CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

Différentes manières de garnir Téchiquier avec n* nombres donnés. — Examen de quelques inscriptions méthodiques élémentaires. — Figures résultantes en général. — Étendue et difficultés du problème. — Carrés magiques.

Etant donné un échiquier carré, c'est-à-dire un carré divisé au moyen de lignes droites en n bandes verticales, n bandes horizontales et contenant par conséquent n^ cases, on peut y écrire, à raison d'un par case, n'^ nombres donnés de beaucoup de manières différentes. De combien exactement?

Comme chacune de ces manières n*est, en réalité, qu'une forme d'écriture d'une des permutations simples des n^ nombres considérés et qu'à chacune de toutes les permutations possibles correspond bien une disposition spéciale de l'échiquier garni, leur nombre est précisément :

Ainsi quatre nombres peuvent s'écrire, sur un échiquier de quatre

cases, de

1X2x3x4 = ^4 manières.

Neuf, sur un échiquier de neuf cases, de

1X2x3x4x5x6x7x8x9 = 362880 manières.

6 PREMIÈRE PARTIE. — LES FIGURES DE NOMBRES SUR l'ÉCHIQUIER.

Le nombrr des solutions devient bientôt prodigieux si n^ augmente encore.

Les n- nombres donnés étant quelconques, on ne voit pas a priori, malgré les propriétés spéciales de l'échiquier considéré en lui-même, quelle particularité intéressante pourrait présenter l'un ou l'autre des groupements de nombres ainsi formés.

Il en est tout autrement, au contraire, si les n^ nombres ont entre eux des rapports particuliers de grandeur et d'ordre; on conçoit aisément que l'inscription méthodique de ces nombres sur un réseau de cases comme celui de l'échiquier puisse conduire à la production de figures jouissant de propriétés spéciales.

Inscrivons, par exemple, dans leur ordre naturel les i, 2, 3,..., /i* premiers nombres dans les cases des n bandes horizontales successives d'un échiquier de n'^ cases, la figure qui en résulte éveille immédiatement l'attention par son aspect d'ordre d'abord, aussi par certaines singularités évidentes résultant non seulement de la valeur particulière et relative des nombres, mais de leur situation les uns par rapport aux autres.

Ainsi, l'examen de l'échiquier de 16 cases, garni comme nous venons de le dire (Jig, i) (les nombres i, 2, 3,..., 16 numérotant les cases de

Fig. I.

Il II II ir^,

gauche à droite dans les bandes horizontales successives), fait ressortir, entre autres, les propriétés suivantes :

i" Dans les bandes verticales, les nombres se succèdent en progression arithmétique de raison 4 ;

2" Leurs sommes successives

28, 82, 36, 4o forment également une progression arithmétique dont la raison est 4 ;