CINQUIÈME PROBLÈME

Projection orthogonale.

Bien que la solution donnée par M. Roulliet ne soit pas complète, les résultats qu’il obtient sont cependant des plus curieux, et font connaître un principe nouveau, dont on peut espérer des applications utiles.

A oici comment M. Boulliet a été conduit à re¬

chercher la solution pratique d'un problème, qu'au premier abord on serait tenté de croire impossible

Posons d’abord que si l’on pouvait obtenir facilement la projection orthogonale d’un objet, soit sur

un plan situé en arrière, soit sur un des plans de cet objet même, le tracé se réduirait à calquer sur le tissu cette projection, comme dans le premier problème. En plaçant le châssis parallèlement au plan sur lequel s’opérerait la projection, et que nous appellerons plan de projection auxiliaire , on conçoit que le dessin ou le calque fait sur le tissu donnerait la projection réduite de l’objet, et ce calque serait en conséquence la perspective de la projection.

Ainsi, le problème consiste a trouver, pour une figure donnée, un mode de projection sur un plan auxiliaire, c’est-à-dire à mener des perpendiculaires à ce plan de tous les points qui s’en éloignent.

Nous décrirons d’abord la solution pratique.

Que l’on se représente le châssis employé dans les opérations précédentes, glissant parallèlement a lui-même dans des coulisses ou sur des galets, s'éloignant du dessinateur à la moindre pression, et revenant a lui au moyen d’un contre-poids.

Soit une figure composée de plusieurs plans qui se coupent obliquement, et pour préciser les termes du problème, soit une muraille CG, percee d'une baie CB, dont la porte AB est entr’ouverte. Nous supposons que toute cette muraille est comprise dans le cône des rayons visuels aboutissant a un point V. (Voir la figure 2, qui représente l’appareil en perspective.)

Le châssis sera placé parallèlement au plan vertical CG, que l’on prendra pour plan auxiliaire; ou maintiendra le châssis immobile pour un instant, < t I on marquera, ou plutôt l’on calquera le point A sur le tissu, comme s’il s’agissait de faire un dessin en perspective. Nous appellerons le point marqué sur le tissu, le point A".

Pour faciliter l’intelligence de cette description . nous nommerons première position la position du châssis immobile au moment où l'on relève h' point A”. La ligne IK représente celte première position.

On fera ensuite marcher l’instrument en le poissant en avant jusqu’à ce que le point A” vienne occu-

perla position a”, et se confonde avec un point a’ de la ligne CG, que l’on apercevra au travers du tissu. Ce sera la seconde position du châssis, représentée par la ligne LM. Si, en imprimant ce mouvement au châssis, on suit en même temps avec le crayon les points de la ligne AH, on tracera la ligne horizontale a” H’, laquelle se trouve précisément la projection orthogonale réduite de la ligne a’H. En effet, la ligne A”a” étant parallèle à la ligne Aa’, et la ligne a”B’ étant parallèle à a’H, on obtient :

a’H : a ’H' : : Aa' : A”a”.

Ainsi , en combinant le mouvement du châssis avec celui de la main qui dessine, il suffirait de tra¬

cer la ft (f nre apparente de l’objet en saillie sur le plan auxiliaire, pour que ce tracé devînt une projection orthogonale. Le mouvement progressif du châssis décompose graduellement la figure apparente au point de vue, et les lignes situées dans un plan horizontal, qui apparaissent obliques, se redressent à mesure que l’instrument marche, en sorte que la perspective se transforme en un dessin geometral.

On peut, avec un crayon et un morceau de verre qu’on éloigne ou qu’on rapproche de l’œil, se rendre compte en un instant de cet effet remarquable. La figure suivante, qui représente toute l’opération en projection horizontale et verticale (figure 5), aidera d’ailleurs à faire comprendre le détail du procédé que nous venons de décrire.

Fig. 5.

Supposons le châssis à sa seconde position, la ligne CG étant couverte par la ligne C’G’ tracée sur le tissu. Nous recommencerons en sens contraire l’opération précédente, c’est-à-dire nous allons revenirà la première position. Nous plaçons la pointe du crayon sur le point H de la ligne CG. Si le châssis demeurait immobile, le crayon se dirigerait sur I), suivant une ligne oblique par rapport à CG, laquelle se trouverait au-dessous de CG dans le plan vertical sur lequel on aperçoit le tracé. Mais on se rappelle qu’un contre-poids oblige le châssis à revenir vers le dessinateur, toutes les fois qu’on ne le pousse pas en avant. Lors donc que le crayon est arrivé au point D, que nous prenons sur cette ligne oblique en apparence, le châssis est à une troisième position où la ligne C’G' a cessé découvrir la ligne CG. Dans cette troisième position, le tracé en perspective de cette ligne CG serait placé au-dessus de C’G’; la projec¬

