D'un autre côté, soit MT la tangente en M. Le coefficient angu-

dx*

laire de MT, ou tangente trigonométrique de l'angle MTP est

Si nous mesurons (comme nous sommes convenus de le faire) l'accroissement de l'ordonnée en prenant pour unité celui de l'abscisse,

YALBUB DES ABBBBS.

ii^

ïï-'i'

la tangente MTP mesurera la rapidité de raccroissement à l'âge con* sidéré OP.

Ainsi pour un âge (|uelconque OP l'accroissement courant (ou annuel, sera représenté par le coefficient angulaire de la tangente au point correspondant à cet âge et l'accroissement moyen par celui de la ligne qui joint le point en question à l'origine.

Si l'accroissement de la grandeur considérée va en augmentant, si son développement devient de plus en plus rapide, le coefficient angulaire de la tangente à la courbe ira en augmentant et celte courbe sera concave vers le haut\ Si les accroissements après être allés en grandissant passent par un maximum, puis décroissent, la courbe d'abord concave deviendra convexe et le point d'inflexion correspondra à l'époque du maximum de l'accroissement.

Or, nous verrons bientôt que la plupart des grandeui^ que nous avons à étudier suivent, en eflet, cette marche dans leur développement. L'accroissement devient de plus en plus rapide pendant les premières années de la vie ; puis il reste un moment stationnaire, passant par un maximum à partir duquel il décline d'une façon continue. La loi de variation de notre grandeur sera donc représentée graphiquement par une courbe passant par l'origine et en forme de /, c'est-à-dire d'abord concave, puis convexe (fig. 9).

Menons par l'origine une tangente OM à cette courbe.

Le point de contact — unique — M sera, d'après ce que nous venons de voir, au delà du point d'inflexion L Pour ce point M l'accroissement moyen et l'accroissement annuel seront égaux. Il est du reste évident que tangente MOP est la plus grande valeur que puisse prendre le coefficient angulaire d'une ligne analogue à OM puisque, par hypothèse, la courbe restant convexe vers le haut à partir du point I, elle est entièrement au-dessous d'une de ses tangentes.

Or, la forme même de la figure nous montre<iue pour tout point M'

1. Gela peut passer pour éyident. Cependant on démontre dans les. cours de calcul

différentiel qu'une courbe est concave ou convexe vers le haut (est au-dessus ou au-

d*w >,^ dy

dessous de sa tangente) au point x. y. suivant que j-j :^ ; c est-à-dire suivant que ^

va en augmentant ou en diminuant. (Voir, pour une démonstration, le Traité de calcul différentiel de M. Bertrand. Paris, 1864, t. I", i 492.)

correspondant à un âge plus élevé que celui auquel correspond M, le coefficient angulaire de la ligne OM' sera plus grand que celui de la tangente M'T', tandis que pour un point M", à gauche de M, ce sera le contraire. Nous en concluons immédiatement ce théorème important \ Si l'accroissement courant (ou annuel) passe par un maximum unique, il en sera de même pour l'accroissement moyen ;

Fig. 9.

Au moment du maximum de l'accroissement moyen il est égal à Taccroissement courant ;

Le maximum de l'accroissement moyen se produit plus tard que celui de l'accroissement courant;

Avant son maximum, l'accroissement moyen est inférieur à l'accroissement courant et il lui est supérieur après.

Ces relations entre les accroissements courants (ou annuels) et les accroissements moyens sont d'une telle importance ^ que nous en donnerons encore deux autres démonstrations.