APPLICATION DE L'ATOME A LA GÉOMÉTRIE

Proposition 1.

Théorème. — Dans l'hypothèse non euclidienne, le lieu des points équidistants (Tune droite donnée n'est pas une ligne droite, tandis qu'avec l'atome ce lieu est une droite. En effet, s'il s'agit des points distants d'un atome, on a vu que le lieu est le second côté d'une bande atome dont l'autre est la droite donnée ; le lieu est dans ce cas une ligne droite. S'il s'agit de points distants de plus d'un atome, on juxtaposera deux bandes atomes, trois bandes atomes, etc., en nombre suffisant pour composer une bande quelconque à base finie ; le second côté de cette bande à base finie

n'est autre chose qu'un côté de la dernière bande atome qu'on a juxtaposée ; donc, le lieu est encore dans ce cas une ligne droite.

Proposition 2.

Théorème. — La ligne droite qui est le lieu des points équidistants d'une droite donnée a toutes ses perpendiculaires communes avec la droite donnée. En effet, on le reconnaît immédiatement pour les côtés de la première bande atome, et, en remontant de la première à la seconde, à la troisième, etc., on voit qu'il en est de même pour les deux côtés d'une bande quelconque à base finie. Il résulte de là que deux droites perpendiculaires à une troisième ne vont pas en s'écartant indéfiment l'une de l'autre, comme l'exige la géométrie non euclidienne ; cette propriété n'appartient qu'à deux droites faisant entre elles un angle si petit qu'il soit, mais différent de zéro; et, en vertu de l'atome, deux droites perpendiculaires à une troisième sont partout à égale distance l'une de Vautre.

Il en résulte aussi que le plus petit triangle rectangle qu'on puisse concevoir n'est pas un point, ni une droite ; ce triangle rectangle mini-

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mum a pour l'un de ses côtés l'atome de longueur et pour l'autre le rayon du cercle atome, la somme de ses angles égalant deux droits. De même, le plus grand triangle rectangle n^ est ipas bicuspidé, et la somme de ses angles ne se réduit pas à un droit, comme cela a lieu dans l'hypothèse non euclidienne ; ce triangle rectangle maximum a pour ses côtés de l'angle droit deux droites indéfinies, et pour hypoténuse une sécante également indéfinie, faisant avec l'un des côtés l'angle atome et avec l'autre un angle égal à un droit moins l'atome, la somme de ses angles égalant deux droits. Si ce triangle maximum est isocèle^ les deux angles aigus valent chacun un demi-droit.

Proposition 3.

Théorème. — L^identité entre l'atome de ligne droite et l'atome de courbe semble confirmer l'opinion émise par Helmholtz, dans son mémoire lu à la Société d'histoire naturelle et de médecine d'Heidelberg, « sur les faits qui servent de base à la géométrie». Le savant physicien pose en principe qu'il doit exister, dans toute ligne, un premier élément de longueur ds indépendant de toute idée de direction, lequel lui paraît nécessaire et suffisant pour établir un système de géométrie

générale et complète. Mais cet élément ds n'est pas tout à fait l'atome. Helraholtz commence par se servir, pour mesurer son élément ds, de trois autres éléments composants, du^dv, dw, qu'il imagine avec raison avoir une relation avec ds ; or, ces trois composants sont vraisemblablement, bien qu'il ne le dise pas, moindres que le composé ; donc, son élément ds n'est pas l'atome, l'atome n'ayant rien de plus petit que lui.

D'un autre côté, Helmhollz admet que la longueur de cet élément est la racine carrée d^une fonction homogène du second degré' de ses trois composants. Si cette fonction d'Helmholtz n'est qu'une hypothèse, nous n'avons pas à en tenir compte ; si elle n'est pas une simple hypothèse, il faut alors, pour rentrer dans la possibilité des faits, que les trois composants soient des atomes, et que la formule algébrique représente une propriété géométrique de ces trois atomes. Mais, nous avons vu qu'avec deux atomes on peut obtenir, dans un plan, un carré ; en y joignant le troisième, on pourra obtenir, dans l'espace, un cube, et la propriété géométrique de ces atomes se traduira exactement par la formule connue du théorème de Pythagore. Si le calculateur part d'une formule plus générale, il ajoute ici à la formule exacte quelque

