DEUXIÈME PARTIE. — PROPRIÉTÉS DBS CARRÉS MAGIQUES

sentant par A, B, A', B' (/t^. 69), on a

Fig. 69.

D'où Ton tire

A = A' et B = B'.

Il est facile de démontrer, en particulier :

1** Que dans les carrés semi-diaboliques et diaboliques de 4 tous les quartiers sont égaux entre eux : à 34 pour ceux construits avec les I, 2, 3, ..., 16 premiers nombres;

a* Qu'un carré de 5, avec les i, 2, 3, ..., 25 premiers nombres, ne peut être semi-diabolique que si le nombre moyen i3 occupe la case centrale ;

3 ' Que pour n impairement pair : 6, 10, i4, ..., les carrés diaboliques, qui devraient avoir les quartiers égaux, sont impossibles parce que cette

condition ne peut être remplie ; la somme n^ ( ) des i, 2, 3, ..., n^

premiers nombres n'étant pas, dans ce cas, divisible par 4-

Inçliquons enfin, entre autres déductions arithmétiques et algébriques (d'après Lucas), que, si n est un nombre impair composé, les carrés diaboliques ne sont possibles que, si n ne contient pas le facteur 3.

Cet auteur, ainsi que nous Tavons dit, a déduit de ses Principes de la géométrie du tissage une théorie remarquable des carrés diaboliques, ceux-ci résultant de la disposition par alignements, sur un échiquier de /i- cases, des n- nombres d'une Table d^addition.

Notons que Fermât a fait, le premier, l'application des propriétés de la théorie des permutations des lignes et des colonnes d'une Table d^ addition à la construction des carrés magiques.