THÉORIE DE L'ATOME

Nous aurions pu borner là cette étude, et tirer dès à présent les conclusions qui en découlent : la question des hypothèses est jugée. Cependant, il nous paraît intéressant, avant de conclure, de donner une idée aussi exacte que possible de l'atome, de formuler les premiers éléments de la théorie atomique et d'en faire l'application à quelques questions de géométrie et de calcul, ne serait-ce que pour montrer comment tout le reste des mathématiques peut s'accommoder avec l'existence de l'atome. Les développements qui vont suivre indiquent la voie, mais rien de plus.

Nous terminerons par une réponse aux contradicteurs de l'atome.

L'atome, tel qu'il s'est présenté jusque-là, se définit en disant que c'est une grandeur plus petite que toutes les autres grandeurs de même espèce. Il y a évidemment autant de sortes d'atomes qu'il y a d'espèces de grandeurs mathématiques. Dans la géométrie, on en distingue trois genres principaux, savoir : l'atome de longueur, l'atome de surface et Fatome de volume.

S'il s'agit de l'atome linéaire, il n'a alors qu'une seule dimension ; c'est cette dimension qui, en disparaissant, réduit l'atome à un point mathématique, c'est-à-dire au néant de longueur. S'il s'agit de l'atome superficiel, il a deux dimensions, dont l'une peut être finie ou indéfinie, pendant que l'autre est à l'état atomique ; cette dernière, en disparaissant, réduit l'atome superficiel à une ligne mathématique, c'est-à-dire au néant de surface. S'il s'agit de l'atome solide, il a trois dimensions, dont deux peuvent être finies ou indéfinies, et dont la troisième au moins est atomique; cette troisième dimension, en disparaissant, réduit l'atome solide aune surface mathématique, c'est-à-dire au néant de volume. Il n'y a d'ailleurs, et il ne peut y avoir, dans aucun genre d'atome, ni moitié, ni tiers, ni quart, ni fraction quelconque d'atome; en ce sens, que toute grandeur qui, par

suite d'un changement de dimension, doit en avoir une plus petite que l'atome, est absolument nulle.

Rien ne s'oppose à ce qu'on introduise cet élément infinitésimal dans les raisonnements de la géométrie; toutefois, il faut renoncer à prétendre le représenter exactement, car, aussitôt qu'on veut le fixer d'une manière sensible, il cesse d'être l'atome. On devra donc se tenir constamment en garde, dans les déductions qu'on en tire, contre les illusions des sens et surtout contre celles de l'habitude; ces déductions sont en effet d'autant plus difficiles à suivre qu'elles s'appliquent toujours à une image plus grande que l'atome, et que le dessin de la figure jure forcément avec la vérité géométrique. La théorie de l'atome justifie admirablement celte boutade de Pascal, que « la géométrie est l'art de raisonner juste sur des figures faites de travers » .

Il nous paraît superflu de se demander combien il y a de points dans un atome de longueur. Il n'y en a pas un nombre fini, ni indéfini, attendu qu'un point n'ayant pas de dimension, le produit de zéro par un nombre quelconque, si grand qu'il soit, est toujours égal à zéro et jamais à l'atome. Il n'y en a pas non plus un nombre infini, car il n'existe

pas de nombre infini. Sans aucun doute, il sera possible de placer sur un atome autant de points qu'on voudra, précisément parce que le point n'a pas de dimension, mais on ne pourra pas marquer sur l'atome un seul point entre ses deux extrémités; autrement, l'atome serait composé de deux parties plus petites que lui, ce qui est contradictoire avec sa définition. Une manière commode de se représenter Tatome de longueur, c'est de le considérer comme un couple de deux points distincts, non séparables par aucun autre point. Une ligne alors sera formée par la succession d'atomes indivisibles, ayant deux à deux un point commun, comme les anneaux d'une chaîne sans interstice. L'atome de surface se conçoit d'une manière analogue à l'atome linéaire. Imaginons qu'on ait placé perpendiculairement à une droite deux atomes de longueur, AÀ' et BB', et qu'ils soient séparés par une distance AB égale à un atome. Si l'ont joint par une droite leurs extrémités A' et B', la longueur A'B' sera elle-même atomique ; car, AB étant atome par hypothèse, il n'y a aucune place possible entre AA' et BB' pour un nouvel atome. La figure ainsi formée ABB'A' a donc ses quatre côtés égaux, et, comme deux de ses angles sont droits, c'est un carré. De plus, c'est le plus

petit carré qu'on puisse concevoir ; autrement dit, c'est le carré atome.

