DÉVELOPPEMENT DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS

I . Notions préliminaires : axes, vitesse, accélération. — Sans revenir sur les principes de la Géométrie, j'admettrai qu'on sait mesurer les longueurs et les distances de telle façon que les axiomes de la Géométrie euclidienne soient vrais. Cette hypothèse est vérifiée en fait dans les limites de notre expérience, si on mesure les dislances à la façon vulgaire, à l'aide du mètre-étalon '.

Je suppose acquises les notions d'axes et de coordonnées. L ne fois choisi le trièdre de réjérence (que nous prendrons toujours trirectangle), la position d'un élément matériel M, à chaque instant t, et ses coordonnées sont bien déterminées : quand t varie, le point M décrit, par rapport au trièdre. une certaine trajectoire. Si nous avons adopté, une fois pour toutes, une mesure du temps (par exemple, la mesure vulgaire à l'aide d'une horloge sidérale), le point M possède à chaque instant (relativement au trièdre de réfé-

1 . Les distances étant ainsi mesurées, appelons solide ou ligure invarialjle tout corps matériel tel que les distances mutuelles de ses différents points ne changent pas ; l'expérience nous montre qu'un tet solide, étant lixé par deux points, peut occuper une suite co.itiiiue de positions, dans lesquelles une ligne du solide reste immobile et que cette ligne jouit sensiblement de toutes les propriétés de la droite euclidienne, etc. — Je ne discute pas ici les raisons qui ont conduit à cette mesure des distances, et au choix de l'étalon de longueur.

I'ainlevk. j

50 I-KS MAÎTKICS DE LA PKNSEE SCIENTIFIQl T.

lencei une vitesse et une accélération bien délerininées : la vitesse et l'accéléralion sont deux grandeurs dirigées, c'est-à-dire qu'elles ont une direction, un sens et une longueur. Je suppose connues les dcûnitions de ces deux grandeurs.

Quand on remplace le tricdre de référence T par un antre trièdre Ti mobile relativement au premier, le mouvement de M par rapport à Ti diiTère de son mouvement par rapport à T. C'est ainsi que le mouvement d'une barque glissant sur un fleuve es^t différent suivant qu'on le rapporte à des axes liés à la berge ou à des axes qui suivent le cours du fleuve.

2. Le principe de causalité et les Coperniciens. — Les axiomes de la Mécanique peuvent être énoncés aujourd'tiui sous une forme purement positive, indépendante de toute arrière-pensée j^hilosophique sur la valeur, objective ou illusoire, de la notion de mouvement absolu. Mais il est d'autre part un fait incontestable : c'est que jamais ces axiomes neussent été découverts si les fondateurs de la Mécanique n'avaient été guidés, dans l'interprétation des observations et des expériences, par certaines propriétés qu'ils attribuaient a pn'ori an mouvement aljsolu.

Les Coperniciens et leurs successeurs, Galilée, Newton, etc., savaient aussi bien que nous le savons nous-mêmes, que nos sens et notre observation n'atteignent directement que des mouvements relatifs. S'ils avaient parlé le langage moderne, ils auraient dit que, pour étudier le mouvement d'un élément matériel, il faut se donner avant tout les repères, ou, si on veut, le trièdre di réjérence, auxquels on rapporte le mouvement. ^lais le mouvement a(»soiu devait, d'après eux se distinguer de tous ces mouvements apparents par la propriété essentielle et caractéristique de satis-

laire au principe de causalité. Autrement dit, les Coperniciens admeUaient, a priori, que, parmi tous les repérages possibles, il en est un qu'on peut définir une fois pour loules et qui reni[)lit cetle condition que les mouvements repérés vérifient le principe de causalité.

C'est là l'idée fondamenlale des créateurs de la Mécanique, sur laquelle on ne saurait trop insister.

En premier lieu il importe de bien préciser le sens qu'ils attachaient au principe de causalité. Ils énonçaient ce principe sous sa forme vulgaire, celle que nous appliquons, plus ou moins inconsciemment, à chaque instant.

