L'ATOME

Il est facile de s'assurer que l'élément infinitésimal, dont il vient d'être question, n'est pas le produit d'une simple spéculation métaphysique, mais qu'il existe géométriquement en vertu de la loi générale et positive qui engendre toutes les grandeurs, c'est-à-dire le mouvement.

Imaginons qu'une ligne droite soit sécante à une autre ligne^ droite ou courbe, une circonférence de cercle, par exemple ; on sait qu'en faisant tourner la droite autour d'un de ses points extérieurs au cercle, ou en la transportant parallèlement à elle-même, c'est-à-dire perpendiculairement à une autre droite, on peut obtenir que les deux points d'intersection de cette sécante avec

la circonférence se rapprochent l'un de l'autre et finissent par se confondre en un seul. La sécante est dite alors tangente au cercle. Or, il est bien certain que, pendant le mouvement, chacun des arcs de cercle compris entre l'un des points d'intersection de la sécante et le point de contact de la tangente aura diminué de toute sa longueur primitive, jusqu'à devenir nul, et qu'une telle diminution n'a pu avoir lieu sans que l'arc, au moment de se réduire à zéro, ait passé par une dernière valeur, où il n^était pas encore nul, mais pourtant était plus petit que tous les arcs précédemment existants. C'est cette dernière valeur qui représente l'élément linéaire ou de longueur.

L'élément angulaire peut s'obtenir aussi de deux façons, soit par une rotation, soit par une translation. Considérons la figure formée par une droite, par la perpendiculaire abaissée sur cette droite d'un point donné et parla parallèle, euclidienne ou non, menée du même pointa la droite. Dans cette figure, la parallèle et la droite ne forment pas d'angle, puisqu'elles ne se rencontrent pas, c'est ce qu'on exprime en disant que leur angle est nul. Mais, si Ton fait tourner la parallèle autour du point donné, en l'inclinant du côté de la droite, immédiatement leur angle se forme et grandit

avec le mouvement, jusqu'à devenir un angle droit. Pour que cet angle puisse exister plus ou moins, après avoir été nul, n'est-il pas nécessaire qu'il ait commencé d'exister, en prenant une première valeur, qu'il n'avait pas encore, et qui est plus petite que toutes celles qu'il prendra dans la suite? Cette valeur représente l'élément angulaire.

Au lieu d'un mouvement de rotation, si l'on imagine que la droite se transporte parallèlement à elle-même, dans Thypothèse non euclidienne, le raisonnement et la conclusion sont les mêmes pour l'angle, soit qu'il disparaisse, soit qu'il prenne naissance par suite du mouvement.

D'une manière générale, il est inadmissible qu'une grandeur quelconque qui varie, en passant par toutes les valeurs possibles, depuis /jusqu'à o, n'en prenne pas une dernière, au-dessous de laquelle il n'y en ait point de plus petite, si ce n'est zéro. Cette valeur minuscule que prend toute grandeur à sa naissance ou à sa disparition, c'est l'élément a. de la quantité.

Il n'est pas facile d'isoler par la pensée cet élément a des valeurs qui l'avoisinent ; l'imagination se perd à vouloir suivre une grandeur fuyante qui lui échappe par sa petitesse bien avant sa dispari-

tien, et l'on en vient immanquablement à se faire l'objection suivante : puisque cette grandeur variable, dont il est question, est susceptible de diminuer indéfiniment, nul ne saurait lui assigner une valeur qui n'en est pas une plus petite, et il en sera ainsi jusqu'à zéro, qui est seul moindre que toutes les quantités. Cette objection est illusoire. La raison nous certifie d'abord que le mouvement nous fera rencontrer a avant d'arriver à zéro, d'après la définition même de chacun de ces termes; a est donc, comme tout ce qui existe, plus grand que zéro. D'autre part, si votre grandeur variable peut diminuer indéfiniment, a est luimême plus petit que tout ce qu'on peut imaginer ; il suffit donc de concevoir qu'il est plus petit que toutes les valeurs que pourra prendre la variable, pour qu'il n'j en ait pas de plus petite que lui : c'est tout ce qui le caractérise. L'objection faite plus haut revient simplement à assimiler, a/>rïorz, a avec o; or, cette assimilation est illégitime, puisque zéro ne représente aucune quantité, et que a en est une ; de plus, elle a le grave inconvénient, dans le cas des parallèles, d'engendrer le paradoxe que nous avons rencontré. La seule idée qu'on puisse se faire de cet élément a est celle de \a di/féren lie lie d'une variable indépendante, telle

HYPOTHÈSES ET ATOMES Sg

qu'on la définit dans l'analyse; dans la géométrie, c'est celle d'un atome.

