LA CONFUSION DE L'INDÉFINI ET DE L'INFINI

Il y a deux manières d'interpréter le résultat auquel on aboutit dans le chapitre précédent.

D'une part, on peut nier que la parallèle soit une droite distincte de la dernière sécante, et, confondant ces deux droites sous l'expression d'asymptote ou de sécante à l'infini, attribuer indistinctement à la parallèle, soit les propriétés d'une sécante indéfinie, soit celles d'une non- sécante infinie. La contradiction que nous avons rencontrée ci-dessus disparaîtra ainsi dans la confusion. On pourra dire, en effet, que la parallèle et la droite donnée ont bien une perpendiculaire commune, qui passe par le milieu de la dernière sécante, mais que, cette dernière étant infinie, si on

J\l HYPOTHÈSES ET ATOMES

le veut, et la moitié d'une droite infinie étant ellemême infinie, la perpendiculaire commune se trouve transportée à l'infini; là, elle ne gêne plus personne, et la géométrie non euclidienne peut s'étendre ainsi parallèlement à la géométrie euclidienne, en la contredisant sans cesse.

D'autre part, si l'on admet, comme nous l'avons établi, que la parallèle, qui est infinie, ne se confond pas avec la dernière des sécantes, qui est indéfinie, et que leur séparation est la seule condition qui soit compatible avec le mouvement qui les engendre Tune et l'autre, la contradiction signalée plus haut demeure inévitable. La perpendiculaire commune à la droite donnée et à la parallèle est située alors à une distance indéfiniment grande du point de départ, mais non pas à une distance infinie. Jusqu'à cette dislance indéfinie, les deux systèmes peuvent encore se soutenir, chacun de son côté, quoique sans cesse opposés Tun à l'autre; mais, à partir de là, le système d'Euclide s'impose et sans obstacle jusqu'à l'infini, tandis que celui de Lobatschewsky contredit son hypothèse et ne peut plus avancer qu'en se heurtant continuellement à la même contradiction.

Il est aisé de s'en rendre compte en examinant les propositions principales de cette géométrie.

Ainsi Lobatschewsky démontre (Prop. 23) qu'étant donné un angle aigu quelconque, on peut toujours trouver sur l'un des côtés un point qui soit à une distance du sommet telle que la perpendiculaire élevée en ce point et aux points suivants ne rencontre pas le second côté de l'angle. Soit MOP l'angle aigu, et MN la première perpendiculaire qui ne rencontre pas OP ; on voit immédiatement 0 qu'on doit regarder OP comme parallèle à MN, et que, par conséquent, si l'on mène la dernière sécante ON, celle qui précède la parallèle, on retombe sur l'égalité des deux angles alternesinternes qui entraîne la contradiction avec l'hypothèse non euclidienne.

Il en est de même de sa Prop. 82 : un cercle dont le rayon va en croissant se change en une courbe-limite. Si l'on suppose que le centre N d'un cercle s'éloigne indéfiniment de l'extrémité M d'un rayon, le rayon devient indéfiniment grand; et si, avec Lobatschew^sky, on regarde ce rayon indéfini MN comme infini, on devra dire évidemment que le cercle s'est changé en une courbe-limite . Mais , si l'on considère qu'un point N, qui s'éloigne en restant sur une droite, ne peut pas être transporté à l'infini, il devient impossible d'atteindre ainsi

autre chose que l'indéfîniment grand, c'est-à-dire la dernière sécante ON ; par conséquent, lorsqu'on voudra passer à la limite, qui est l'infini, il faudra faire tourner encore cette dernière sécante ON autour d'un de ses points, 0 par exemple, de manière à la rendre parallèle à MN ; on retrouve alors l'égalité des deux angles alternes-internes qui entraîne la contradiction avec l'hypothèse non euclidienne.

. La confusion de l'indéfini et de l'infini est si profonde dans les idées de Lobatschev^^sky, qu'il conclut, à la fm de sa démonstration, qu'on peut appeler sa courbe-limite un cercle de rayon infiniment grand, bien qu'il n'ait parlé que de l'indéfini. Tous les néo-géomètres après lui font la même confusion : il n'y a pas de cercle de rayon infini, mais seulement des cercles de rayons indéfiniment grands.

Son Théorème 29 s'explique par une confusion semblable. Dans un triangle rectiligne, dit-il, les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés se rencontrent toutes les trois au même point ou ne se rencontrent pas. Deux cas peuvent effectivement se présenter : ou bien, les sommets du triangle ne tombent pas tous les trois sur la cir-

conférence de son cercle-limite, et alors les trois perpendiculaires élevées au milieu des côtés se rencontreront en un même point, qui est le centre du cercle fini passant par les trois sommets du triangle ; ou bien, les sommets du triangle tombent tous les trois sur la circonférence de son cercle-limite, et alors les trois perpendiculaires élevées au milieu des côtés se rencontreront au centre même du cercle-limite ; pour lui, c'est dire qu'elles se rencontrent à l'infini ou encore qu'elles ne se rencontrent pas du tout.

