L'ATOME DISTINCT DE ZÉRO

L'atome géométrique, tel que nous l'avons défini, conduit à une théorie absolue des parallèles, qui est visiblement inconciliable avec Thypothèse non euclidienne.

Commençons par rappeler que deux droites sont dites parallèles, si elles ne se rencontrent pas, quelque loin qu'on les suppose prolongées dans les deux sens, et, en outre, si elles se rencontrent pour peu qu'on fasse tourner l'une d'elles autour dun quelconque de ses points.

Cette définition du parallélisme de deux droites est la seule qui réponde d'une manière claire et précise à toutes les exigences des géomètres, même des non euclidiens. Quant aux mots « pour peu

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qu'on fasse tourner l'une d'elles autour d'un quelconque de ses points », il ne s'agit pas ici de faire tourner la droite d'un angle nul, ce serait évidemment illusoire^ mais bien de la faire tourner d'un angle aussi petit que l'on voudra, pourvu qu'il existe, autrement dit de Y atome d'angle ; c'est ainsi que nous l'entendons, et nul ne saurait l'entendre autrement.

La première question qui se pose est de savoir s'il existe des droites satisfaisant aux conditions exprimées dans la définition, c'est-à-dire des droites parallèles. Il est facile d'y répondre au moyen des propositions suivantes.

Proposition 1.

Théorème. — Deux droites qui font avec une troisième des angles alternes-internes égaux ne peuvent pas se rencontrer.

Cette proposition est énoncée et démontrée plus haut (Chapitre III).

Elle est vraie aussi pour deux droites qui feraient avec une troisième des angles correspondants égaux ou qui seraient l'une et l'autre perpendiculaires à une troisième.

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Proposition 2.

Théorème. — Si Vatome est distinct de zéro^ deux droites qui font avec une troisième des angles alternes-internes égaux chacun à Vatome se rencontrent^ pour peu qu'on fasse tourner l'une d'elles autour d'un quelconque de ses points.

Soit NN' et PP deux droites faisant avec OS les angles POS et OSN' égaux chacun à l'atome. Si l'on fait tourner la droite PP' aussi peu qu'on voudra autour du point O, la proposition est évidente, puisque l'angle SOP estl'atome d'angle, par hypothèse, et que OS est sécante à NN'. La proposition n'est pas moins évidente, si l'on fait tourner la droite NN' aussi peu qu'on voudra autour du point S, et pour la même raison.

Considérons maintenant un autre point de PP', 0' par exemple : si Ton mène par ce point la droite O'S' faisant avec PP' l'angle atome PO'S', cette droite O'S' doit couper NN' ; car, les deux angles SOP et S'O'P étant égaux, elle ne peut pas rencontrer OS (Prop. i ) ; d'ailleurs, elle ne peut pas rencontrer deux fois O'O, ni deux fois la perpen-

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diculaire O'N" qu'on abaisserait du point 0' sur NN' ; donc elle doit couper NN', sur la partie SN".

De plus, l'angle N'S'O' doit égaler l'atome d'angle ; en effet, cet angle N'S'O' ne saurait être plus petit que l'atome, puisqu'il n'y en a pas de plus petit, et il ne saurait être plus grand, sans quoi on pourrait le diminuer un peu en faisant tourner vers OS la sécante O'S' autour du point 0', et, dans la nouvelle position qu'elle prendrait, la sécante O'S' ferait avec PP' un angle plus petit que l'atome, ce qui est impossible. Donc, la droite OS' faisant avec PP' l'angle atome doit rencontrer NN' et faire avec NN' le même angle atome.

Il est clair que, dans l'autre partie de la figure, toute droite S"0" faisant avec NN' l'angle atome devra, pour une raison analogue, rencontrer PP' et faire avec PP' le même angle atome.

On en conclut que, si l'on fait tourner l'une des deux droites considérées autour d'un quelconque de ses points du plus petit angle possible, c'està-dire de l'angle atome, les deux droites se rencontrent.

Proposition 3.

Théorème. — Si V atome est distinct de zéro, on peut mener, par un point donne' hors d'une droite, une parallèle à cette droite.

