L'ATOME ET LE ZERO

Au fond, la doctrine de ratome n'est pas une nouveauté dans la géométrie, et il serait puéril de la rejeter parce qu'on ne la connaît plus ou parce qu'elle joue un rôle capital seulement dans la définition des parallèles. Il s en faut que nous l'ayons inventée pour en faire une application raisonnée à la question ; cette doctrine est aussi vieille que le monde.

Le principe de la théorie atomique est exprimé sans équivoque dans tous les ouvrages qui nous restent de l'antiquité et du moyen âge, dans Archimède, Euclide, et leurs nombreux commentateurs. Les deux infinis y sont toujours laissés de côté, comme étant en dehors de la quantité. La

même doctrine est affirmée très nettement dans le traité De V esprit géométrique de Pascal, lorsqu'il écrit : a c'est-à-dire en un mot que, quelque mouvement, quelque espace, quelque temps qu'il soit, il y en a toujours un plus grand et un moindre, en sorte qu'ils se soutiennent tous entre le néant et l'infini, étant toujours infiniment éloignés de ces extrêmes ». Il ne serait pas difficile de citer beaucoup d'autres phrases, tout aussi explicites, sous la plume de Leibnitz.

C'est seulement depuis l'invention de Descartes, c'est-à-dire depuis l'application régulière de l'algèbre à la géométrie, que ce principe s'est obscurci peu à peu sous l'emploi des formules algébriques et que l'assimilation de l'atome à zéro est devenue plus fréquente. Il y a eu d'abord ce fait important que, dans le calcul infinitésimal, ce qu'on appelle un infiniment petit ne l'est pas au sens propre du mot: c'est indéfiniment petit qu'on aurait dû dire, au lieu à' infiniment petit. Personne ne s'y trompe, il est vrai, et on l'entend toujours ainsi ; mais, on n'en a pas moins pris l'habitude de franchir l'intervalle de l'indéfini à l'infini à chaque instant, le zéro se présente au bout de la plume en même temps que a, et le calculateur de profession s'est tellement exercé à

regarder le zéro comme la plus petite des quantités — bien qu'il n'en soit pas une et que cette qualité appartienne exclusivement à l'atome — qu'il fait la confusion sans s'en apercevoir.

Aujourd'hui, cette confusion n'est pas simplement un fait accidentel, quoiqu'on ne l'ait signalée ici que dans la géométrie non euclidienne, elle est de tous les jours et de tous les pays, de plus en plus acceptée à mesure que l'analyse fait plus de progrès. Si elle occasionne çà et là quelques obscurités, anomalies ou paradoxes, on les laisse volontiers de côté pour s'attacher à ce qui reste vrai quand même, et le champ des découvertes modernes n'en est pas diminué de beaucoup.

Mais voilà que cette confusion amène les Euclidiens en face d'une nouvelle école de géomètres, où Ton débute par ces mots : « Vous admettez que la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits : pour nous, il nous plaît d'admettre que cette somme est un peu différente, et nous vous mettons au défi de prouver que notre hypothèse a d'autre tort que celui de vous contredire. Voyez les mémoires, les thèses doctorales, les volumes, qu'elle nous a déjà valus ; elle est pour le moins aussi présentable et aussi féconde que la vôtre ». Cette déclaration n'est certes pas né-

gligeable, et il imporle que les partisans d'Euelide se rendent un compte exact de la situation qui leur est faite ; la voici en quelques mots.

Dès que vous admettez, avec Euclide, que la somme des angles d^un triangle est égale à deux droits, il vous faut aussi admettre avec lui que le zéro est distinct de l'atome ; car, si ces deux termes restent confondus dans votre esprit, vous devez accepter logiquement que dans tous les triangles cette somme est un peu différente de deux droits. Vous devez accepter encore, comme conséquence, que le théorème de Pythagore, la théorie de la similitude, celle de l'aire et du volume des corps ronds sont des résultats faux, que vos belles applications à la physique, à la mécanique, à l'astronomie, et toute votre analyse euclidienne n'offrent plus aucune certitude.

