CHAPITRE II. — PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES. 3l

On peut faire sur les figures 80 et 8 1 les mêmes constatations que précédemment.

Fie. 80.

Fig. 81.

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Le carré de 3 est le seul qui ne puisse ainsi donner un nouveau carré, mais, pour tous les autres, quelle que soit la racine, on obtient, à l'aide de ces transformations, des carrés diderents de ceux que donneraient la rotation et la symétrie du carré primitif.

Permutation des rangées symétriques.

Tout carré reste magique si Von échange simultanément deux lignes et deux colonnes également distantes du centre.

Il est facile de vérifier sur les figures 82, 83 que, d'une part, les lignes

Fig. 82.

et colonnes déplacées, d'autre part, les diagonales, sur lesquelles deux, nombres se sont remplacés l'un par l'autre, conservent la même valeur.

Le nombre de variantes qu'on peut obtenir avec toutes les transformations de ce genre dépend évidemment de la grandeur et de la nature de la racine.

Pour le préciser, remarquons d'abord que, dans tout carré de racine /i,