III I

forment une somme plus grande que n fois le plus petit d'entre eux, lequel est ici le dernier; on a donc, quel que soit n :

n n-\-i n-\-i(n — i) Zn — 2'

Mais— est plus grand que— -; donc, la

on — 2 3

la somme de n termes positifs, comptés à partir de — , est toujours plus grande que — .

D'après cela, prenons d'abord les quatre premiers termes, i \-— , de la série ;

puis, groupons les cinq termes positifs suivants :

^ 1 1 1 1 — -, dont la somme a est

plus grande que -^ ; groupons de même les quinze

termes positiis suivants :— ^H f- -^-r^ ^

dont la somme h est plus grande que — ; puis, les

quarante- cinq suivants, dont la somme c est plus

grande que — ; et ainsi de suite, La série, con-

sidérée avec un nombre infiniment grand de termes, équivaudra à celle-ci :

Or, il est évident que les parties : a -,

i> ^, c 1 sont en nombre infini, et

que chacune d'elles est plus grande que — ;- , puisque a, j6, c,... sont chacun plus grands que-^; par conséquent, la série croît sans limite.

Les résultats qu'on obtient sont donc contradictoires, selon que la série est dotée dun nombre indéfini ou d'un nombre infini de termes.

Les exemples pareils sont très nombreux, et, avec un peu d'attention, on y retrouve tout ce qu'il y a de spécieux dans la géométrie non euclidienne. En vérité, le géomètre a toujours le droit de passer de l'indéfini à sa limite, comme le demandait Leibnitz, et, depuis Descartes, on en use à chaque instant dans l'analyse. Mais Leibnitz, ni personne, n'a jamais demandé qu'il fût permis de confondre sous un seul et même terme deux idées si différentes et même si opposées : l'indéfini et l'infini. Ce qui paraîtra énorme, c'est qu'on ait pu les confondre dans la circonstance des parallèles, puisque linlervalle qui les sépare correspond, dans cette circonstance, à un écartement de la droite donnée qui s'étend au delà de toute distance, et ce qui paraîtra curieux, c'est que Fhypothèse de leur confusion nous conduise à un vrai paralogisme, qui s'explique comme tous les paradoxes qu'on connaît.

S'il existe une dernière sécante, indéfiniment grande, menée d un point à une droite, il existe

aussi un dernier angle, indéfiniment petit, correspondant à cette sécante absolument comme l'angle nul ou égal à zéro correspond à la parallèle. De même qu'au-dessus de la dernière sécante il n'y aurait que l'infini, de même au-dessous du dernier angle il n'y aurait que zéro; d'après quoi, l'échelle complète des grandeurs géométriques s'étendrait;, depuis une certaine valeur indéfiniment petite a, jusqu'à une valeur indéfiniment grande q, et il n'y en aurait pas d'autres. Le zéro et l'infini, qui sont dépourvus de toute limite, resteraient complètement en dehors de la quantité.

L'existence d'un dernier angle n'est pas plus conciliable avec l'hypothèse non euclidienne que l'existence d'une dernière sécante. Nous avons démontré en effet que, dans l'hypothèse d'Euclide comme dans l'hypothèse contraire, on peut mener, d'un point extérieur à une droite, une sécante faisant avec la droite un angle aussi petit qu'on le veut; or, pour chaque sécante qu'on aura menée, l'angle correspondant a une valeur différente, suivant l'hypothèse qu'on adopte : si la somme des angles d'un triangle est égale

à deux droits, Tangle A est égal à — et les sui-

vanls B , C , N , sont respectivement égaux

.\ — , — , ... — ; si la somme en question est 1-4 8 2" ' ^

plus petite que deux droits, l'angle A est

moindre que — , et les suivants B, G,,..

N, sont respectivement moindres que

— . — . — . Supposons qu'on aitmené, 4 ' 8 ' 2« ^^ ^

dans l'hypothèse d'Euclide, la sécante ON qui fait avec la droite le dernier ou le plus petit de tous les angles, et désignons la valeur de cet angle par a. Dans l'hypothèse contraire, le plus petit de tous les angles devra avoir une valeur moindre que oc. Or, toute valeur moindre que a doit égaler zéro ; et nous avons vu qu'aucune sécante ne peut satisfaire à la condition de faire avec une droite un angle égal à zéro ; donc, la seule valeur possible pour cet angle, dans la seconde hypothèse, doit être a, comme dans la première. Les deux hypothèses, après avoir pu rester en désaccord sur la valeur de l'angle, depuis le point de départ de la construction, doivent s'accorder juste au moment ,où cet angle devient égal à a, dans l'hypothèse d'Euclide, et cet accord se réalise par l'évanouissement de l'hypothèse contraire. Il y a donc impos-

sibilité de concilier l'hypothèse non euclidienne avec Texislence d'un dernier angle, tout aussi bien qu'avec celle d'une dernière sécante, et cette impossibilité se manifeste exactement au même endroit. Remarquons d'ailleurs, que le même raisonnement n'a pas de prise, si l'on essaie de le retourner contre l'hypolhèse euclidienne, en partant de l'autre.

La question posée entre les deux géométries revient donc à savoir, soit s'il y a une dernière sécante, distincte de la non-sécante qu'on nomme parallèle, soit s'il existe un dernier angle, n'en ayant pas de plus petit que lui^ excepté zéro ^ .

^ En 1891, nous avons déjà démontré, en partant de l'existence d'un dernier angle, rimpossibilité de mener d'un point aune droite, soit la parallèle, soit une quelconque des nonsécantes qui forment tout le fonds de la géométrie non euclidienne. V. notre Essai de géométrie rationnelle. Annales de la Société nationale d'éducation, 87° livraison. Nous ajouterons que celte démonstration a surpris plus qu'elle n'a convaincu les géomètres qui l'onl lue.