PREMIÈRE PARTIE. — LES FIGURES DE NOMBRES SUR l' ÉCHIQUIER

propriétés les plus diverses. Dans les figures i et 3, les diagonales seules, dans la figure 4? l^s colonnes seules sont magiques, donnant lieu à la magie verticale.

On peut, de même, rencontrer la magie horizontale.

Les carrés comme ceux des figures i3 (avec seize éléments distincts), et i4 (avec seize éléments dont quatre répétés), possédant, à la fois, magie verticale et magie horizontale, sont qualifiés de semi~m,agiq ues :

Fi g. I C-50

Fig. 14.

Nous les distinguerons en notant toujours, aux angles, la valeur des diagonales, diff'érente de la constante.

Nous verrons que ces figures peuvent, dans beaucoup de cas, se transformer aisément en carrés magiques au moyen de permutations très simples..

Le problème des carrés magiques n'est pas, comme ou pourrait le croire, du domaine exclusif de l'Algèbre ; les a/i -f- 2 égalités : n pour les lignes, n pour les colonnes, 2 pour les diagonales, indiquant la constance des sommes de ces divers groupes de n nombres, ne pouvant être considérées comme des équations ordinaires.

Elles sont, en effet, la traduction, non seulement des relations de grandeur des éléments du carré, mais de la position qu'ils occupent, les uns par rapport aux autres, dans chacune des bandes ou diagonales qu'elles représentent, et doivent être interprétées en conséquence.

Ainsi, par exemple, pour le carré de 4? la question étant posée de la façon suivante :

Trouver seize nombres assujettis à dix conditions : quatre pour les lignes, quatre pour les colonnes, deux pour les diagonales?

Si l'on peut observer que les dix conditions du problème ne sont pas distinctes et qu'une d'elles est la conséquence des neuf autres, il faut

CHAPITRE II. — DÉFINITION. NOTATION. CLASSIFICATION DES CARRÉS MAGIQUES. l3

remarquer aussi que neuf d'entre elles qui sont nécessaires, ne sont pas suffisantes pour déterminer un carré magique; en d'autres termes, qu'à toute solution algébrique du système des neuf «équations » ne correspond pas forcément un carré magique déterminé.

Le carré de la figure i5, dans lequel les seize nombres sontliés par neuf des égalités de la magie complète, n'est que semi-magique avec cette particularité que sa première diagonale est égale à la constante des lignes et des colonnes.

Fig. i5.

Fig. i6.

Zif

Ce carré devient magique par la permutation des cases n°* 3 et 7 avec celles n«« 4 et 8 (/^. i6).

La vraie nature du problème se précise lorsque les n^ nombres sont donnés et qu'il s'agit de les disposer sur l'échiquier pourobtenirla magie désirée; c'est à la science des nombres, évidemment, qu'il faut demander la solution cherchée en faisant appel à la fois à V Arithmétique de grandeur et à M Arithmétique de position.

Parmi tous les carrés magiques, dont le nombre s'accroît avec une grande rapidité à mesure qu'augmente la racine ai, il en est qui présentent, en outre de celles fondamentales définies précédemment, des propriétés spéciales du même genre, leur donnant, en quelque sorte, un complément de magie.

Ces figures en sont naturellement d'autant plus remarquables.

On conçoit, en effet, que parmi les n- éléments du carré il soit possible, généralement, de rencontrer en dehors des groupes de n éléments, à somme constante, par lignes, colonnes et diagonales, de nouveaux groupes distincts, toujours de n éléments, dont la somme soit encore égale à cette même constante et qu'il puisse en résulter, dans certains cas, des figures plus singulières par de nouvelles propriétés subséquentes, si ces groupes se trouvent disposés symétriquement par rapport aux axes de la figure, ce qui est d'ailleurs fréquent.

PREMIÈRE PARTIR. — LES FIGURES DE N0MRRE8 SUR l'ÉCHIQUJER.

