VJ X

De même^ en posant logx =y, on trouvera

pour la dérivée de logx :

Yi xla

Fonctions trigonomé triques.

S'il s'agit d'une fonction trigonométrique, on se rappellera que, dans un cercle quelconque, une ligne trigonométrique d'un angle au centre n'est

HYPOTHÈSES ET ATOMES l3l

autre chose que le rapport de cette ligne au rayon du cercle. Le rayon du cercle étant pris habituellement pour unité^ toute ligne trigonométrique entre donc dans le calcul sous la forme d'un nombre, qui varie d'une manière continue entre deux limites extrêmes, pendant que l'arc de cercle, qui sert de mesure à l'angle au centre correspondant, croît lui-même d'une manière continue. Si Ton choisit le cercle atome pour cercle trigonométrique, on devra noter dans ce cas plusieurs particularités remarquables, que nous avons déjà rencontrées dans la théorie atomique (Chapitre viii). Ainsi, par exemple, le plus petit arc EH de ce cercle est compris entre les côtés du plus petit angle HNE, et égal à l'atome de longueur ; le sinus HK ne se distingue pas de l'arc EH, la tangente non plus, et le cosinus NK est égal au rayon NE, car la flèche KE est nulle ; enfin,

HK. • 1 , n ■ -1

le rapport ^^rrr est un indeimiment petit du pre-

mier ordre. Donc, dans le cercle atome, en appelant £ le rapport du plus petit arc possible au rayon, on a les relations : sin s = e, tang e = e, cos e = i . Ces relations, étant vraies dans le cercle atome.

le sont aussi dans un cercle de rayon quelconque, puisque le rapport de l'arc, du sinus, de la tangente, du cosinus au rayon du cercle ne dépend pas de la longueur du rayon ; le nombre cose est donc toujours égal à l'unité, et les nombres e, sine, tange, sont toujours des infiniment petits du premier ordre, égaux entre eux et représentant le plus petit arc, le plus petit sinus et la plus petite tangente que puisse avoir un angle au centre dans le cercle considéré.

C'est aussi ce qu'on obtient en appliquant directement l'atome aux fonctions sina?, cosj?, développées en série et à la série de Leibnitz. Ces trois séries sont :

( I ) sina? = x — (2) cosa;= I —

x^ x^ .y'' (o)arctang.^=.T — - — h ^ +

Si l'on fait .r = £, e désignant le plus petit arc qui puisse produire un accroissement correspondant dans la fonction, tous les termes qui suivent le premier sont sans influence pour accroître la fonction, et l'on trouve immédiatement : sine = e, cose = i, e = Lange.

Il faut noter encore que, si le nombre e est un

HYPOTHÈSES ET ATOMES l33

indéfiniment petit du i*^"" ordre, ce nombre devient zéro, quand l'angle devient nul. L'arc, le sinus et la tangente trigonométrique du plus petit angle passent donc de e à o, sans prendre aucune des valeurs intermédiaires entre e et o. Par conséquent, quelque petit que soit l'angle, aucune de ces lignes ne peut égaler l'atome numérique ; et, si l'une d'entre elles doit, par suite d'un calcul, avoir une valeur moindre que e, cette valeur est nulle, absolument comme si e était l'atome numérique.

Fonction sincc

Proposons-nous de trouver la dérivée de la fonction sina7. Si l'on j remplace a; par x -\- e, e désignant le plus petit arc qui puisse produire un accroissement correspondant dans la fonction, on aura pour exprimer cet accroissement m :

yj = sin {x-\-s) — sina;, ou, en développant,

Y] = sin^c coS£ -h sine cos^ — sina?

Mais cos£ = I , et sine = e ; par conséquent, la formule se réduit à :

Y] ■= sina; -|- e cosa? — sina?, ou y) = e cos^,

d ou 1 on tire : — = cos^.

Telle est la dérivée de la fonction sina?.

l34 HYPOTHÈSES ET ATOMES

Fonction cosa?.

Proposons-nous de trouver la dérivée de la fonction cosiT. Si l'on y remplace x par x -{- t, s désignant le plus petit arc qui puisse produire un accroissement dans la fonction, on aura pour l'accroissement correspondant rj de la fonction :

•n = coëfx-\- e) — cosa;, ou, en développant :

V7 = C0SJ7 cose — sina? sins — cos^.

Mais cpse = i et sine = e ; par conséquent, la formule se réduit à :

Y] = cos^r — e sin^r — cosic, ou n = — e sinj7,

d'où l'on tire : — = — sinj7.

Telle est la dérivée de la fonction cos^r.

Fonction tang;r.

Soit proposé de trouver la dérivée de la fonction tangic. Si l'on j remplace x par a; -h e, e désignant le plus petit arc qui puisse produire un accroissement dans la fonction, on aura pour l'accroissement correspondant ri de la fonction : ïj = tang (x-\-e) — tanga7,

HYPOTHÈSES ET ATOMES l35

OU, en transformant cette différence de deux tangentes,

sins n

cos (x -f- e) cos.-r Si l'on développe cos(^^ H~ ^)) on obtient

sine

cos'^j; cosc — sine sin^r cos;r Mais sine = e, cose = i , et le terme sine sina? cosa? est nul, car il doit être moindre que sine ; donc, la formule se réduit à :

cos* a;

d ou 1 on tire : — = ;;— •

e COS-J7

Telle est la dérivée de la fonction ismgx.

Cette dérivée, comme celle de toutes les autres fonctions trigonométriques, aurait pu se tirer des deux premières par la règle de dérivation d'un quotient.

Fonction arctangj;.

Le théorème des fonctions inverses, qui est évident, nous donnera la dérivée des fonctions arcsinrr, arccosa?, et arctangj?.

Soit proposé de trouver la dérivée de la fonction arctangrr.

Si Ton pose arctang^ == y^ on en tire immédia-

l36 HYPOTHÈSES ET ATOMES

tement x = tangy. Mais la dérivée de tangy,

f\ I ou — , est égale à g- , et cos'3/= i -f- tang^y ; on

aura donc :

et, par suite, en prenant l'inverse :

yj I -f- iC^

Telle est la dérivée de la fonction arctangic.