L'ATOME CONFONDU AVEC ZÉRO

Pour compléter ce qui précède, faisons voir directement et indépendamment de toute hypothèse sur la somme des angles d'un triangle, que, si l'atome est confondu avec zéro, c'est la théorie non euclidienne des parallèles qui se vérifie et celle d'Euclide qui devient absurde. Il suffit de démontrer les propositions qui suivent.

Proposition 1.

Théorème. — Si l'atome est confondu avec zéro, onpeut mener, par un point extérieur à une droite donnée, deux parallèles à cette droite.

Soit 0 le point et MN la droite donnée. Si Ton

mène par le point 0 une oblique ON faisant avec la droite un angle aussi petit que possible, c'està-dire Tangle atome^ l'oblique ainsi menée ne se distingue pas de celle qui fait avec MN un angle nul, puisque l'atome ne se distingue pas de zéro, par hypothèse. De plus, l'indéfini se confondant avec l'infini, on peut dire que l'oblique rencontre MN à l'infini, ou, ce qui est la même chose, qu'elle ne rencontre pas MN ; d'ailleurs, elle jouit de cette propriété que, pour peu qu'on la fasse tourner vers MN autour d'un quelconque de ses points, elle devient sécante à MN ; en effet, cette propriété est évidente pour le point 0, puisque la droite ON fait avec MN le plus petit angle possible, lequel est nul.

Considérons un autre point de la droite, 0' par exemple, et supposons qu'en tournant autour du point 0', si peu que ce soit, la droite O'N ait pris la position O'S'. Si l'on prend sur OS', à partir du point 0' une longueur 01 aussi petite qu'on voudra et qu'on mène 01, la droite OIS ainsi menée est sécante à MN, d'après ce qui précède. Mais la droite O'S', rencontrant OIS au point I, ne peut pas rencontrer deux fois la même droite, ni deux

fois la perpendiculaire O'M' qu'on abaisserait du point O' sur MN ; donc elle doit couper MN, sur la partie SM'.

Considérons maintenant un autre point 0", et supposons qu'en tournant autour du point 0", la droite 0"N ait pris la position 0"S". Si l'on mène, par le point 0, la droite OS de telle sorte que l'angle NOS soit égal à NO'S", la droite ainsi menée OS est sécante à MN, d'après ce qui précède. Mais la droite O'^S" ne peut pas rencontrer OS, puisque les deux angles correspondants, NOS et NO"S", sont égaux ; d'ailleurs, elle ne peut pas rencontrer deux fois 0"0, ni deux fois la perpendiculaire 0"M" qu'on abaisserait du point O" sur MN; donc elle doit couper MN, sur la partie SM". On en conclut que, pour peu qu'on la fasse tourner vers MN autour d'un quelconque de ses points, l'oblique ON devient sécante à MN. Cette oblique OM est donc bien parallèle à la droite donnée.

Il est clair que, s'il y a une parallèle d'un côté de la perpendiculaire OM, il y en a une seconde de l'autre côté de cette perpendiculaire et symétrique de la première. Donc, on peut mener, par un point extérieur à une droite donnée, deux parallèles à cette droite.

HYPOTHKSES 1:T ATOMES O;)

L'angle MON est dit l'angle de parallélisme correspondant au point 0. Cet angle est aigu.

Proposition 2.

Théorème. — Si V atome est confondu avec zéro, on peut mener ^ par un point extérieur à une droite donnée, une infinité de droites qui ne rencontrent pas la droite donnée et ne lui sont pas parallèles. ^

Soit 0 le point et MN la droite, ON l'une des deux parallèles qu'on peut mener du point 0 à la droite MN, et OD la perpendiculaire élevée sur OM. Menons, par le point O, une droite quelconque dans l'angle NOD ; la droite ainsi menée OB fait avec OM un angle qui est aigu et plus grand que MON ; or^ la parallèle ON rencontre MN à l'infini ; donc la droite OB ne peut pas rencontrer MN, ni lui devenir sécante par suite d'une déviation aussi petite que possible. Il en est de même évidemment pour toutes les droites qui tombent dans l'angle NOD ; par conséquent, on peut mener, par un point extérieur à une droite donnée, une infinité de droites

qui ne rencontrent pas la droite donnée et qui ne lui sont pas parallèles.