On peut vérifier, par exemple, sur tout carré magique de 4 que les quatre groupes de nombres, symétriquement placés, comme l'indique schématiquement la figure 17, donnent encore une somme égale à la constante {carrés de la progression naturelle),

La magie complémentaire totale, c'est-à-dire celle résultant de l'existence, sur la figure, du plus grand nombre qu'on puisse y remarquer de groupes à sommes constantes C dont les n éléments sont disposés sur deux lignes de cases égales ou inégales, parallèles aux diagonales, donne lieu aux carrés diaboliques ainsi qualifiés par Lucas, carrés qui avaient été entrevus, sans qu'ils aient éveillé toute leur attention, par La Hire, Euler et Sauveur.

Tel celui de la figure 18, construit avec les seize premiers nombres, sur

Kig. 18.

Kig. iq.

Kig. 20.

Fig. 21.

lequel il est possible de repérer à l'aide des figures 19 à 3o non plus seulement 14 (les dix fondamentaux et les quatre de la figure 17), mais

CHAPITRE II. — DÉFINITION. NOTATION. CLASSIFICATION DES CARRÉS MAGIQUES. l5

02 groupes différents de quatre nombres, sur les 86 possibles, disposés symétriquement par rapport aux axes, donnant la somme constante 34-

Fig. 22.

f — i' — r^ — HF — 4~T^ — n

Fig. 24.

Fig. 25.

Fig. 26.

Fig. 2

•s^tv^

SL-r^

Fig. 28.

"/-i V3 h FT/ ~V~

^ig. 29.

'■il

Fig. 3o.

Les propriétés des groupements figures 25 et 28 déterminent par définition le diabolisme de la figure 18; jointes à celles fondamentales de la magie ordinaire, elles engendrent, comme il est facile de s'en rendre compte, toutes les autres particularités des diagrammes qui dérivent ainsi les uns des autres.

Nous distinguerons les carrés diaboliques en les entourant d^un double trait généralement [carrés parfaits)^ mais quelquefois en les bordant d'un double trait sur deux ou trois côtés seulement, pour certains types que nous apprendrons à reconnaître {carrés imparfaits).

La magie complémentaire partielle, c'est-à-dire celle résultant de cette circonstance que quelques-uns seulement des groupements, spécifiés

PREMIÈBE PARTIE. — LES FIGURES DE NOXBRES SUR L*ÉGHIQUIER.

précédemment, à sommes égales c, possibles sur la figure, s'y trouvent représentés, donne, suivant le nombre, la disposition et la symétrie plus ou moins parfaite de ces groupements complémentaires :

1® Des carrés magiques simples à magie complémentaire que nous indiquerons, suivant les cas, par un ou deux angles marqués d'un double trait et d'un indice, faisant ressortir ainsi l'orientation, la symétrie, le nombre des groupements singuliers, cause des propriétés spéciales de la figure.

Fig. 3i. Kig. 32.

Fig. 33.

Fig. 34.

Tels ceux des figures 3i et 33 dont les parlicularités intéressantes sont mises en évidence parles diagrammes figures 32 et 34-

Fig. 35.

Fig. 36.

Aussi ceux des figures 35 et 37 dont les diagrammes figures 36 et 38 indiquent la magie complémentaire.

CHAPITRE II. — DÉFINITION. NOTATION. CLASSIFICATION DES CARRÉS MAGIQUES. I7

Enfin celui de la figure 89 et son tableau parlant figure 4o qui réunit d'ailleurs toutes les conditions du di abolis me tel que nous l'avons défini, puisque tous les nombres groupés sur les diflerentes lignes complémen-

Fig. 37.

Fis. 38.

iiz z>

fezz^z

taires, parallèles aux diagonales, reproduisent, par leur somme, la constante 1^5 du carré.

Afin de conserver le plus possible les notations habituelles nous l'avons distingué comme nous ferons pour tous ceux de son espèce : carrés diaboliques imparfaits (ceux de racine impaire qui ne sont pas en même

Fig. 39.

Fig. 4o.

'if-

jf\

Mêmes propriétés des liî;nes complémentaires par rapport à l'axe MN, sauf pour le groupement a^occ? qui n'a pas son correspondant.

temps semi-diaboliques, terme que nous allons définir) en l'entourant d'un double trait sur trois côtés seulement. 11 aurait dû porter, d'après notre classification, les signes qui figurent en même temps et que nous n'ajouterons plus en pareil cas.