APPLICATION DE L'ATOME A LA DÉRIVÉE D'UNE FONCTION

Nous allons retrouver, grâce à l'atome, les mêmes avantages de simplicité et de rigueur dans la définition et le calcul des dérivées d'une fonction.

Soiiy = f(x) l'équation d'une courbe continue quelconque.

Si l'on donne à la variable x, à partir d'un point déterminé, un accroissement très petit A, il en résulte, comme on sait, pour la fonction y, un accroissement correspondant qui est lui-même

très petit, et, si les deux accroissements tendent

k vers zéro, leur rapport — a, en général, une valeur finie, attendu que ce rapport, à la limite,

représente rinclinaison sur l'un des axes de coordonnées de la tangente à la courbe au point considéré. C'est la limite de ce rapport, dont les termes deviennent nuls, qu'on nomme habituellement la dérivée première ou simplement la dérivée de la fonction.

Mais, d'après la théorie de Fatome, on a la certitude que l'un des termes h ou k, suivant que la fonction décroît moins vite ou plus vite que la variable, prendra une valeur atomique avant de devenir zéro, et qu'il en sera de même de l'autre, puisque leur rapport a, en général, une valeur finie; par conséquent, il y aura toujours un accroissement h de la variable qui sera le plus petit auquel puisse correspondre un accroissement k de la fonction. La dérivée d'une fonction peut donc se définir comme étant le rapport de l'accroissement de la fonction au plus petit accroissement de la variable qui puisse lui correspondre.

La dérivée d'une fonction étant elle-même une fonction, la dérivée de cette dérivée nous donnera, de la même manière, la définition de la dérivée seconde; la dérivée de la dérivée seconde nous donnera la dérivée troisième^ et ainsi de suite.

Si l'on désigne par e le plus petit accroissement de ia variable qui puisse produire un accroisse-

menl correspondant dans la fonction et par r] cet accroissement correspondant, on aura par définition :

C'est précisément le résultat qu'on obtient en introduisant l'atome dans le développement d'une fonction en série. D'après la formule de Taylor, appliquée à la fonction ffx)^ on doit avoir en effet :

k=hf'(x) -}- ^ f'M-i--^ r(^)-^ ,

ffxj^f'fx)^ f"(x),... désignant les dérivées successives de f(x), telles qu'on les définit habituellement.

Donnons à h la plus petite valeur e qui produit un accroissement correspondant /j dans la fonction. Chacun des termes contenante-, e^, dans

le développement, et même la somme d'autant de ces termes qu'on voudra, est moindre que e; par conséquent, tous ces termes réunis sont sans influence sur l'accroissement de la fonction, puisque l'accroissement e de la variable est le plus petit qui puisse produire un accroissement correspondant dans la fonction. Donc, la formule se réduit à celle-ci:

n=^f(oo),

d'où :

Cette nouvelle définition de la dérivée d'une fonction n'est point en opposition avec la définition habituelle. Elle en diffère uniquement en ce que, dans la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable, le zéro ou le néant est remplacé par l'atome. La "méthode infinitésimale, comme celle des limites, dit Lagrange, offre (( le grand inconvénient de considérer les quantités dans l'état où elles cessent pour ainsi dire d'être des quantités ; car, quoiqu'on conçoive toujours bien le rapport de deux quantités tant qu'elles demeurent finies (ou indéfinies), ce rapport n'offre plus à l'esprit une idée claire et précise aussitôt que ses deux termes deviennent l'un et

l'autre nuls à la fois » . L'expression — > qu'on

trouve à la limite, n'est d'ailleurs qu'un symbole abstrait, purement conventionnel^ qui ne rappelle rien des éléments particuliers qu'on a soumis au raisonnement avant de l'atteindre. Est-on bien sûr même de pouvoir l'atteindre, si l'on admet la divisibilité d'une ligne à l'infini, comme il paraît nécessaire de le faire?

Aucune de ces objections ne peut se soutenir, si, au lieu de poursuivre la limite jusqu'à zéro, on s'arrête à l'atome. Les deux termes du

rapport — sont effectivement des réalités concrètes,

tout comme h et k avant qu'ils ne soient nuls. Il semble aussi qu'en raison de leur état atomique, les deux termes de ce rapport soient mieux appropriés que tout autre à l'idée qu'on doit se faire du mode de génération d'une courbe ; car, il est bien difficile de comprendre qu'on puisse réaliser la continuité d'une courbe, en passant d'un point aux suivants, autrement que par voie d'atomes. Nous avons vu déjà qu'on engendre une surface angulaire en faisant tourner une droite successivement, autour d un de ses points, d'une fraction d'angle

égale à — ; et, dans cette fraction, n doit être supposé aussi grand que possible, si l'on veut obtenir la continuité, mais non pas infini, sans quoi la

droite ne tournerait pas. Cette fraction — représente donc, dans la génération d'un angle, l'atome de rotation, absolument comme la frac-

1 ion — représente , dans la génération d'une courbe ,

l'atome de direction. La théorie atomique nous fournit ainsi le seul moyen intelligible de réaliser

la continuité d'une courbe et d'une surface. Au surplus, examinons les propriétés qui découlent de cette nouvelle définition de la dérivée.

PROPRIETES GENERALES

I*' La relation ■f]=^zf'{x)^ que nous venons de trouver, n'esL pas une égalité approchée, comme cette autre, k=ihf'(x)^ laquelle n'est vraie que lorsqu'on passe à la limite zéro et se réduit alors à une identité : c'est une égalité rigoureusement exacte, du moment que les deux éléments qui la constituent, y? et e, sont des atomes correspondants.

2*^ Deux fonctions inverses ont évidemment des dérivées qui sont Vune Vinverse de Vautre; car, si

la dérivée de la première fonction est — , celle de

la seconde est —

'fi

3*^ Toute l'onction^ dont la dérivée est nulle, est une constante; en effet, si f(x)= o^ dans la Te\Riionin=ef(x), ri = o, et la fonction ne croît pas quand la variable croît.

4^ Deux fonctions qui ont la même dérivée, pour le même accroissement de la variable, diffèrent d'une quantité constante. En effet, si l'on

désigne par v? et B les deux accroissements de ces fonctions qui correspondent au même accroissement £ de la variable, on aura: ■ri^=zzf(x) et Q = sf(x); donc G=iri. Les fonctions recevant deux accroissements égaux ne peuvent différer que d'une quantité constante.

La détermination du maximum et du minimum d'une fonction, celle du sens de la concavité ou convexité (Tune courbe^ la recherche de la vraie valeur d'une fonction qui se présente sous la

forme — , et bien d'autres questions générales, qui

dépendent des dérivées successives d'une fonction, se trouvent résolues fort simplement par l'introduction de l'atome dans les premiers principes.