Tous les théorèmes de Lobatschewsky se trouvent placés dans le même cas, soit directement, soit par voie de conséquence. Il se sert quelquefois de l'algèbre, notamment pour établir sa trigonométrie; mais, comme l'algèbre ne dit jamais que ce qu'on lui fait dire, il ne paraît pas douteux que ses calculs doivent porter, ainsi que ses théorèmes, la trace de la confusion qu'il a faite de l'infini et de l'indéfini. Je laisse aux algébristes de profession la satisfaction de le vérifier, je ne traite la question qu'au point de vue géométrique.

Au point de vue géométrique, Toeuvre de Lobatschewsky n'est pas le premier paradoxe qu'ait engendré dans les choses de Tesprit la confusion de l'infini et de l'indéfini. Tout le monde connaît la

fameuse antinomie de Kant : « Le continu, soit physique, soit mathématique, est divisible à Tinfini, et pourtant les éléments du continu sont ou paraissent indivisibles». On peut l'expliquer comme la nouvelle géométrie^, par la confusion perpétuelle de ces deux mots, infini et indéfini, dans l'esprit des discoureurs.

Il est clair, en effet, qu'en disant « le continu, soit physique, soit mathématique, est divisible à l'infini », on énonce une thèse tout à fait insignifiante, si l'on veut dire par là qu'en divisant une ligne en deux, puis en quatre, etc., on ne trouvera jamais aucune partie de la ligne qui ait une longueur nulle, puisqu'une telle partie n'existe pas. Le point n'est pas une partie de ligne, pas plus que la ligne n'est une partie de surface et la surface une partie de volume. Mais, si l'on veut dire qu'en divisant une ligne en deux, puis en quatre^ etc., on n'arrivera jamais à tomber sur le premier élément de la longueur, bien que cet élément existe, on énonce une vérité mathématique incontestable^ savoir que l'opération mentale, arithmétique ou géométrique, qui nous conduirait à cet élément, est interminable, autrement dit se prolongera indéfiniment. De même, en soutenant que « les éléments du continu sont ou paraissent

indivisibles », on formule une antithèse qui n'a pas de sens, si les éléments dont on parle sont nuls, comme ce que représente le zéro ; une ligne n'est pas une somme de points. Au contraire, si le zéro est remplacé par le premier élément de la longueur, on formule une proposition qui est d'accord avec tous les résultats connus du calcul infinitésimal. L'antinomie de Kant est donc un paradoxe, qui se résout très simplement avec l'indéfini et qui n'a aucun sens avec l'infini.

Tel est encore le paradoxe suivant. Si l'on joint g le milieu de la base d'un triangle

ABC, que je suppose équilatéral, au milieu de chacun des autres côtés, on forme une ligne brisée ADEFG qui est égale à la somme de ces deux côtés, AB-f-BG, c'est-à-dire au double de la base. En répétant la même construction sur les deux triangles partiels, ADE et EFG, on forme une seconde ligne brisée qui est encore égale à la somme des deux côtés, AB + BG, c'est-à-dire au double de la base. En continuant ainsi indéfiniment, on formera des lignes brisées de plus en plus surbaissées, qui ne cesseront pas d'égaler la somme des deux côtés, AB -h BG, c'est-à-dire le double de la base. Or, si l'on étend la proposition à l'infini, on devra

dire que les éléments de la ligne brisée deviennent nuls à l'infini, que ce sont des points se confondant avec ceux de la base, et, par suite, que la ligne brisée est égale à la base. Comme d'ailleurs cette ligne brisée ne cesse pas d'égaler la somme des deux côtés, AB-f-BC, il faudra que la base du triangle soit égale à la somme des deux autres côtés, ce qui est faux. Au contraire, si l'on considère que les éléments de la ligne brisée ne deviennent jamais nuls, en vertu de la construction même, mais seulement des indéfiniment petits, ils ne cesseront pas, quelque petits qu'ils soient, de recouvrir deux fois la base, si loin qu'on pousse l'opération ; par conséquent, la base du triangle reste toujours la moitié de la ligne brisée et aussi de la somme des deux autres côtés du triansrle, ce qui est vrai. Ce paradoxe se résout donc encore avec l'indéfini et conduit à l'absurde avec l'infini, quelle que soit d'ailleurs l'hypothèse qu'on ait faite sur la somme des angles d'un triangle.

En voici un autre exemple tiré des séries.

Considérons la série alternée des termes suivants :

Si l'on suppose que le nombre des termes y est

indéfiniment grand, cest-à-dire aussi grand qu'on voudra, on sait qu'en faisant les additions et soustractions indiquées par les signes, dans n'importe quel ordre , pourvu qu'on ne néglige aucun terme, on obtient toujours une valeur approchée de I2. et d'autant plus approchée qu'on s'arrête à un terme plus éloigné, de telle sorte qu'on peut dire que la valeur exacte de cette série indéfinie a pour limite li.

Maiç. si Ion suppose que le nombre des termes y est infiniment grand, la conclusion n'est plus la même. En effet, on peut remarquer qu'à partir d'un terme positif quelconque — , les n termes

positifs qui suivent, savoir :