DEFINITION DE L INCOMMENSURABLE

Dans la théorie des nombres, on donne ordinairement le nom d'incommensurable au rapport de deux grandeurs qui n'ont entre elles aucune mesure commune, si petite qu'elle soit. Celte définition a le défaut d'être impossible à justifier absolument. On établit, en effet, dans la recherche de la plus grande commune mesure de deux grandeurs, que l'opération, une fois commencée, peut se continuer indéfiniment, ou encore, qu'on peut imaginer l'une des deux grandeurs divisée en parties de plus en plus petites, sans qu'aucune de ces parties soit contenue exactement dans l'autre. Mais, cela ne suffit pas pour qu'on en puisse conclure que les deux grandeurs n'ont aucune commune mesure, c'est-à-dire que leur plus grande commune mesure est nulle ; il faudrait démontrer que le procédé, effectif ou mental, des subdivisions qu'on emploie peut être poussé assez loin pour nous donner une partie nulle, et l'on sait qu'un pareil résultat ne peut être obtenu. On est donc forcé de s'arrêter à un terme précédant zéro et différant de lui, bien que d'aussi peu qu'on voudra, c'est-à-dire à l'atome. De telle sorte que

HYPOTHÈSES ET ATOMES I 1 f)

la circonstance finale et négative, visée dans la définition ordinaire du mot incommensurable, ne se présente jamais. En réalité, il n'y a pas de grandeurs incommensurables entre elles, et ce qui est vrai, c'est que deux grandeurs de même espèce ont toujours pour commune mesure l'atome, sinon un multiple de cet atome.

Théoriquement, la question se réduit à remplacer le zéro ou le néant par l'atome.

Dans la pratique, on peut distinguer les deux cas, en conservant les mots de commensurable et incommensurable : seront dites commensu râbles les grandeurs qui ont pour commune mesure un multiple de l'atome, et, dans ce cas, on trouvera cette commune mesure après un nombre fini d'opérations ; serontdites incommensurables celles qui n'ont d'autre commune mesure que l'atome, et, dans ce cas, pour trouver la commune mesure, il faudra un nombre indéfini d'opérations. Mais il n'y a pas d'autre distinction qui soit rationnellement possible, sous ce rapport. En suivant cet ordre d'idées, nous dirons que la circonférence d'un cercle, son diamètre et le côté du carré inscrit sont des lignes n'ayant entre elles d'autre commune mesure que l'atome de longueur. Nous admettrons que toute propriété d'un rapport, qui

est démontrée dans le cas où les deux termes de ce rapport ont une commune mesure, aussi petite qu'on veut, est par cela même démontrée d'une manière générale. Toute la théorie ordinaire des incommensurables deviendra plus rigoureuse et plus simple. Nous avons déjà vu ce que la substitution de Tatome à zéro apporte de simplicité, de précision et de rigueur dans la théorie des limites. Il nV st pas étonnant qu'il en soit de même en ce qui concerne les incommensurables.