CHAPITRE li. — PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES

part sont celles qu'on obtient directement par la règle générale de l'échange des quartiers opposés.

Fig. 121

Fig. 122.

Fig. 123.

Fig. 124.

As^

Les carrés magiques figures i25, 126, 43) résultent ainsi de celui de la figure 4 ï •

Fig. 120. Fig. 126.

lî

Et les carrés figures 127, 128, 129, de celui de la figure J43.

Fig. 127.

Fig. 128.

Fig. 129.

Ztf

ibl

Zif

Par rotation et symétrie combinées des quartiers on obtient encore quatre nouvelles variantes de la figure 4^7 représentées par les figures

DEUXifiMB PARTIE. — PROPRltTÉS DES ^ARRÉS MAGIQUES.

i3o, i3i, 182, i33 et quatre également de la figure 4^? représentées par les figures i34y i35, i36, i3'j.

Fig. i3o.

Fig. i3i.

Fig. i32.

Fig. i33.

jJl

Itf

Fig. i3i.

Fig. i35.

2if

Fig. i36.

Fig. 137.

b. Magie complémentaire multiple. - - Ceux-ci pouvant réunir aux propriétés des carrés précédents celles relatives à la magie complémentaire des carrés simples, combinées de différentes manières, il s'ensuit que toutes les méthodes de transformation que nous avons décrites leur sont applicables, aussi les variantes qu'ils permettent d'obtenir sont-elles très nombreuses.

GUAPITRB II. — PROPRifiTfiS GÉOMÉTRIQUES.

Le carré de la figure 49? par exeiAple, donne entre autres c Les carrés figures i38, iSg par ruptures sim/des, i4o ^dcc échange des quartiers

Fig. iSg.

Fig. i4o.

Ztf

Fig. i4'.

Fig. 142.

Fig. 1^

Fig. 145.

opposés i4i, 14^? ^43, i44 par rotation et symétrie combinées des quartiers comme précédemment.

5o DEUXIÈME PARTIE. — PROPRIÉTÉS DES GAHKÉS MAGIQUES.

De plus, ceux des figures .45 et .46 par ruptures carrées Q, ^Q, enfin, celui de la figure 147 par ruptures en croix «rni •

Fig. i46.

Fig. 147.

Carrés diaboliques,

A. ces carrés, les plus remarquables par suile du nombre et de la symétrie parfaite des groupements singuliers qu'ils présentent, peuvent naturellement s'appliquer aussi toutes les méthodes de transformation que nous connaissons maintenant, attendu que leur disposition résume toutes les particularités que nous avons énumérées en étudiant les carrés des familles précédentes.

Leur propriété caractéristique, conséquence des diverses observations que nous avons faites, est de pouvoir se rompre en deux tronçons de n'importe quel nombre de rangées, lesquels, assemblés de gauche à droite, de droite à gauche (par transport de colonnes), de haut en bas, de bas en haut (par transport de lignes), reconstituent, dans chaque cas, un nouveau carré magique.

Il s'ensuit que tout carré diabolique de racine n peut ainsi donner immédiatement n^ variantes, réellement indépendantes, sur lesquelles on peut ensuite pratiquer la permutation des rangées symétriques, par exemple, et obtenir autant d'autres variantes que le permet la racine, sans parler de celles que peuvent donner les autres transformations dont elles sont susceptibles suivant leur nature.

Un carré diabolique de 4 peut ainsi donner 2 x 16 = 32 carrés.

L'application à ceux-ci des diverses méthodes de transformation permettant d'en déduire facilement un nombre considérable de variantes.