X -+- Xfi' = Xi-h Xfi

Fig. 58.

i j = a7j -h Xn'~t =

Fig. 59.

jj

ne donne cependant pas toujours des carrés différents dans le sens que nous préciserons bientôt; il est facile de le reconnaître dans chaque cas particulier.

Voici une transformation qui conserve les mêmes éléments et permet d'obtenir, sur certains types déracine n (construits avec les 1,2, 3, ...,/ipremiers nombres), n — i nouveaux carrés différents.

Ces types sont ceux dans lesquels les n nombres, multiples de la

racine

se trouvent précisément placés: un seulement sur chaque ligne, colonne et diagonale.

En les diminuant tous de la quantité (n — i) tandis que tous les autres nombres sont augmentés de l'unité il est facile de se rendre compte :

i" Que tous les éléments sont conservés: n- — n nombres, dont le plus grand (n^ — 1), restent, après avoir été augmentés de i, dans les limites de la progression i, 2, 3, ..., n^.

Les /inombres /i, 2/î, 3/i, ..., /i^ sontreconstitués par ceux, augmentés de i,de la série

(/l— l), (2/1 — 1), ..., (/it— i),