L'idée d'un atome n'est pas pour étonner le physicien, chimiste ou naturaliste, qui admet volontiers la cellule, la molécule ou la nébuleuse comme un point de départ à la fois commode et fécond dans l'explication de la science, mais elle surprend quelques mathématiciens. Cependant, il serait étrange^ au point de vue de la raison, d'accorder un atome aux formes matérielles que manipule le physicien et de le refuser aux figures que conçoit le géomètre; car, celles-ci ne sont autres que celles-là idéalisées, et la perfection dans la jouissance d'un attribut ne consiste pas, que nous sachions, à en être dépouillé, mais bien à le posséder dans sa plénitude. Si donc on admet l'atome dans la matière, on devra l'admettre aussi dans la géométrie, qui est de la matière perfectionnée ; de plus, il faudra que l'atome géométrique ait toutes les propriétés de l'atome physique,^ et qu'il les ait toutes au plus haut degré. Si le physicien s'arrête nécessairement à un atome en quelque sorte grossier et provisoire, parce qu'il a toujours à craindre de le voir un jour se transformer en atome plus petit, le géomètre, lui, n'a rien à redouter du

6o HYPOTHÈSES ET ATOMES

temps, ni des efforts du savant ; en un clin d'œil, avec un mouvement imperceptible d'une ligne, il peut tirer du néant son atome, toujours identique à lui-même, en engendrant une grandeur, ou bien l'atteindre, en réduisant cette grandeur à zéro. L'atome géométrique est, de tous les atomes, le plus existant, le plus fixe, le plus simple ; c'est l'idéal des atomes. Voilà pourquoi nous verrons que toute la science repose sur lui.

Lorsqu'il s'agit d'une longueur, l'atome n'est pas un point, attendu que le point n'a pas de dimension ; mais, le point mis en mouvement décrit une ligne qui a une dimension. Le point mathématique, considéré en soi et condamné à l'immobilité, n'est autre chose que le néant ; au contraire, dès qu'on lui applique une force, l'effet produit est une longueur, qui débute par un atome et qui se développe suivant une ligne. Si l'atome linéaire n^est pas un point, c'est un point plus une force, c'est-à-dire une longueur.

A ce titre, l'atome peut augmenter et diminuer aussi bien que toute autre longueur; mais il le fera d'une manière particulièrement remarquable: s"il augmente, il ne peut que doubler, tripler, etc., et donner toutes les longueurs en se multipliant ; s'il diminue, ce ne sera que pour disparaître en

HYPOTHÈSES ET ATOMES 6l

devenant zéro. L'atome géométrique n'a que des multiples, il n'a point de sous-multiples.

Une ligne quelconque, soumise à un mouvement de translation ou de rotation, engendre une surface ; en passant, cette ligne nous donnera l'atome superficiel qui lui correspond. La génération d'un volume, en partant d'une surface qu'on met en mouvement, nous donnera de même l'atome solide. Ces deux dernières sortes d'atome jouissent, d'ailleurs, des mêmes propriétés que l'atome linéaire, chacun dans son genre ; le superficiel, en tant que surface, et le solide, en tant que volume, n'ont rien qui soit plus petit qu'eux. L'atome géométrique se trouve ainsi défini, pour toute espèce de grandeurs, comme étant la plus petite des grandeurs de même espèce.

L'angle, en tant que surface engendrée par une droite qui tourne autour d'un de ses points, a aussi son atome, qui est distinct de zéro et qui est le plus petit de tous les angles. Il est certain que, si deux angles varient en décroissant librement jusqu'à zéro, leurs valeurs atomiques doivent être égales; en effet, si ces valeurs étaient inégales, l'une ou l'autre des deux ne représenterait pas le plus petit de tous les angles. Cette remarque explique pourquoi nous avons trouvé plus haut

que l'atome non euclidien doit égaler l'atome euclidien, avant de se réduire librement à zéro.

11 n'en sera pas de même pour deux angles décroissants dont les variations ont entre elles une dépendance, le rapport de leurs valeurs atomiques peut être quelconque. Cependant, si les deux angles restent constamment égaux, dans toutes leurs variations correspondantes, on peut encore affirmer que leurs valeurs atomiques sont égales. Tel est le cas qui s'est présenté, et qui nous a servi dans la définition des non-sécantes et de la parallèle non euclidiennes : toute non-sécante devant faire avec une sécante le même angle que celle-ci avec la droite donnée, nous en avons conclu que la parallèle devait faire avec la dernière sécante l'angle atome que celle-ci fait avec la droite donnée ; ce qui a entraîné pour l'hypothèse non euclidienne une contradiction avec elle-même.

Nous trouverons plus loin des valeurs atomiques, dépendant l'une de l'autre, dans le chapitre des applications de l'atome à la dérivée d'une fonction ; pour le moment, la définition de l'atome d'une grandeur, comme élément rationnel et distinct de zéro, nous suffit.