Soit 0 le point et NN' la droite. On peut mener par le point 0 une sécante OS faisant avec NN' un angle aussi petit que possible, c'està-dire égal à l'atome, puis, par le même point 0, on peut mener une droite faisant avec la sécante OS le même angle atome POS. La droite PP' ainsi menée est parallèle à la droite donnée NN' : en effet, ces deux droites ne peuvent pas se rencontrer, quelque loin qu'on les suppose prolongées fProp. i), et, en outre, elles se rencontrent pour peu qu'on fasse tourner l'une d'elles autour d'un quelconque de ses points (Prop. 2).

Il y a donc des droites satisfaisant aux conditions de parallélisme exprimées dans la définition, et, comme on le voit, elles sont telles que toute droite faisant avec l'une d'elles le plus petit angle possible, c'est-à-dire l'angle atome, est sécante à l'autre et fait avec l'autre le même angle atome.

Ce caractère suffît pour qu'on puisse en tirer absolument, c'est-à-dire indépendamment de toute hypothèse sur la somme des angles d'un triangle, toutes les propriétés des parallèles. En voici quelques exemples.

Proposition 4.

POSTULATUM DES PROGRAMMES OFFICIELS. Par

un point donné hors d'une droite, on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite.

Soit 0 le point donné et NN' la droite (V. figure précédente). Menons par le point O, comme on vient de le faire, une droite PP' qui soit parallèle à NN', et supposons qu'on ait pu mener, par le même point, une seconde parallèle à NN' ; cette seconde parallèle tombera d'un côté ou de l'autre de la première, et elle fera avec la première, au point 0, un angle au moins égal à l'atome, puisqu'il n'y en a pas de plus petit. Or, une pareille droite est, d'après ce qui précède, sécante à NN' ; donc, elle ne lui est pas parallèle. En d'autres termes, on ne peut mener, par un point donné hors d'une droite, qu'une seule parallèle à cette droite.

Proposition 5.

Théorème. — Deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles.

Soit MN et OD deux droites perpendiculaires à OM. Menons par le point 0 la droite OP parallèle à MN ; si la perpendiculaire OD tombait d'un côté ou de l'autre de cette parallèle, elle ferait avec elle un angle au moins égal à l'atome, puisqu'il n'y en a pas de plus petit : par suite, elle devrait être sécante à MX.

Mais, on sait que deux droites perpendiculaires à une troisième ne peuvent pas se rencontrer (Prop. i) ; donc, la perpendiculaire OD ne peut tomber ni d'un côté ni de l'autre de la parallèle OP ; par conséquent, elle doit se confondre avec cette parallèle. Autrement dit, deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles.

ScoLiE. — Deux droites qui ne se rencontrent pas sont parallèles.

Proposition 6.

PosTULATUM D'EuGLmE. — Si dcux droites sont

Vune perpendiculaire et Vautre oblique à une troisième^ les deux droites suflisamment proloncjées doivent se rencontrer .

Soit MN et OP deux droites dont Tune est perpendiculaire et l'autre oblique à OM (V. figure précédente). Élevons, par le point 0^ une perpendiculaire sur OM; cette perpendiculaire OD doit être parallèle à MN, d'après le théorème précédent. Il en résulte que l'oblique OF, qui fait aA'ec la parallèle un angle au moins égal à l'atome, doit être sécante à MN. Donc, si deux droites sont l'une perpendiculaire et l'autre oblique à une troisième, les deux droites suffisamment prolongées doivent se rencontrer.

On démontrera par un raisonnement analogue les propositions suivantes :

Théorème. — Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

Théorème. — Si deux droites sont parallèles^ toute perpendiculaire à lune est aussi perpendiculaire à Vautre.

Théorème. — Si deux droites parallèles sont rencontrées par une sécante quelconque., les angles alternes-internes ou correspondants sont égaux.

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Sans aller plus loin, on voit clairement que, si l'atome est distinct de zéro, les propriétés euclidiennes des parallèles sont absolument vraies et les non euclidiennes absolument fausses.