« (A). — Si, à deux instants, les mêmes conditions sont réalisées, transportées seulement dans l'espace et le temps, les mêmes phénomènes se reproduiront, transportés seulement dans r espace et le temps. »

C'est ce principe qui est le véritable principe de causalité, et non le principe que des philosophes modernes lui ont substitué dans des discussions récentes :

« (B). — Les conditions d'un phénomène étant déterminées à un instant donné, en un lieu donné, le phénomène est déterminé. »

Le premier principe entraîne le second, mais la réciproque n'est pas vraie. Les mêmes conditions étant réalisées à deux instants, transportées seulement dans l'espace, le second principe nous dit bien que les deux phénomènes seront déterminés, il ne nous dit jDas qu'ils seront ideniiqueSr si on veut encore, il n'implique nullement que le temps et l'espace ne soient pas causes efficientes. Par exemple, imaginons qu'on mette lo grammes de tel métal dans un litre de tel acide à telle température : le premier principe nous apprend que le même sel se formera, quel que soit le lieu de l'expérience. Au contraire, le second

■jZ LliS MAITKKS DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE

principe s'accorderait parfaitement avec une loi d'après laquelle le sel serait rouge à Paris et jaune à Versailles '.

C'est donc, à la fois, dans son sens historique et dans le sens conforme à la raison vulgaire que les Coperniciens interprétaient, et que nous interpréterons ici, le principe de causalité.

Je ferai enûn, au sujet de ce principe, une remarque : ce principe est vérifié en fait, dans les limites de notre expérience, quand on mesure les dislances et le temps à la façon vulgaire. Mais imaginons qu'on mesure les longueurs ù laide d'un mètre qui se raccourcisse ou se rallonge quand on le déplace dans l'espace (relativement au mètreétalon), ou qu'on mesure le temps à l'aide dune horloge très mal réglée (relativement à l'horloge sidérale ; les deux phénomènes que nous comparons (qui étaient identiques dans le premier système de mesure) apparaîtront différents, le second semblant, par exemple, amplifié et accéléré par rapport au premier.

En langage positif, le principe de causalité est donc le suivant :

« On peut mesurer les distances et le temps de telle façon que l'énoncé (A) soit vrai. »

C'est précisément par le principe de causalité (plus ou moins obscurément conçu et accepté) que les hommes, avant toute mécanique et môme avant toute science, ont été conduits à des mesures de longueur et de temps (règles

I. Le principe de causalité entraîne l'iiypolhcse déterministe : « L'élat actuel de l'Univers définit ses étals futurs >> ; le second principe l'entraîne également. La [confusion que me paraissent commettre certains philosophes, consiste à regarder comme équivalent d'admettre soit l'hypothèse déterministe, soit le principe de causalité.

Li:S AXIOMES DE LA MÉCANIQVK 53

et chaînos d'arpentage, sablier, etc. i, qui, sans doute, sont grossières par i-apport aux mesures perfectionnées d'aujourd'luii, mais ne présentent pourtant avec elles que des différence quantitativement très faibles.

- 3. Le principe de causalité en Mécanique. — Ceci posé, voici comment les Coperniciens ' appliquaient le principe aux phénomènes du mouvement.

l^our plus de clarté, je me placerai dans l'hypothèse (qui n'a d'ailleurs rien D'essentiel) où notre univers serait formé d'éléments matériels dont chacun reste identique à soimême, quelle que soit sa position dans l'espace et quel que soit l'instant considéré.

Le principe de causalité se traduisait alors, pour les Coperniciens, par les trois axiomes suivants, auxquels devait satisfaire le mouvement absolu.

I. Je traduis, bien entendu, en langage moderne, les idées de Copernic et de ses successeurs. Ces idées sont singulièrement difficiles à dégager pour des raisons multiples : Copernic, ses disciples et Galilée lui-même n'avaient que des notions insuffisantes de ciilcul inlinitésimal ; leur langage malliématique est à la fois très imparfait et très différent du nôtre; leurs idées, sur bien des points, n'étaient pas encore (et ne pouvaient être) parfaitement précises, et celles de leurs adversaires étaient plus confuses encore; enfin des raisons de prudence les contraignaient à dissimuler sonvent, entre les lignes, leur pensée de fond. Néanmoins, la lecture de leurs œuvres essentielles, de leur correspondance et des discussions qui durent de Copernic à Newton, ne laissent aucun doute sur les idées générales qui les ont constamment guidés et qui sont celles que j'expose ici.