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chose, qui est étranger à Tatome,. et, par suite, pris en dehors de la réalité. Or, l'algèbre est un instrument de précision qui découvre finalement tout ce qu'on a enfermé dans une formule initiale, mais sa puissance ne va pas plus loin ; elle devra donc logiquement lui donner, à la fin de son analyse, tout ce qu'elle renfermait, au commencement. C'est ce qui arrive à Helmholtz : il obtient d'une part la géométrie d'Euclide, qui répond à la réalité de l'atome, et d'autre part une seconde géométrie, qui correspond à ce qu'il a introduit d'inconnu dans sa formule, sous le couvert de la généralisation. On se demande pourquoi il n'est pas parti de la racine bicarrée d'une fonction du 4*^ degré, ou de toute autre fonction, aussi bien que de la racine carrée d'une fonction du 2^ degré; il en aurait tiré certainement une géométrie de plus en plus fantastique, tant il est facile de s'égarer en dehors des principes rationnels de la théorie atomique.

Proposition 4.

ThéorèxTe. — En revanche, l'identité entre l'atome de ligne droite et l'atome de courbe fournit une justification remarquable de la méthode des limites, méthode si employée dans les mathématiques.

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Lorsqu'on veut procéder à la mesure d'un arc de courbe, par exemple, on commence par inscrire et circonscrire à l'arc une ligne brisée quelconque, puis on fait en sorte que, le nombre des côtés augmentant indéfiniment, la longueur de chaque côté diminue indéfiniment ; on s'assure ensuite que le périmètre des lignes brisées inscrites va en augmentant et que celui dès lignes brisées circonscrites va en diminuant, et enfin que les uns et les autres tendent vers une limite commune , lorsque leurs côtés tendent vers zéro, quel que soit le mode d^inscription qu'on ait adopté au point de départ. Cette limite commune est prise comme définition de la longueur de l'arc par quelques géomètres, et par d'autres comme une simple propriété de la longueur de cet arc ; mais, dans les deux cas, le procédé peut se justifier par l'identité de l'atome rectiligne et de l'atome courbe.

En effet, lorsque les côtés de la ligne brisée, inscrite ou circonscrite, tendent vers zéro, ils deviennent de véritables atomes avant que d^être nuls ; à ce moment, qui marque le terme exact de la construction géométrique, rien n'empêche que ces atomes, doués d'étendue et indivisibles, puissent être disposés en ligne droite les uns à la suite des autres ; ils forment alors une longueur rectiligne

déterminée, égale au périmètre de la ligne brisée, inscrite ou circonscrite, et, comme les atomes qui composent l'arc de courbe sont identiques à ceux qui composent la ligne droite, il en résulte que la longueur de ces lignes brisées ainsi rectifiées n'est autre que celle de Tare proposé, et qu'on a le droit de la prendre, à volonté, pour une définition ou pour une propriété de la longueur de l'arc.

Avec Fatome, le procédé des limites revêt donc tous les caractères de la méthode déductive la plus rigoureuse et la plus concrète. Au contraire, si l'on suppose que l'atome n'existe pas, qu'il est confondu avec zéro, ou, ce qui revient au même, que la divisibilité peut être poussée à l'infini, la limite du périmètre des lignes brisées n'est plus qu'une série de points dépourvus de dimension^ et, outre qu'il n'est pas dans l'esprit géométrique d'admettre qu'une somme de points puisse former la longueur d'une ligne, il reste dans le passage forcé du dernier élément infinitésimal d'une ligne à zéro quelque chose de vague et de mystérieux, qui disparaît complètement avec l'atome. Il y aurait donc avantage pour la méthode des limites à s'arrêter à l'atome, au lieu d'aller jusqu'à zéro, bien qu'au fond cette méthode soit

indépendante de la divisibilité ou non-divisibilité à l'infini.

Proposition 5.