tion verticale de D tomberait au point I. Observons que la distance perpendiculaire du point D à la ligne CG est proportionnelle à la distance de la seconde position du châssisà la troisième, qui est celle où le crayon s’est arrêté sur le point 1). Le mouvement du châssis s’est opéré suivant une perpendiculaire au plan vertical CG et au plan du châssis lui-même. Puisque le point D esta la même hauteur que les points B” et A”, il est évident que la ligne H’ D’ a été une ligne horizontale parallèle à CG. et non une ligne oblique par rapport à celle-ci. Or, ce qui est vrai pour la portion de ligne BD est également vrai, on le sent, pour tout autre point de la ligne AB et pour tout autre ligne située dans ce plan horizontal. Toutes se confondront en CG.

Résumons ici les conditions nécessaires à la solution du problème :

1° Le parallélisme du châssis avec b* plan auxi-

liaire et l’existence d'un plan horizontal sur lequel les objets seraient posés.

2" Il est nécessaire que les objets situes sur les différents plans dont on cherche la projection orthogonale puissent être reunis par des lignes droites et perceptibles du point de vue donné. 11 serait impossible, en effet, d’obtenir exactement la projection orthogonale d’une colonne ou de toute autre surface courbe dont la forme réelle n'est point appréciable d’un seul point de vue.

3° Il est enfin indispensable que le mouvement du châssis en avant et en arrière et le mouvement de la main qui dessine se combinent exactement. Quant a cette dernière condition du problème, nous pensons qu’elle peut être remplie par la bonne exécution de l’appareil.

Nous ne devons pas oublier de noter ici une conséquence curieuse de l’opération dont nous venons de rendre compte. Si le mouvement du crayon dans le plan vertical du châssis était reproduit dans un plan horizontal, il tracerait sur ce dernier le plan des objets dont il trace la projection orthogonale sur le châssis vertical. Pour s’en assurer, il suffira de jeter les yeux sur la figure 3 jointe à notre description; elle reproduit le plan horizontal des différentes positions du châssis et représente en plan les mouvements du crayon. Orce tracén’est autre qu’un plan réduit de l’objet dont on a exécuté la projection.

La simultanéité des deux tracés ne nous parait pas impossible à réaliser dans un appareil exécuté avec la précision qu’on apporte aujourd’hui dans l’exécution des instruments qui servent à des opérations géométriques. On sait que certaines combinaisons du pantographe répètent horizontalement les mouvements produits dans un plan vertical. La machine à graver de M. Colas est fondée sur ce principe.

Le ti ace géométral obtenu au moyen de l’appareil de M. Houlliet offrirait encore un avantage qu’il importe de signaler. Les figures dessinées sur le châssis étant semblables aux figures réelles des objets, il suffirait de placer une mesure entre le châssis et 1 objet, parallèlement à ce châssis, pour connaître

les dimensions de l’objet et établir en même temps l' échelle des dessins obteuus.

Ces résultats sont certainement fort curieux, mais, ainsi que nous l’avons déjà dit, la solution donnée par M. Houlliet est incomplète; elle serait impossible pour un objet où l’on ne pourrait trouver un plan horizontal servant de base aux objets et un plan de projection auxiliaire, c’est-à-dire un plan parallèle à celui de l’appareil sur lequel on dessine. Ainsi la possibilité île l’opération serait subordonnée en quelque sorte à la position de l'objet et à celle que pourrait prendre le dessinateur. La figure suivante ( fig. \ ) montre dans quelle situation on peut se servir de l’instrument et dans quelle autre il {devient inutile.

La projection de la ligure LIUîACT peut être tracée sur un châssis placé sur une ligne H’ A' parallèle au plan LT ; si le châssis était situé sur une ligne B”C\ il n’y a plus de plan auxiliaire, et l’on ne peut obtenir la projection orthogonale.

Cette nécessité d’un plan auxiliaire restreint notablement l'emploi de l’appareil de >1. Itoulliel. Il y a en outre une difficulté matérielle fort grave à placer le châssis parallèlement au plan auxiliaire. Pour obtenir le parallélisme, en effet, il faut prendre des mesures, et dés lors le principal avantage de l'appareil a disparu.

Nous croyons qu’il est facile de remédier à ces inconvénients avec une modification dans l'appareil. En effet, si l’instrument portait avec lui un plan qui lui fût parallèle et qui servirait de plan de projection auxiliaire, il est évident que les deux conditions principales nécessaires à la solution du problème se trouveraient remplies.