QA PB

OA

donc, le rapport -^-^ représente un indéfiniment

petit du 2* ordre.

On trouvera de la même façon que les rapports

OA OA , . , o -

rvn' Tvp' représentent des indéfiniment pe-

tits du 3% 4®, ordre, jusqu'à un ordre aussi

élevé qu'on voudra.

Nous avons supposé que 0 A est l'atome linéaire ; la construction et le raisonnement subsistent intégralement, si l'on choisit arbitrairement pour OA une longueur quelconque. Ce qu'il y a de particulier, lorsque OA est une longueur quelconque, c'est qu'on obtient les indéfiniment petits de tous les ordres successifs en s'éloignant, soit dans un sens, soit dans l'autre, du point de départ; et, ce qui n'est pas moins remarquable, c'est que la même construction interprétée à rebours, c'està-dire en renversant les termes du raisonnement, nous donne la série de tous les indéfiniment grands en même temps que celle de tous les indéfiniment petits. La figure ci-contre^ dont la forme est liée essentiellement à l'existence de l'atome, nous offre donc l'image de toutes les grandeurs intelligibles, en même temps que celle de tous les rapports

l4o HYPOTIIÈSKS 1:T ATOMES

imaginables. L'atome y est représenté comme la plus petite de toutes les grandeurs indéfiniment petites de même espèce, et l'atome numérique comme le rapport de la plus petite des grandeurs indéfiniment petites à la plus grande des indéfiniment grandes.

Quel est, au fond, l'emploi qui a été fait de l'atome numérique dans la définition et le calcul de la dérivée d'une fonction ? Si l'on sait que la fonction croît plus vite que la variable, rien n'empêche de prendre l'atome numérique pour accroissement de la variable ; on est alors en droit de négliger, dans le calcul de l'accroissement correspondant de la fonction, tous les termes qui sont moindres que l'accroissement atomique de la variable, car tous ces termes sont absolument nuls. Si la fonction croît moins vite que la variable, ou si on l'ignore, l'emploi direct de l'atome numérique n'est plus possible ; mais, on prend alors pour accroissement de la variable le plus petit nombre qui produise un atome d'accroissement dans la fonction, et l'on est encore en droit de négliger, dans le calcul de l'accroissement correspondant de la fonction, tous les termes qui sont moindres que ce nombre, attendu que ces termes

HYPOTHÈSES ET ATOMES l4l

ne peuvent avoir aucune influence pour accroître la fonction, ce nombre étant le plus petit qui produise un accroissement correspondant.

Gomme conséquence, si l'on a foriïié une équation entre des indéfiniment petits de différents ordres, et qu'on veuille en dégager la relation propre à ceux qui sont de l'ordre le moins élevé, il suffira de supprimer purement et simplement tous les autres ; en d'autres termes, il est permis de négliger, dans un calcul d'indéfiniment petits d'un certain ordre, tous les indéfiniment petits qui sont d'un ordre supérieur.

Leibnitz, l'inventeur du calcul différentiel, admettait que ces indéfiniment petits, d'un ordre supérieur à ceux qu'on conserve, sont négligeables comme des grains de sable par rapport à tout le globe terrestre. Lagrange et Garnot l'ont admis aussi, en regardant les équations comme des relations que la présence des indéfiniment petits d'ordre supérieur rend imparfaites, mais qui deviennent parfaitement exactes à la fin du calcul, les erreurs se redressant et se compensant par le fait même des opérations. M. de Freycinet, dans ses Essais sur la philosophie des sciences, p. io8, en a donné la vraie raison : on peut négliger ces indéfiniment petits, dit-il, « parce que ces indé-

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finiment petits d'un ordre supérieur sont sans influence sur les limites ».

Telle est aussi notre opinion ; mais il semble qu'en allant, avec M. de Freycinet, jusqu'à la limite zéro, on dépasse l'instant où la démonstration est vraiment efficace. Dès qu'on considère zéro comme la limite d'un indéfiniment petit d\m certain ordre, il est certain qu'à cette limite tous les indéfiniment petits d'ordre supérieur s^annulent ; mais lui-même s'annule en même temps, et les équations du calcul se réduisent alors à de simples identités, sans signification ; au contraire, si l'on s'arrête à l'atome comme limite, on reste en présence d'équations qui ne sont pas des identités, d'une part, et dans lesquelles, d'autre part, certains termes deviennent nuls ou de nul effet, d'après la théorie atomique ; ce sont précisément ceux qui représentent des indéfiniment petits d'un ordre supérieur à celui qu'on conserve. L'atome ne peut donc pas se montrer sans entraîner, par voie de conséquence, l'axiome de Leibnitz ; tandis que, si l'on s'en passe ou si on le confond avec zéro, la justification de l'axiome manque d'efficacité.

La théorie atomique offre ainsi des avantages incontestables sur la divisibilité à l'infini, jusque dans les principes fondamentaux de l'analyse.