PROCÉDÉS DIVERS DE CONSTRUCTION

De la construction des carrés magiques, en général. — Carré unique de 3. — Nombre de carrés de 4. — Diagramme des quatre N, diaboliques de 4 et de 8. — Méthode de La Hire. — Méthode de Bachet ; transformation des carrés de Bachet en diaboliques et autifes semi-diaboliques suivant la nature de la racine. — Méthodes dites expéditives : 1*" racines impaires; 2" racines paires, /i =4 ou multiple de 4. — Transformation des carrés construits par les méthodes expéditives en diaboliques et autres semi-diaboliques, suivant la nature de la racine.

Les mathématiciens qui se sont occupés de la construction des carrés magiques n'ont pu résoudre le problème dans le sens général ; il n'existe donc encore aucune méthode qui permette d'écrire successivement, avec ordre, toutes les variantes possibles d'un carré de racine donnée. La Hîre, cependant, a trouvé une méthode fort simple, qualifiée parfois de générale, bien qu'elle ne le soit pas au sens absolu, qui permet, en réalité, la construction d'un grand nombre de solutions du problème, quelles que soient la nature et la grandeur de la racine.

D'autres auteurs qui se sont attachés spécialement à l'étude des carrés de certaines racines, entre autres Bachet de Méziriac, Rallier des Ourmes, etc., ont imaginé, en outre de certaines méthodes expéditives

6o TROISIÈME rAHTIE. — CONSTRUCIION DES CARRÉS MAtilQUKS.

sans nom d'auteur, des procédés graphiques qui permettent d'obtenir immédiatement une des nombreuses solutions possibles :

n étant impair o\x paire ment pair, c'est-à-dire égal à 4 ou à un multiple de 4.

Pour n impairemenl pair, c'est-à-dire pair, mais non divisible par 4? €omme par exemple 6, 10, i4j 18, . .., nous avons complété la série des procédés graphiques par notre méthode du carré guide, applicable d'ailleurs à toutes les racines paires et sur laquelle nous nous étendrons spécialement après avoir passé en revue les principaux moyens de construction connus.

Le problème qui nous occupe ne comporte, pour /i = 3, qu'une seule solution.

11 est facile de s'en rendre compte en remarquant que pour construire la ligure, dans ce cas particulier, il est nécessaire de grouper huit combinaisons CJ : trois pour les lignes, trois pour les colonnes, deux pour les diagonales, formant autant de groupes de trois nombres dont le total

donne 3 ( j = i5.

Or il n'existe précisément, sur les 84 combinaisons C^ , que 8 combinaisons propices, savoir :

Le nombre 5 seul y est répété quatre fois;

Les nombres 2, 4, 6, 8, chacun trois fois;

Les nombres 1, 3, 7, 9, deux fois seulement. .

Cette observation conduit immédiatement à placer les nombres, comme suit, sur l'échiquier de neuf cases :

5 au milieu ;

2, 4? 6, 8 aux angles, dans un ordre quelconque;

I, 3, ^, 9 aux extrémités des bras de la croix intérieure, aux places déterminées par la position des cinq nombres déjà placés.

On obtiendra toujours, quel que soit le mode d'opérer, l'une ou l'autre des huit positions de l'unique carré de 3, représenté par la ligure 179. dont il est facile de retenir la composition soit à l'aide du graphique figure 173, soit en se rappelant, d'autre façon :