Si l'on suppose que l'atome carré se déplace le long de la droite AB, il engendre une bande . comprise entre deux lignes qui sont évidemment droites et équidistantes d'un atome. Cette bande, qui s'étend indéfiniment dans un sens et qui a pour base un atome de longueur dans l'autre', est la bande atome. Sur une bande atome, il sera possible de poser autant de lignes droites qu'on voudra, une ligne n'ayant rien de superficiel, mais on ne pourra pas en tracer une seule, entre les deux côtés de la bande, qui soit perpendiculaire à sa base, sans contradiction avec la définition de l'atome. Une manière commode de se représenter la bande atome, c'est de la considérer comme un couple de deux droites distinctes, distantes d'un atome en tous leurs points et non séparables par aucune autre ligne perpendiculaire à la base. Le plan sera formé alors par une succession de bandes atomes indivisibles, ayant deux à deux un côté commun, comme une page d'imprimerie sans interligne.

Le plus intéressant des atomes, c'est l'atome d'angle. On a vu, au commencement, qu'étant

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donné un point et une droite, on peut toujours mener par ce point une seconde droite oblique à la première, et l'amener, par un mouvement de rotation autour du point, à faire avec la première un angle aussi petit qu'on le veut; puis, en continuant le mouvement, l'amener à faire avec la première un angle nul . Si le point donné est sur la droite fixe, c'est par la coïncidence des deux droites que leur angle devient nul. Si le point donné est extérieur à la droite fixe, c'est par le parallélisme euclidien ou non-euclidien des deux droites que leur angle se réduit à zéro. Comme on ne conçoit pas qu^un angle puisse passer de l'être au non-être sans prendre une dernière valeur qui soit moindre que toutes les autres et qui pourtant ne soit pas nulle, on est en droit d'affirmer qu'il existe un angle atome comme il existe une longueur atome et une bande atome.

Si l'atome linéaire est indivisible, l'atome d'angle l'est aussi, et l'on peut s'en rendre compte de la manière suivante. Soit MNO un angle atome ; prenons sur MO, perpendiculaire à l'un des côtés, une longueur MI égale à l'atome linéaire, et imaginons qu'on ait construit, à partir de MI comme base, une bande atome ayant MN pour l'un de ses côtés. Le second côté de cette bande rencontre

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ON en un point H ; or, ce point H ne peut pas se trouver situé au sommet N, puisque HK doit égaler l'atome de longueur et que cette longueur n'est pas nulle ; donc, ce point H sera situé à une certaine distance du sommet N. Il s'ensuit qu'aucune droite partant du sommet ne pourra pénétrer dans l'intérieur de l'angle ; autrement, cette droite diviserait en deux parties l'atome de longueur HK, ce qui est impossible.

L'atome d'angle est donc indivisible, et on peut se le représenter comme un couple de deux droites distinctes, qui, partant du même point, s'écartent à une certaine distance d'un atome de longueur et ne sont séparables par aucune autre droite partant du même point. Le plan sera formé alors par une succession d'angles atomes indivisibles, ayant deux à deux un côté commun, comme tme roue dont tous les rayons se toucheraient.

Des définitions précédentes, on tire facilement quelques propriétés qui en sont la conséquence :

1*^ Si l'on prolonge les côtés d'un angle atome d'une longueur égale au double, au triple, etc., de la distance où ils s'écartent d'un atome, ils

devront successivement s'écarter de deux atomes, trois atomes, etc.; par suite, si on les prolonge indéfiniment, ils devront s'écarter indéfiniment l'un de l'autre ; donc, les deux côtés de V angle atome vont en s' écartant indéfiniment.

•2" Puisqu'on peut construire sur un des côtés de l'angle atome une bande atome, il sera possible d'en construire une seconde sur la première, puis une troisième sur la seconde, et ainsi de suite. Les deux côtés de l'angle atome s'écartant indéfiniment, on obtiendra dans cet angle une bande à base finie, qu'on pourra répéter autant de fois qu'on voudra. L'angle atome contient donc un nombre indéfiniment grand de bandes à base finie.

