DEUXIÈME PARTIE. — PROPRIÉTÉS DES CARRÉS MAGIQUES

On peut, en opérant successivement sur divers groupes d'éléments jouissant entre eux de propriétés semblables, obtenir par équivalences composées de nouvelles variantes, en nombre plus ou moins grand, sui-

Fig. 85.

Fig. 86.

. ce: r

vant la composition du carré primitif. Remarquons que, dans certains cas, les opérations successives pourront intéresser plusieurs fois les mêmes éléments. Ainsi, après avoir tiré le carré figure 86 du carré figure 85 au moyen de la transformation par équivalence simple que nous avons décrite, s'il se trouve que la somme des éléments c -h d de la ligne L'^ égale celle des éléments e -\-/ de la ligne U situés sur les colonnes correspondantes C"^, C, on pourra de même substituer e el/k c et d, produisant ainsi un nouveau carré magique.

Supposons maintenant qu'un ou plus généralement plusieurs éléments de ceux à mettre en jeu se trouvent situés sur les diagonales; leur échange, d'une rangée à l'autre, qui ne produit aucune modification dans la valeur des colonnes et des lignes, aura pour effet de transformer le carré en carré semi-magique : les diagonales se trouvant modifiées en plus ou en moins d'une certaine quantité.

Mais une autre transformation par équivalence ayant comme conséquence de provoquer, sur les diagonales, les mêmes variations de valeur, en sens contraire, pourra ramener le carré semi-magique à la magie complète sous une forme nouvelle.

Quelquefois ce résultat ne sera obtenu qu'après un grand nombre d'opérations dont l'ensemble constitue ce que nous avons dénommé une transformation par équivalence composée.

Sur la figure 87, par exemple, dans laquelle nous supposerons

A-f-B = G-hD, E-hF = G-+-H, mais aussi