Théorème. — L'atome résout catégoriquement 1,1 difficulté si souvent formulée depuis deux siècles par les partisans de la divisibilité à l'infini. Je la prends dans une lettre du cardinal de Polignac au comte d'Agenois, datée du i4 mars 1721 (V. Mémoires de l'Académie des Sciences de Lyon, t. XXVI, 2^ série, page 279. Correspondance inédite sur la divisibilité de la matière, par Arnould Locard). « Je fais partir de la terre, écritil, un fil raide et inflexible, que je pousse jusqu'au soleil. Ensuite, je fais mouvoir ce fil, en sorte que son sommet ne parcoure en un moment qu'un atome de l'espace, le pied demeurant fixe. Il est démontré que tout le fil marche, mais avec cette difl'érence que le sommet fait plus de chemin que la partie qui le suit, et que le mouvement est toujours moindre dans toutes les parties du fil à mesure qu'elles approchent du pied. Gela se voit dans le mouvement d'une roue. Donc l'atome parcouru en haut a autant de parties réelles qu'il y a de difl'érences dans le chemin que font celles de tout le fil. Que sera-ce si je pousse mon fil jusqu'au

plus haut des cieux? Adieu, monsieur, je vous honore et vous vénère, mais je demande un aveu ou une réfutation démontrée ».

Voici la réfutation : d'un point de l'espace, on ne peut voir un atome de longueur que sous l'atome d'angle, et encore faut-il qu'on soit placé pour cela à une distance égale au rayon du cercle atome. Or, ce rayon, bien qu'inconnu, -est très petit, puisque c'est la plus petite des sécantes indéfinies qu'on peut mener de tous les points d'un plan à une droite donnée dans ce plan. Il n'est pas probable que la distance de la terre au soleil soit précisément le rayon du cercle atome ; mais^ même dans cette supposition, quand le sommet du fil tendu entre les deux astres parcourra un atome sur le soleil, tous les autres points du fil devront parcourir des chemins moindres que l'atome, c'est-à-dire absolument nuls; ils resteront donc absolument immobiles, et, plus vous vous éloignerez dans la profondeur des cieux, plus le fait deviendra saisissant. L'échafaudage des raisonnements en faveur de la divisibilité à l'infini s'écroule en présence de l'atome.

Proposition 6.

Théorème, — La relation que nous avons recon-

nue entre la bande atome et l'angle l'atome justifie la démonstration du postulatum dEuclide telle qu'elle a été donnée par Louis Bertrand, dans son Développement des mathématiques^ en 1778, et par A.-J.-H. Vincent, dans son Précis de géométrie élémentaire^ en 1887, et qu'on peut ramener à ces termes. Soit OM la base d'une bande quelconque, et POS un angle atome; le côté OS suffisamment prolongé devra sortir de la bande, et, par suite, rencontrer MN ; sans quoi, la bande renfermerait l'angle atome tout entier, ce qui est impossible, puisque l'angle atome doit contenir, au contraire, un nombre indéfiniment grand de bandes égales à la bande donnée.

Proposition 7.

Théorème. — Avec l'atome, on complète aisément la démonstration que Legendre a insérée dans la 12^ édition de ses Eléments de géométrie^ en 1828, pour prouver que la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux droits, sans le secours du postulatum d'Euclide. On sait, en effet, transformer un triangle donné en un autre, dans lequel la somme des angles reste la même, et

dont l'un des angles devient aussi petit qu'on le veut. Cette transformation peut s'opérer de plusieurs façons ; en voici une des plus simples.

Considérons un triangle ABC, dont AC est le plus grand côté, et faisons tourner ce côté AC autour du sommet A jusqu'à ce qu'il passe par le milieu I de BC. En prenant ID égal à lA et menant CD, on aura formé un second triangle ADC, dans lequel la somme des angles est la même que dans le premier, en vertu de l'égalité des triangles AIB et CID; de plus, l'angle IDC, qui est égal à lAB, est plus grand que lAC ; par conséquent, l'angle lAC est plus petit que la moitié de l'angle A du triangle donné.

Considérons maintenant le triangle ADC, dans lequel AD est le plus grand côté, et faisons tourner ce côté AD autour du sommet A, en sens inverse de la première fois, jusqu'à ce qu il passe par le milieu E de CD. En prenant EF égal à EA et menant DF, on formera un troisième triangle ADF, dans lequel la somme des angles est la même que dans le second, et, par suite, que dans le premier, et dont l'angle DAF est plus petit que le quart de l'angle A du triangle donné.