Ces idées existaient d'ailleurs, sous une forme plus obscure, ctiez des prédécesseurs de Copernic. Je ne puis que signaler ici la filiation historique, si curieuse et si mystérieuse encore, qui relie la doctrine scientifique de Pythagore (et sans doute des anciens Assyriens) à celle de Copernic en passant par Nicoiss de Cuse, le prédécesseur immédiat de Copernic.

Phkmikr axiomk. — Si on connaît, à un instant donné, les conditions iniliiles des éléments iwitériels M, Mi, Mo..., M„ qui composent l'univers {c'est-à-dire, par définition, leurs positions et leurs vitesses absolues) le mouvement absolu des points M, M|..., M„ est déterminé.

Deuxik.me axiome. — Si à deux instants t et l\ les mêmes conditions initiales sont rralisées, transportées seulement dans l'espace et le temps, le même mouvement absolu a lieu après les deux instants, à un transport près dans l'espace.

Précisons malhémaliquemciil renonce de ce deuxième axiome. Soit T un Irlèdre absolument fixe auxqnel on rapporte le premier mouvement : à l'inslant to, les points M, M]..., M„ ont des coordonnées bien déterminées et leurs vitesses des composantes bien déterminées. Supposons qu'à l'instant ti, par rapport à un second trièdrc absolument fixe Ti. les mêmes points aient les mêmes coordonnées et leurs vitesses les mêmes composantes : le mouvement des points M, Ml.... M„, après l'instant /o par rapport à T, et leur mouvement, après l'instant tu par rapport à Ti, sont les mêmes.

Troisième axiome. — Le mouvement absolu d'un élément matériel M n'est pas modifié si on modifie d'une manière quelconque les pnsilions et les vitesses des éléments matériels infiniment ' éloignés de M, sans rien changer d'ailleurs aux conditions des autres éléments.

I. II faut bien comprendre le sens de cet axiome et des mots « infiniment éloignés ». Lorsque des corps matériels sont très éloignésdu point M, si on modified'unc manière quelconque les positions et létat de ces corps, le mouvement de M. s'il est modifié, sera modifié d'une façon très peu sensible, et d'autant moins sensible que les corps en question seront plus éloignés. Voilà ce que signifie l'axiome.

Voilà les axiomes fondamentaux par lesquels Copernic et Galilée interprétaient, en Mécanique, le principe de causalité.

En langage positif, ces axiomes signifient qu'on peut [ane fois pour toutes) définir une mesure des distances et du temps et un trièdre de référence tels que les mouvements des éléments de l'univers satisfassent aux trois principes énoncés.

4. Nous discuterons plus loin la question de savoir si ces trois axiomes sont des conséquences logiques du principe de causalité ou s'ils n'empruntent pas à l'expérience quelque chose de plus. Pour le moment, j'insiste sur un corollaire remarquable de ces axiomes, qui est celui-ci : « Le mouvement absolu d'un élément matériel isolé (c'est-à-dire infiniment éloi(jné de tous les autres) est rectiligne ' . »

Les Gopernicicns complétaient ce corollaire en admettant que ce mouvement rectiligne est nécessairement uniforme. Cette dernière proposition constitue un postulat nouveau, entièrement indépendant du principe de causalités

On peut donner au nouveau postulat une forme où le temps n'intervient pas. Supposons qu'on n'ait pas encore défini la mesure du temps et adoptons comme premier

I. Cette proposition se déduit immédiatement des trois axiomes, par raison de symétrie.

a. Il est facile de démontrer que la seule conclusion que les trois axiomes entraînent quant à la vitesse d'un point isolé M, c'est que la vitesse d de M à l'instant t et sa vitesse i^o à l'instant initial to sont liées par une relation de la ibrme :

f(v) -JiVo) = h(t-to),

où h désigne une constante et/(i') une fonction de v bien déterminée pour chaque élément matériel M. Le nouveau postulat consiste à supposer h = 0.

5G LES MAÎTRKS DE LA PENSEE SCIENTIFIQl E

axiome l'axiotne suivant, que j'appellerai Vaxiome de Copernic :

" Le mouvement absolu de loul éi'menl matériel isolé est rediligne.