Même en définissant la vérité scientifique comme l'hypothèse la plus simple qui explique tous Tes faits, vous n'êtes pas sûrs que cette vérité soit de votre côté plutôt que du côté opposé, car il n'est guère moins simple de supposer la somme des angles d'un triangle un peu différente de deux droits que de la supposer égale à deux droits. Peut-être vous contenterez-vous d'accepter les résultats que vous avez acquis jusqu'à présent

comme des vérités purement relatives à votre hypothèse et n'ayant rien d'absolu ; votre géométrie cesserait ainsi d'être le modèle des sciences exactes. Mais les prétentions des non-euclidiens ne vont pas au delà : en attendant, disent-ils. qu'ils aient trouvé un milieu où leurs spéculations puissent se réaliser et un principe général qui comprenne tous les systèmes particuliers de géométrie, ils regardent leurs développements propres comme vrais par rapport à leur hypothèse, et, sous ce rapport, leurs droits sont égaux aux vôtres.

Cependant, vous avez déjà quelque chose qu'ils n'ont pas, c'est le milieu dans lequel la géométrie d'Euclide est toute réalisable; ce milieu, c'est l'espace rationnel, autrement dit l'espace où nous vivons, débarrassé par la conception de toutes ses imperfections et accidents. Quant au principe, qui paraît vous manquer et que les autres cherchent, il est simplement oublié ou méconnu par tous : c'est le principe de la distinction de l'indéfini et de l'infini, ou, ce qui est la même chose, de l'atome et du zéro. Avec ce principe, on explique tous les faits relatifs aux deux systèmes, et, par cela même qu'on marque l'endroit précis où la nouvelle géométrie est obligée de céder le pas

à l'ancienne, sous peine d'absurdité, on rend à la géométrie d'Euclide tous ses titres de science exacte.

Au surplus, les géomètres qui, en dehors de la géométrie pure, ont reconnu la nécessité de distinguer rinfini de l'indéfini, ne sont pas rares. Lagrange, Abel, Poisson, Gauchy, ont toujours regardé les fonctions comme de simples expressions de calcul, dont le développement en séries renferme le principe même de leur théorie. Pour eux aussi, toutes les grandeurs mesurables et, par suite, calculables se trouvent comprises entre l'indéfiniment petit et l'indéfiniment grand, l'infini et zéro restant en dehors de la quantité.

Mais ce qu'il y a de plus étonnant, c'est que le principe de la distinction de l'indéfini et de l'infini ressort formellement de la correspondance de Gauss, correspondance qui est le seul témoignage qu'on ait pu trouver dans les œuvres du célèbre Hanovrien en faveur de l'hypothèse non euclidienne. Répondant à une lettre de Schumacker, qui lui avait communiqué une démonstration de la somme des angles d'un triangle, presque semblable à celle de Platon, Gauss commence par le blâmer de l'usage qu'il fait d'une grandeur infinie en la traitant comme une grandeur finie et déter-

minée, ce qui n'est jamais permis en mathématiques ; et il termine en disant que le langage figuré de la théorie de l'infini ne présente point de contradiction, si l'homme, être fini, ne s'aventure pas à vouloir traiter quelque chose d'infini comme un objet susceptible d'être embrassé par ses forces habituelles de compréhension.

C'est précisément le reproche que nous adressons aux néo-géomètres, quand nous disons qu'ils n'ont pas distingué, dans leurs raisonnements, a de o, ni w de 00 . Sans doute, on peut sans inconvénient, dans la plupart des cas, passer de a à o ; il suffit d'en citer comme exemple le problème général de la tangente à une courbe, qui est fondamental dans le calcul différentiel, et la question de la mesure du cercle, qui est typique dans la théorie élémentaire des limites. La théorie des limites est applicable, toutes les fois que la variable peut s'approcher d'aussi peu qu'on le veut de sa limite. Mais est-ce le cas des parallèles? Tandis que l'angle zéro correspond à une non-sécante, l'angle a correspond à une sécante, et l'on ne peut aller de a à o sans que ce passage entraîne celui de u à 00, c'est-à-dire celui d'une sécante à une nonsécante ; or, personne n'osera prétendre que l'accroissement que prend une sécante quelconque

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pour devenir non-sécante, soit aussi petit qu'on le veut, puisqu'il demeure sans limite^ quoi qu'on fasse. C'est d'ailleurs dans cet intervalle de la dernière sécante à la non-sécante que nous avons vu se produire la contradiction de l'hypothèse non euclidienne avec elle-même.

