DEUXIÈME PARTIE. — PROPRIÉTÉS DES CARRÉS HAGIQLES

déterminée sont d'ailleurs en nombre tel que leur étude, même partielle, n'est pratiquement possible que pour ceux de basses racines.

De fait, chaque carré magique jouit par la disposition et la valeur de ses éléments, considérés dans leurs relations d'ordre et de grandeur, autres que celles qui déterminent la magie fondamentale, de propriétés accessoires qui lui sont propres et qui le différencient, à ce titre seul, des carrés voisins de la même famille.

Aussi, dans la construction des carrés magiques, pourra-t-on, a priori, et le champ sera très vaste, s'imposer de faire apparaître telle ou telle disposition dans laquelle les éléments rempliront des conditions déterminées d'avance.

Le carré simple de la figure 168 (exemple emprunté aux études de M. V. Coccoz) est la solution de ce problème :

Obtenir avec les nombres inscrits dans les 16 cases du noyau intérieur la même somme 333 qu'avec ceux des 20 cases qui lui servent de bordure.

ZZ

Les carrés magiques centrés tels que nous les avons définis sont naturellement tous semi-diaboliques. Les lignes complémentaires à considérer dans ce cas se composant, sur ces figures, suivant que la racine est paire

ou impaire, de - nombres dans l'une et de leurs - compléments dans l'autre, dont la somme égale - ( i -i- /i^), ou de ^"" dans l'une, complémentaires dans l'autre, dont la somme, en y comprenant le nombre

moyen de la case centrale, égale encore

c'est-à-dire la constante du carré dans l'un et l'autre cas.

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Disons de suite que ces figures s'obtiennent, en particulier, par les procédés graphiques que nous passerons en revue en traitant des méthodes de construction {Méthodes expéditwes, de Bachet, etc.). Nous apprendrons alors à tirer parti de leur magie complémentaire propice à la conslriiction de nombreuses variantes, dont certaines diaboliques si la nature de la racine le permet.

Rappelons, à leur sujet, le fameux carré d'Albert Diirer {fig. 5) précisément carré centré.

Dans tout carré de 4 de ce genre (il y en a 48) dont tous les quartiers sont égaux, ceux opposés présentent une disposition telle que i éléments consécutifs de l'un donnent la même somme que les 2 éléments correspondants de l'autre.

Il s'ensuit que : Dans tout carré magique centré de 4 on peut échanger, sans les tourner, i quartiers opposés; les a autres restant en place.

Ainsi le carré {fig* 9) n'est autre que celui de la figure 7 dans lequel le quartier 4 a pris la place du quartier 2 et réciproquement.

Une opération analogue sur les quartiers i et 3 donne le carré de la figure 169 duquel on lire, par ruptures simples, les variantes (/?^'. 170

Fig. 169.

Fi g. 170.

Fig. 171

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et 171) différentes de celles qu'on obtient en pratiquant échange de quartiers et ruptures, comme d'ordinaire, sur le carré semi-diabolique primitif.

TROISIÈME PARnE.

CONSTRUCTION DES CARRÉS MAGIQUES