LA PARALLÈLE NON EUCLIDIENNE

Quelle est la définition qu'on donne d'une parallèle dans l'hypothèse non euclidienne ?

Lobatschewsky définit ainsi la parallèle à une droite : « Toutes les droites qu'on peut mener par un point dans un plan peuvent se distribuer, par rapport à une droite donnée dans ce plan, en deux classes, savoir : en droites qui coupent la droite donnée et en droites qui ne la coupent pas. La droite qui forme la limite commune de ces deux classes est dite parallèle à la droite donnée » . (V. Proposit. 16, page 3, Etudes géométriques, 1840, trad. Houël, Gauthier- Villars, édit.).

Cette définition nous laisse perplexe sur le point capital de savoir si cette limite commune aux deux

classes est la dernière des sécantes que nous avons pu obtenir ou la première des non-sécantes qui suivent; l'auteur ne le dit pas expressément, ni à cette page ni dans les suivantes, mais tout le reste donne à penser que la parallèle est pour lui plutôt une non-sécante qu'une sécante, puisqu'il admet qu'elle devient sécante dès qu'on la dévie un peu en la rapprochant de la droite donnée, et qu'il démontre plus loin que la parallèle à une droite s'approche indéfiniment de la droite, sans jamais la rencontrer.

La définition formulée par Bolyai, son contemporain, est plus claire. « Etant donné un point et une droite, si l'on fait mouvoir une droite quelconque autour du point, dit-il, il y aura un instant où la droite mobile commencera à ne plus couper la droite donnée ; c'est alors qu'on aura la /jara/lèle ». (V. § 1, page 43, /a Science absolue de l'espace, trad. Houël, Gauthier-Villars, édit.).

Evidemment, quand la droite mobile commence à ne plus couper la droite donnée^ le point d'intersection n'existe plus sur la droite donnée, ni nulle part ; la parallèle de Bolyai est donc, comme celle de Lobatschewsky, une non-sécante, et on l'obtient en écartant un peu de la droite donnée la dernière des sécantes par une légère déviation.

On peut déduire de là que le caractère propre de la parallèle non euclidienne, c'est d'être une non-sécante qui devient sécante dès qu'on la dévie en diminuant d'aussi peu qu'on veut son inclinaison vers la droite donnée, et qui reste non-sécante dès qu'on la dévie en augmentant cette inclinaison. (V. note 2, page 554, Traité de Géométrie de MM. Rouché et de Gomberousse, 5^édit., i883, Gauthier-Villars) .

J'exprimerai cerésultat en deux mots : la parallèle à une droite est la première des non-sécantes qu'on peut mener à cette droite.

On démontre aisément, à la suite de cette définition, que toute droite parallèle à une autre conserve le caractère du parallélisme en tous ses points et que ce caractère est réciproque.

On démontre aussi que, si deux parallèles étaient perpendiculaires à la même droite, la somme des angles d'un triangle quelconque serait égale à deux droits. (Voir les ouvrages cités plus haut) .

Enfin, on peut démontrer directement, et indépendamment de toute hypothèse, que, si deux droites sont coupées par une troisième sous des angles alternes-internes égaux, ces deux droites sont non-sécantes et Réciproquement.

Démonstration. — i^ Soit NX' et PP' deux droites coupées par une troisième OS de telle sorte que l'angle POS soit égal à OSX'. Si l'on fait tourner, dans le plan de la figure, la partie NSOP autour du milieu I de la sécante jusqu'à ce que 10 vienne tomber sur IS et IS sur 10, la partie NSOP s'appliquera exactement sur la partie P'OSN', tout se trouvant alors égal et également disposé dans les deux parties. Il en résulte que, s'il y avait un point de rencontre des droites d'un côté de OS, il y en aurait un second de l'autre côté, et par ces deux points de rencontre passeraient une infinité de droites distinctes, ce qui est absurde ; donc, les deux droites, NN' et PP, ne peuvent pas se rencontrer. On en conclut que, si deux droites sont coupées par une troisième sous des angles alternes internes égaux, ces deux droites sont nonsécantes.

a'' Réciproquement, si deux droites sont non-sécantes^ on peut en mener une troisième qui les coupe sous des angles alternes-internes égaux.