Qu'on nous permette une dernière remarque. Le seul moyen d'échapper à la contradiction était évidemment de supprimer cet intervalle de a à o et de M à oo, en confondant l'atome avec zéro et l'indéfini avec Tinfîni. Les néo-géomètres ont fait la confusion ; et, comme il y a deux manières de la faire, il est arrivé qu'ils ont rencontré deux systèmes de géométrie non euclidienne, prenant leur source au même endroit. Qu'on y fasse attention, et Ton reconnaîtra que ceux qui supposent la somme des angles d'un triangle un peu plus grande que deux droits, ont supprimé l'intervalle en s'arrêtant, non pas à zéro, mais à l'atome ; Tinfini, dans leur système, est borné à Tindéfini : c'est le système que nous avons écarté dès le début, comme étant en opposition avec une proposition démontrée par Legendre. Les autres, ceux qui supposent la somme des angles d'un , triangle un peu plus petite que deux droits, onl supprimé l'intervalle en nianl les propriétés de

l'atome, et en les accordant toutes à zéro ; ils donnent ainsi à l'injûni tous les attributs de Tindéfîni. L'indéfini n'étant, en définitive, qu'une variété du fini^ ils traitent l'infini comme une quantité finie et déterminée, ce que Gauss reprochait à Schumacker.

En réalité, l'atome et le zéro sont deux étals consécutifs d'une grandeur continue, tout à fait distincts l'un de l'autre, et il n'y a pas plus de motif pour confondre ces deux états particuliers qu'il n'y en a pour confondre deux états consécutifs quelconques de la même grandeur. Soutenir qu'on voit très bien que le zéro existe au bout d'une grandeur décroissant indéfiniment, mais qu'on ne voit pas qu'il en soit de même de l'atome, c'est dire tout simplement qu'on voit bien que ce qui n'existe pas existe, et, par contre, que ce qui existe n'existe pas. C'est évidemment là une prétention doublement paradoxale, qui a pour cause unique la difficulté de se figurer avec l'imagination la valeur atomique d'une grandeur. Mais, si l'on imagine difficilement un atome, on ne peut s'empêcher de le concevoir ; la raison nous l'impose et nous laisse voir, après quelque réflexion, qu'il est beaucoup plus facile de concevoir le zéro

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à la suite de l'atome, que de concevoir le zéro sans l'atome ou confondu avec l'atome, attendu que la première de ces conceptions est logique et que la seconde ne l'est pas.

Je l'ai déjà dit, ce qui explique jusqu'à un certain point cet illogisme, sans l'excuser, c'est que l'atome a est plus petit que tout ce qu'on peut imaginer de plus petit, et qu'il est permis dans l'usage d'assimiler une telle quantité à zéro. Mais, la différence de a à o, qui est négligeable dans l'usage, n'est pas négligeable en théorie. Théoriquement, a étant indéfiniment petit, son inverse

— est indéfiniment grand, tandis que, o étant nul,

son inverse — c'est l'infini ; la différence entre o

l'infini et l'indéfini est donc géométriquement infinie. Elle l'est aussi algébriquement, si l'on traite zéro comme une quantité. On comprend, d'après cela, qu'une confusion ayant pour conséquence l'assimilation de deux éléments qui diffèrent infiniment l'un de l'autre ait pu devenir une source abondante d'erreurs, et que ces erreurs demeurent sans réplique, tant qu'on n'a pas recours à la distinction de l'atome et du zéro.