3^ Si l'on décrit, du sommet d'un angle atome comme centre, un cercle qui ait pour rayon la distance NH où ^° les côtés de l'angle s'écartent d'un atome, l'arc de cercle HE compris entre les deux côtés ne se distingue pas de HK ; car, la flèche KE ou la différence NH-NK doit être, dans le triangle NHK, moindre que HK, qui est l'atome; donc, cette flèche KE est nulle. L'atome circulaire est donc identique à Vatome rectiligne.

4*^ Si l'on achève de décrire le cercle dont il

vient d'être question, la circonférence de ce cercle est la plus petite qu'il soit possible de concevoir. En effet, si l'on en imagine une autre d'un rayon plus petit et qu^on la suppose concentrique à la première, on voit immédiatement que l'arc qu'elle comprendra entre les deux côtés de l'angle atome doit être plus petit que l'atome HK, ce qui est absurde; donc, la circonférence de ce cercle est la plus petite qu'il soit possible de concevoir : c'est le cercle atome.

Il faut remarquer que la circonférence du cercle atome est exclusivement composée d'atomes de longueur, vus du centre sous Tangle atome, que les rayons sont deux à deux et sans exception les côtés d'un angle atome, et qu'ils forment, par leur succession autour du centre, toute la surface du cercle. Il faut remarquer aussi, HN étant plus grand que HK, qu'il n'y a pas de cercle ayant pour rayon l'atome de longueur. Il n'y a pas non plus de cercle inscrit ou circonscrit au carré atome.

5** Si, du centre d'un cercle atome, on regarde un des atomes de la circonférence, on le voit sous l'angle atome; si on le regarde de plus loin, on devra le voir sous un angle plus petit, c'est-à-dire sous un angle nul ; d'ailleurs, on ne peut pas le

voir SOUS un angle plus grand, en se plaçant plus près, sans quoi il y aurait un cercle de rayon plus petit que le cercle atome, ce qui est absurde. Il est donc impossible de voir un atome de longueur sous un autre angle que V angle atome^ et encore faut-il être placé pour cela à une distance déterminée^ égale au rayon du cercle atome.

6" Quelle est la longueur du rayon du cercle atome, autrement dit quelle est la distance à laquelle il faut se placer pour voir un atome de longueur sous l'angle atome? Il est impossible de répondre d'une manière exacte à cette question, attendu que le rayon du cercle atome dépend des dimensions de l'atome de longueur et qu'on ne connaît pas ces dimensions. On peut cependant préciser comme il suit le rapport qui existe entre ces deux éléments : premièrement, le rayon du cercle atome est une sécante issue du point II et faisant avec la droite NK l'angle atome (V. la fîg. précédente), et l'on sait qu'une pareille sécante est indéfiniment grande par rapport à la perpendiculaire HK ; secondement, la perpendiculaire HK étant l'atome de longueur, il n^y a pas de point du plan qui soit plus rapproché que le point H de la droite NK ; la sécante HN est donc la plus petite des sécantes indéfinies qu'on peut mener à une

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droite dans un plan. En résumé, le rayon du cercle atome est indéfiniment plus grand que l'atome de longueur, mais il est le plus petit de tous les indéfiniment grands. On satisfera logiquement à cette double condition en regardant l'atome comme V indéfiniment petit de V ordre le plus élevé, et le rayon du cercle atome comme un indéfiniment petit de l'ordre immédiatement inférieur.

Quant à savoir combien il y a d'atomes dans le rayon du cercle atome, ou, ce qui est la même chose, combien il y a de mètres dans une longueur indéfiniment plus grande que le mètre, nous n'en avons aucun besoin dans les applications que nous allons faire, soit à la géométrie, soit au calcul.

Les principes que nous venons d'exposer ne sont que les plus élémentaires de la théorie atomique ; ils suffisent pour démontrer les propositions caractéristiques de la géométrie euclidienne, et pour mettre en évidence ce qu'il y a de chimérique dans l'hypothèse de la divisibilité à l'infini, qui est le propre delà géométrie non euclidienne. Nous nous bornerons à en faire quelques applications dont il n'a pas encore été question.