Le troisième triangle obtenu nous en donnera

de même un quatrième, celui-ci un cinquième,

puis un sixième^ etc., dans lequel la somme des

angles reste toujours la même que dans le premier,

et dont l'angle au sommet A devient

aussi petit qu'on le veut.

Rien n'empêche de supposer qu'on soit parvenu de la sorte à un triangle abc dans lequel l'angle bac est égal à l'atome. Si Ton se propose, à partir de ce triangle, de construire le suivant, on devra commencer par rapprocher le plus grand côté ab du plus petit ac, en le faisant tourner autour du sommet a, ou autrement; mais l'angle atome bac ne peut diminuer qu'en devenant nul ; le côté ab devra donc coïncider avec ac, et, par suite, ac avecÀc, et les trois angles du triangle se réduiront au seul angle c, qui devient égal à deux droits. Donc, dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits.

Proposition 8.

Théorème. — Euclide a défini les parallèles « des droites qui, dans un plan, étant prolongées autant qu'on le veut dans un sens et dans l'autre,

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ne se rencontrent pas^, ni d'un côté ni de Fautre ». On démontre fort simplement, en partant de cette définition et en se servant de l'atome, quon ne peut mener par un point donnée qu'une seule parallèle a une droite.

Soit NN' la droite, et 0 le point donné. Par le point O. on peut mener une sécante quelconque OM, puis une droite PP' faisant avec OM un angle MOP' égal à OMN : la droite ainsi menée ne rencontre pas NN' (V. la démonstration faite plus haut, chap. III) ; donc elle est, d'après la définition d'Euclide, parallèle à la droite NN'.

Supposons maintenant qu'on ait pu mener par le point O, une seconde droite OR ne rencontrant pas NN'. En la faisant tourner autour du point 0, on pourra l'amener à couper NN' sous un angle OSM égal à l'atome d'angle. Or, si l'on transporte le triangle OMS, le long de MO, jusqu'à ce que son sommet S rencontre OR en S', il prendra une position O'M'S' dans laquelle les deux extrémités de sa base, M' et 0', tomberont de part et d'autre du point O. Dans cette position, l'angle OS'M' est plus petit que O'S'M', qui est égal à l'atome d'angle OSM ; donc, l'angle OS'M' doit être

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nul, ce qui est impossible, attendu que les deux côtés de cet angle, S'O et S'M', sont des droites distinctes l'une de l'autre. On en conclut que, par le point 0, on ne peut pas mener une seconde droite OR ne rencontrant pas NN' ; en d'autres termes, on ne peut mener, par un point donné, qu'une seule parallèle à une droite, si l'on définit les parallèles comme le fait Euclide.

Proposition 9.

Théorème. — Avec l'atome, on démontre facilement que, dans aucun cas, V angle de parait élisme ne peut être aigu, comme le demandent les géomètres non euclidiens.

Supposons en effet que la droite OP soit parallèle à MN, que OM soit perpendiculaire à MN, et que l'angle MOP soit aigu. On peut mener, par le milieu I de OM, une sécante lA faisant avec OP l'angle atome A; celle sécante doit, d'après la définition des parallèles, rencontrer MN en un point B. Or, l'angle B ne peut pas être plus petit que A, puisque celui-ci est l'atome ; il ne peut pas non plus être plus grand que A, car on pourrait, dans ce cas, le diminuer un peu en faisant leur

ner vers AP la sécante AB autour du point A, et, dans la nouvelle position qu'elle prendrait, la sécante AB ferait avec OP un angle plus petit que l'atome, ce qui est impossible. Donc, l'angle B doit égaler A. Il en résulte que les deux triangles IBM et lAO sont égaux, comme ayant un côté égal et deux angles égaux chacun à chacun ; mais le premier de ces triangles est rectangle en M, donc le second est aussi rectangle en 0, et l'angle MOP doit être droit. L'angle de parallélisme ne peut donc, dans aucun cas, être aigu.

Ce théorème peut se démontrer de plusieurs autres manières. Toutes les propositions de la géométrie non euclidienne viennent échouer directement contre l'atome.