" Les chemins parcourus, dans le même intervalle de temps, par deux éléments isolés sont dans un rapport constant, quel que soit l'intervalle de temps considéré. »

Cet axiome admis, convenons do mesurer le temps écoulé entre deux instants par le chemin que parcourt, entre ces deux instants, un élément matériel isolé M (choisi une fois pour toutes^. Si, au lieu de M, on ciioisit un autre élément isolé Mi, les nombres qui mesurent les durées sont simplement multipliés par un même facteur constant, comme il arrive quand on prend, par exemple, pour unité, la minute sidéiale, au lieu de la seconde sidérale. En un mot, cette substitution de Mi à M revient simplement à remplacer la première unité de temps par une nouvelle unité, qui est avec la première dans un rapport constant.

Le temps étant ainsi mesuré, l'axiome de (Copernic peut s'énoncer encore ainsi :

« Le mouvement de tout point matériel isolé est rediligne et uniforme.

Cet axiome (appelé axiome de l'inertie ou, improprement, axiome de Kepler), et les axiomes I, Il et 111, constituent les principes fondamentaux inscrits par les Coperniciens eu tête de la Mécanique.

5. Comparaison du principe de causalité et des axiomes coperniciens. — Kn réalité, les axiomes coperniciens n'étaient point des conséquences nécessaires du principe de causalité. Tout d'abord, le postulat nouveau, que J'ai signalé au début du numéro précédent, ne découle pas, je le répèle, de ce principe. Hien plus, les axiomes 1, 11 et III

LKS AXIOMES DK LA MKCAMQl K

eux-mêiiies empruntent à l'expérience ' un élément qui n'est pas contenu dans le principe de causalité, à savoir la délinition précise des coiidilions initiales. ' Pourquoi, en effet, les Coperniciens admettent-ils que les conditions initiales d'un système (conditions qui déterminent l'état ultérieur du système) sont la position et la vitesse de chaque élément ? Au point de vue purement logique, ce choix est tout à fait arbitraire.

Si on interprète le principe de causalité dans ce sens que l'état de l'univers, à un instant précis donné, détermine ses états ultérieurs, ce sont les positions, à un instant donné, des éléments de l'univers (et non par surcroît les vitesses) qui déterminent le mouvement ultérieur do ces éléments -. Et c'est ainsi, comme nous l'allons voir, que les Scholastiques interprétaient ce principe dans leur Mécanique.

On peut, au contraire, interpréter ce principe de causalité dans ce sens que l'état de l'univers pendant un intervalle de temps si petit qu'il soit, détermine ses états ultérieurs. Mais la connaissance des positions d'un élément matériel durant un petit intervalle de temps, définit non pas seulement sa vitesse dans cet intervalle, mais son accélération première, seconde, etc La seule conséquence qu'entraînerait le principe ainsi entendu, c'est donc que le mouvement d'un système est déterminé si on connaît, non pas seulement la position et la vitesse initiales de chaque élément, mais son accélération initiale première, seconde, etc., et même de tous les ordres.

I . lis lui empruntent aussi l'tiypothùse de la non influence sur vin corps des autres corps infiniment éloignés.

a. Bien entendu, dans l'hypothèse où nous nous sommes placés, à savoir que chaque élément matériel de cet univers reste identique à soi-mi'me, quelle que soit sa psltion et quel que soit l'instant considérés.

58 ij:s maîtres ou la PENSÉK SCIENTIFIOI I.

IV)ur(iiioi donc, je le répète, les Coperniciens el (lalilée, dans la délinition des conditions initiales, introduisaient-ils autre choso que la position initiale!' lût pourquoi, introduisant la vitesse initiale, s'en tenaient-ils là et n'introduisaient-ils lias aussi raccélération initiale, etc. ? C'est que, plus ou moins consciemment, ils étaient guidés par les expériences faites à la surface de la terre : ils savaient, par exemple, qu'en présence de la terre on peut donner à une pierre, non pas seulement une position, mais une vitesse initiale arbitraire, et que le mouvement de la pierre est alors déterminé. Le choix, qui leur paraissait évident, des conditions initiales posi/ion et vitesse n'était en réalité que le fruit d'ob«ervations innombrables ' .