Soit NN' et PP', deux droites non-sécantes, 0 un point quelconque de PP' et OM la perpendi-

culaire abaissée du point 0 sur NN'. Si l'on fait tourner PP' autour du point 0 vers MN, on pourra l'amener d'abord dans la position OR où elle est parallèle à NN'; dans cette position, elle fait avec MN un angle égal à zéro et avec OP un angle POR qui n'est pas nul, quelque petit qu'il soit. Ensuite, si l'on continue à faire tourner PP' autour du point 0, on pourra l'amener dans la position OM où elle est perpendiculaire sur NN' ; dans cette position, elle fait avec MN un angle OMN' qui est droit et avec OP un angle POM qui est aigu. Par conséquent, lorsque la droite mobile passe de la position OR à la position OM, l'angle qu'elle fait avec MN varie de zéro à un droit, et , dans le même intervalle, l'angle qu'elle fait avec OP varie de POR, qui est plus grand que zéro, à POM, qui est plus petit qu'un droit. Gela ne peut avoir lieu sans que la droite mobile, en vertu de la continuité, ait passé par une position intermédiaire où elle fait avec les droites données, NN' et PP', des angles alternes-internes égaux. On en conclut que, si deux droites sont non-sécantes, on peut en mener une troisième qui les coupe sous des angles alternes-internes égaux.

Ce dernier théorème fournit un procédé des plus réguliers et des plus précis pour caractériser la parallèle non euclidienne.

Imaginons qu'on ait mené par le point 0 une sécante quelconque, OA par exemple, puis OM perpendiculaire sur MN et OD perpendiculaire sur OM. L'angle A doit être plus petit que AOD, dans l'hypothèse non euclidienne ; car, si l'on avait A >> AOD, la somme des angles du triangle OAM serait plus grande que deux droits, et, si l'on avait A ^ AOD, cette somme égalerait deux droits. Puisque Tangle A est plus petit que AOD, nous pouvons faire AOB "0 égal à l'angle A, et la droite OB ainsi menée ne rencontrera pas la droite donnée MN ; d'après le théorème démontré plus haut, elle est non-sécante à la droite donnée.

Si l'on partage maintenant l'angle droit MOD en n parties égales et qu'on fasse tourner une droite autour du point 0, à partir de la perpendiculaire OM, de manière à ce qu'elle décrive

chaque fois un angle égal à — , il est clair que la

droite mobile prendra ainsi successivement toutes les positions où elle est d'abord sécante, puis non-

sécante à la droite fixe, pourvu que l'on suppose n assez grand. En lui appliquant chaque fois la construction qu'on vient de faire avec OA, on obtiendra chaque fois une non-sécante correspondante, distincte de la précédente; on obtiendra donc, grâce à cette construction combinée avec le mouvement, toutes les non-sécantes possibles^ depuis celle qui correspond à la sécante la plus rapprochée de OM jusqu'à celle qui correspond à la sécante la plus éloignée, puisqu'il n'y en a pas d'autres, d'après la Réciproque du théorème démontré plus haut.

La sécante la plus rapprochée de OM, c'est OM, et la non-sécante qui lui correspond est OD. De même, la sécante la plus éloignée de OM, c'est ON, et la non-sécante qui lui correspond est OP. Toutes les autres non-sécantes sont intermédiaires entre ces deux-là. Il n'y a qu'une seule non-sécante qu'on ne pourrait pas obtenir parce procédé^ c'est celle qui correspondrait à une sécante faisant avec la droite donnée un angle égal à zéro, attendu qu'une pareille sécante n'existe pas. Pour l'obtenir d'ailleurs, il faudrait poser — = o ou /i = oo ;

mais, si — == o, la droite, qui est supposée mobile, tournerait chaque fois d'un angle égal à zéro, c'est-

à-dire ne tournerait pas. Si donc elle tourne, — ^ n

n'est pas nul, n n'est pas infini, et il faut que la

dernière sécante soit distincte de la non-sécante

qui lui correspond, ni plus ni moins qu'elle est

distincte elle-même de Favant-dernière sécante et

qu'une sécante quelconque l'est de sa précédente.