Ces droites qui ne rencontrent pas la droite donnée et qui pourtant ne lui sont pas parallèles, parmi lesquelles figure OD, forment le faisceau des droites non-sécantes à la droite donnée.

Proposition 3.

Théorème. — Si V atome est confondu avec zéro, la somme des trois angles de tout triangle est moindre que deux droits.

Soit 0 un point extérieur à une droite MN,OA une sécante à la droite et ON l'une des deux parallèles qu'on peut mener du point à la même droite. Si l'on abaisse la perpendiculaire OM et si Ton élève OD perpendiculaire sur OM, on aura formé un triangle rectangle AOM, dans lequel l'angle A est plus petit que AOD. En effet, si l'angle A était plus grand que AOD ou égal à AOD, cette relation devrait subsister quelle que soit la position de la sécante OA, et notamment lorsqu'elle vient se confondre avec la parallèle ON ; or, on sait que, dans cette position, l'angle qu'elle fait avec ON

est égal à zéro^ tandis que celui qu'elle fait avec OD n'est pas nul. Donc l'angle A n'est pas plus grand que AOD, ni égal à AOD. On en conclut que l'angle A est plus petit que AOD, quelle que soit la sécante OA, et, par suite, que la somme des trois angles du triangle AOM est moindre que AMO H- MOA H- AOD, c'est-à-dire moindre que deux droits.

La proposition s'étend immédiatement à un triangle quelconque.

Proposition 4.

Théorème. — Si l'atome est confondu avec zéro^ la somme des trois angles d'un triangle est d'autant plus grande que le triangle est plus petit.

Soit AOM un triangle rectangle en M, et ON la parallèle menée par le sommet O au côté opposé MA. L'angle A doit être plus grand que AON. En effet, si langle A est plus petit que AON, on peut mener dans AON une droite OB faisant avec OA un angle égal à l'angle A ; la droite ainsi menée doit être sécante à MN, puisque ON est la parallèle; d'un autre côté, la droite OB ne peut pas rencontrer MN, puisque les deux angles alternesinternes A et AOB sont égaux ; il y a donc contra-

diction à supposer que l'angle A est plus petit que AON. Si l'angle A est égal à AON, cette égalité doit subsister quelle que soit la position de la sécante OA, et notamment lorsqu'elle vient se confondre avec OM ; mais on voit que, dans cette position, l'angle qu'elle fait avec MN est droit, tandis que celui qu'elle fait avec ON est aigu ; donc l'angle A n'est pas égal à AON. Par conséquent, l'angle A doit être plus grand que AON. Gomme cet angle est en même temps plus petit que AOD^ diaprés le théorème précédent, il en résulte que la somme des angles aigus du triangle AOM est comprise entre MON et MOD ; et, si le point A se déplace de l'infini au point M, cette somme varie de MON à MOD ; donc, la somme des trois angles du triangle considéré est d'autant plus grande que le triangle est plus petit.

Elle devient égale à deux droits, si le triangle considéré est nul.

Nous avions déjà signalé plusieurs de ces particularités, au début ; nous les retrouvons maintenant comme conséquence directe et absolue de la confusion de l'atome et du zéro; nous retrouvons, entre autres, l'hypothèse fondamentale qui sert de

base à la néo géométrie. Gela suffit à démontrer que, si l'atome est confondu avec zéro, ce sont les propriétés non euclidiennes des parallèles qui sont vraies et les autres qui sont fausses.

Le rôle de l'atome est donc bien net, en géométrie. Avec lui, la géométrie d'Euclide apparaît comme une vérité absolue, et la géométrie nouvelle reste à l'état de simple hypothèse : sans lui, c'est l'inverse qui se produit. On peut juger par là de l'importance de cet élément, qui a été si longtemps oublié et que nous avons précédemment justifié au point de vue rationnel et historique.