Je résumerai donc cette discussion en disant que les axiomes I, 11 et III ne sont pas des conséquences logiques du principe de causalité, mais que, dans l'ordre des phénomènes du mouvement, ils précisent et commentent, daprès lexpérience, le sens et les fermes de ce principe : précaution préliminaire indispensable, et à laquelle il faut recourir chaque fois qu'on étudie un ordre nouveau de phénomènes. Car on ne peut appliquer le principe de causalité à une science positive et quantitative, si ce jirincipe

1. Toutefois (et c'est une remarque que je crois utile de faire), il est aisé d'imafjiner des hypotlièscs telles que, non seulement la position, mais la vitesse d'un élément matériel puisse être discernée à un instant précis. Imaginons, par exemple, que l'univers soit composé d'atomes, tous identiques et sphériques au repos absolu, et qui, s'ils sont animés d'une certaine vitesse absolue, prennent la forme d'un œuf, allongé dans le sens de la vitesse (le petit bout en avant) et d'autant plus allongé que la vitesse absolue est plus grande. Dans un tel univers, il suffirait d'un microscope suilisamnieut {lerfectionné pour mesurer instantanément la vitesse absolue d'un élément.

LES AXIOMES DE LA MKCAMQl E 0!^

n'a pas été tout d'abord énoncé avec une précision parfaite, pour toutes les circonstances où on le fera intervenir.

G. Les principes coperniciens et la rotation de la terre. — Les principes coperniciens, l'axiome de Kepler par exemple, sont évidemment en défaut quand on rapporte les mouvemcntsà desaxes liésinvariablement à la terre. Au contraire, ils sont vériliés (dans la limite de nos observations) quand on prend comme axes des axes issus du soleil et ayant des directions fixes par rapport aux étoiles. D'où cette conclusion que la terre est animée d'un mouvement absolu de rotation sur ellenième, et tourne en outre autour du soleil.

Le danger dune telle conclusion publiquement formulée explique les précautions et les obscurités dont Copernic et ses disciples enveloppent leur pensée. C'est ainsi que le principe de l'inertie, qui est au fond de toute la doctrine copernicienne, n'est mis nettement en évidence que par Kepler, En réalité, Kepler n'avait fait que le recevoir de Copernic, sans d'ailleurs le pénétrer parfaitement, puisqu'il écrit ailleurs que « les planètes tomberaient instantanément sur le soleil, si elles ne renfermaient une àme cachée qui les maintient sur leurs orbites. »

Sans prolonger cette digression historique, j'insiste seulement sur ce fait que les principes coperniciens ruinaient l'hypothèse géoccntrique.

7. La Mécanique scholastiqae. ■ — Les principes de la Mécanique scholastique, qui s'opposait, au temps de Galilée, it la doctrine de Copernic, étaient loin d'ètro aussi éloignés des principes coperniciens qu'on se l'imagine en général.

Gomme les Coperniciens, les scholastiques admettaient pour la plupart) la notion de mouvement absolu; ils admettaient que le mouvement absolu doit se distinguer des

mouvements apparents par la propriété d'obéir au principe de causalité. Mais interprétant ce principe dans son sens plus strict (à savoir que l'état de l'univers à un instant précis donné détermine les états ultérieurs), ils adoptaient comme conditions initiales d'un système les positions de ses éléments (et non aussi leurs vitesses .

En un mot, les Scliolastiques inscrivaient, eux aussi, en tète de leur Mécanique les axiomes I, II et III, mais avec cette différence essentielle que dans les énoncés il Jaal entendre par conditions initiales les positions initiales des éléments matériels.

Une conséquence immédiate de ces axiomes ainsi entendus, c'est qu'un élément malériel M, infiniment éloigné de tous les autres, reste nécessairement au repos (absolu). Autrement dit encore, considérons un élément .M animé d'un mouvement quelconque et supposons qu'à un certain moment, tous les autres éléments matériels soient brus- (|uement écartés de M à l'infini : le point M s'arrêtera hrasquement. Au contraire, d'après les Coperniciens, le point gardera sa vitesse.

De même, considérons un élément malériel M auquel est attaché van fil : le point M étant animé d'un mouvement quelconque, imaginons qu'à un certain moment on exerce une traction brusque sur le point en tendant le fil. D'après les Scholasliques, la vitesse du point va varier brusquement. D'après les Coperniciens. la vitesse ne se modifiera que d'une façon continue ; c'est seulement l'accélération qui variera brusquement.

En un mot, d'après les Scholastiques, ce sont les infiuences extérieures qui entreliennent, à chaque instant, la vitesse absolue de tout élément matériel : que ces in- Iluences s'évanouissent, et le point s'arrête. D'après les