PROPRIÉTÉS SPÉCIALES

Appliquons l'atome à quelques questions particulières et notamment à la recherche de la dérivée des fonctions simples qu'on considère ordinairement dans les mathématiques.

Fonction x'^

Soit proposé de trouver la dérivée de j?***. Si l'on y remplace x par ^•-f-£,£ désignant l'atome numé-

rique ou simplement le plus petit nombre qui

puisse produire un accroissement dans la fonction,

on sait qu'on aura, d'après la formule du binôme

de Newton, pour l'accroissement correspondant

de cette fonction :

Mais, tous les termes du développement qui

suivent le premier sont nuls ou de nul effet sur

la fonction ; donc, on a exactement :

y? = me^"'~\

d'où l'on tire : — = mx'^^.

Telle est la dérivée de la fonction x"' . On trouvera de même celle d'un polynôme quelconque.

Limite de ( i + \

Considérons l'expression ( i -] J -Lorsque m

augmente indéfiniment, on sait que cette expression tend vers une limite, qui est le nombre e. Peut-on dire que ce nombre e est égal à (i+o)", comme cela est nécessaire quand on prend o pour l'atome des nombres? Evidemment, c'est là un pur symbole qui ne représente rien à l'esprit. Si

1 on pose, au contraire, — =€, d ou m= — je étant

me

HYPOTHÈSES ET ATOMES I2g

l'atome numérique, on trouve (i -\- e)e pour la limite de l'expression (i-\ | ? quand m augmente indéfiniment, ce qui donne l'égalité vraie :

C'est du reste ce qu'on obtient, en appliquant

directement l'atome à la fonction e"" développée

en série :

Si l'on fait j? = e, e étant l'atome numérique, tous les termes qui suivent le second dans le développement sont nuls, et il reste :

d'oîi l'on tire : e ^ [i -i-£)^ .

Fonction exponentielle .

Proposons-nous de trouver la dérivée de la fonction e"^ . Si l'on j remplace x par x -+• s, e étant l'atome numérique, on aura pour l'accroissement correspondant ri de la fonction :

n = e^"^e — e"" ou -n = e''(e'- — i ) .

Mais (i H- £)£ =e, et, par suite, e, — i =£; donc, on aura :

l3o HYPOTHÈSES ET ATOMES

d'où l'on tire : — = e*.

Telle est la dérivée de la fonction e^. On trouvera de même que a^ — i = e/a, et, par suite, que la dérivée de a"" est a* /a.

Fonction logarithmique.

Le théorème des fonctions inverses, qui est évident, nous donne la dérivée de la fonction logarithmique.

Si l'on pose Ix = y, on en déduit x = ey. Or,

on a, d'après ce qui précède :

— = e** ou — = X.

Donc, en prenant l'inverse, on trouvera pour la

dérivée de Ix :