CHAPITRE I. — PROPRIÉTÉS ARITHMÉTIQUES ET ALGÉBRIQUES

s'ajoute celle relative à la somme des nombres ; mais deux d'entre elles sont évidemment la conséquence des autres. Il s'ensuit que pour tout carré semi-magique il n'existe que in — i égalités indépendantes.

Fig. 67.

Fig. 68.

yE

te

Pour les carrés magiques simples y les conditions relatives aux diagonales fournissent deux nouvelles égalités, ce qui porte leur nombre à (2/1+ 1 ).

Enfin, pour les carrés magiques à magie complémentaire , ces égalités se trouvent augmentées de celles, en nombre plus ou moins grand, traduisant les propriétés de ces figures spéciales. Mais, comme ces propriétés se déduisent en partie les unes des autres, il y a lieu de distinguer seulement, parmi les égalités qui les expriment, celles réellement indépendantes.

Dans chaque cas, un examen spécial en fixera le nombre.

Pour /? = 4, en particulier, on a :

9 égalités indépendantes pour le carré simple. *

10 » 5e/w«-â?i«ôo/t^M<?(d*iin seul type pourcette racine).

12 » carré diabolique.

Les diverses combinaisons algébriques auxquelles se prêtent les égalités indépendantes relatives à un carré de racine n fournissent d'autres relations exprimant toutes les propriétés caractéristiques complémentaires de la figure.

Les unes et les autres, convenablement interprétées, permettent, avec le concours des propriétés générales relatives aux nombres, de préciser les règles de sa construction.

Une première interprétation évidente des égalités montre que pour n pair les quartiers opposés des carrés magiques sont égaux; enlesrepré-