La non-sécante qui correspond à la dernière des sécantes ne pouvant être autre chose que la parallèle non euclidienne, nous devrons considérer cette parallèle comme une droite faisant avec la dernière sécante le même angle que celle-ci avec la droite donnée^ si petit qu'il soit.

En conséquence, le tableau qui représente, dans l'hypothèse non euclidienne, la seule distribution possible des droites qu'on peut mener d'un point à une droite donnée, est facile à imaginer.

Dans ce tableau, on ne trouve que des sécantes et des non-sécantes à la droite donnée. On y voit d'abord des sécantes quelconques telles que OA qui sont finies^ puis une sécante extrême ON qui est indéfinie, puis une première non-sécante OP qui est la parallèle et qui est infinie, et enfin d'autres non-sécantes qui sont infinies comme la parallèle.

La sécante extrême et la parallèle étant des posi-

tions consécutives d'une droite mobile, l'angle

— qui les sépare est aussi petit que possible, mais

il n'est pas nul, d'où il résulte que, pour peu qu'on dévie cette parallèle d'un côté ou de l'autre, elle devient sécante ou reste non-sécante ; telle que nous la trouvons là, elle est bien la seule droite, issue du point 0, qui jouisse de la propriété caractéristique de la parallèle non euclidienne.

Enfin, les points de chaque sécante vont en s'approchant indéfiniment de la droite donnée à mesure qu'il s'éloignent du point O, puisque chaque sécante finit par rencontrer la droite donnée. Il n'y a pas d'exception pour la sécante extrême, sous ce rapport. En est-il de même pour la parallèle, bien qu'elle ne rencontre pas la droite donnée? Il existe effectivement des droites analogues, qui s'approchent de certaines branches de courbes indéfiniment sans jamais les rencontrer, ce qu'on exprime en disant que la droite est asymptote à la courbe. Si la parallèle à une droite ne peut pas lui être sécante, ni tangente à Tinfini, avecunpointcommun, n'est-elle point asymptote à la droite? Nous allons voir si la chose est possible, en étudiant les conséquences immédiates qui résultent de notre définition.

Considérons d'abord une sécante quelconque, OA parexemple, et OB la non-sécante correspondante. Abaissons du milieu I de la sécante une perpendiculaire sur la droite donnée, et soit IG cette perpendiculaire prolongée en IH; nous aurons formé ainsi deux triangles, AIG et 01 H, qui sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à des angles égaux chacun à chacun, savoir : 01 = AI, par construction; HIO = AIG, comme opposés par le sommet, et lOH = GAI, puis- 0 que la non-sécante fait avec la sécante le même angle que celle-ci avec la droite donnée. Ces deux triangles étant égaux, l'angle IHO doit égaler IG.\, et, comme ce dernier est droit, l'angle IHO est droit aussi. La non-sécante considérée et la droite donnée ont donc une perpendiculaire commune, qui passe par le milieu de la sécante correspondante.

Si l'on applique la construction et le raisonnement à la sécante extrême ON et à la non-sécante qui lui correspond, c'est-à-dire la parallèle OP, on trouvera de la même manière que la parallèle et la droite donnée ont une perpendiculaire commune qui passe par le milieu de la sécante extrême . Mais, si deux droites parallèles ont une perpendi-

4o HYPOTHÈSES ET ATOMES

culaire commune, la somme des angles d'un triangle quelconque est égale à deux.droits, d'après l'un des théorèmes cités plus haut. La parallèle à une droite, telle qu'on l'a définie dans l'hypothèse non euclidienne, ne peut donc pas exister sans contradiction avec cette hypothèse.

La non-sécante à une droite ne peut pas exister davantage, dans l'hypothèse non euclidienne, puisque toute non-sécante devient parallèle à la droite, si on la fait tourner un peu autour d'un quelconque.de ses points.