CHAPITRE II. — PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES

Pascal dans lequel la somme des nombres d'une ligne horizontale de rang n équivaut précisément à 2".

Mais on observe que les divers carrés obtenus sont semblables deux à deux (positions de rotation et de symétrie), chaque combinaison reproduisant le même effet que celle de notation complémentaire facile à préciser, ce qui ramène en définitive le nombre de variantes réellement

différentes, en y comprenant le carré d'origine, à —= 2<^~*^, c'est-àdire à

1 * pour n pair,

2 2 pour n impair.

Si /i = 4 on obtient 2* = 2 variantes, c'est-à-dire une seule différente du carré donné ;

Pour /^ = 5, une seule encore ;

Pour n = 6, trois nouvelles ;

Pour /i = r, trois nouvelles ;

Pour 71 = 10, quinze nouvelles ; etc.

En appliquant cette transformation, après l'échange des quartiers, on obtient autant de nouveaux carrés.

Pour le carré simple de 4 par exemple, l'application successive des deux méthodes produit trois autres carrés magiques.

Transformations par équivalences simples ou composées.

Les transformations de ce genre, générales, en ce sens qu'elles s'appliquent à des carrés de toutes racines, ne trouvent cependant leur application que dans les figures, très fréquentes d'ailleurs, dont les éléments se prêtent à certains groupements équivalents.

Par exemple, si dans deux rangées quelconques h^U {fig, 85) les sommes de I, 2, 3, ... éléments, n'appartenant pas aux diagonales, situés sur les mêmes colonnes C, C, C", sont égales entre elles, comme

on peut déplacer, d'une rangée à l'autre, les éléments correspondants et obtenir par équivalence simple un carré magique différent du premier (»•• 86).

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