Ealer, mémoire ci

le moindre temps; çiaia (jeia morne n çsf pas* toujours vrai U taiiaii donoque ce fût quelque autre chosçii or Mftupeytui» ft ^oAtré que c'était l'action, c'est-à-dire le produit do 1*^ vitesse p^r \'^m C'est dans la composition de ces trois éléments que la ni^ture cher* che le plus d'économie. Ce n'est pfti là une vue abstraite ot méta« physique î c'est une vue mathématique et précise dont tout Vhonnçur revient à MaupertuiSi

ËJuler est si disposé à relevei* le principe de Maupertuli, et à lui faire tous les honneurs, qu'il mentionne à peine sa propre décou* verte, bien plus importante à ce qu'il paraît, pçup les mathématif cicns, que celle de Maupertuis, et qui est la plus belle appUcation du principe de la moindre action ; au point que Laplaoe racontant rhistoire de ce principe, en donne Ëuler comme Tinventeur sans même mentionner le nom de Maupertuis.

« Je ne rapporte point ici, continue Buler Tobservation que j'ai laite, que dans le mouvement des corps célestes, et qu'en général dans le mouvement de tous les corps attirés vers les centres ^ force, si à chaque instant on multiplie la masse du corps par l'espace parcouru et par la vftesse, la somme de tous ces produits est toujours la moindre. . . Il faut remarquer que cette découverte n'ayant paru qu'après que M. de Maupertuis avait exposé son principe, elle ne peut porter aucun préjudice à sa nouveauté, De plus, je n'avais point découvert cette belle propriété à priori, mais h posteriori.." et i\*osant lui donner plus de force que dans le cas que j'avais traité, )e n'avais point cru trouver un principe plus étendu. »

Enfin, Euler termine son mémoire par cette conclusion, qui pa* raîtra sans doute excessive :

< La combinaison de ces deux principes (principe d'équilibre, principe de mouvement), déclare cette loi la plus universelle i^^ nature que nous connaissons enfin distincternent : qu^ la nature dans ses opérations affecte un minimum et que ce minmuwi est certainement contenu dans l'idée de l'ach'on telle qu'elle est définis par M. de Maupertuis r de sorte qu'il ne reste rien à objecter. »

On voit quelle importance Euler attache au principe de la moindre action, et quel rôle il lui fait jouer dans la nature. En outre,

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Eulep semble penfer, sans le dire cependftBf; expressément, que oo principe est d'ordre contingent, et appartient à ce genre de lois que Leibnis appelait des lois de oonvenanees. En quoi en effet est* il nécessaire qu'une matière indifférente et indéterminée entre tous les systèmes , choisisse précisément celui qui demande le moins de dépense d'action f

Cependant, si Euler et Maupertuis considèrent le prineipe de la moindre action comme une vérité fondée sur les causes finales, et servant elle-même de fondement à la mécanique, d'autres grands mathématiciens, Laplace et Lagrange au contraire, n^ voient autre chose qu'un cas particulier, de mécanique, et une simple consé» quence des lois du mouvement.

c Plusieurs philosophes, dit Laplace*, fi^ppés de Tordre qui règne dans la nature, et de la. fécondité de ses mo3Pens dans la production des phénomènes, ont pensé qu'elle parvient toujours à son but par les voies les plus simples. En étendant cette manière de voir à la mécanique, ils ont cherché Téconomie que la nature avait eue pour objet dans l'emploi des forces et du temps. Ptolémée avait reconnu que la lumière réfléchie parvient d*un point à un autre par le chemin le plus court, et par conséquent dans le moins de temps possible, en supposant la vitesse du rayon lumineux tou* jours la même. Fermât généralisa ce principe en l'étendant à la réfraction de la lumière. Euler étendit cette supposition aux mouvements variables h chaque instant, et il prouva par divers exemples, que, parmi toutes les oourbes quhm point peut déorire en allant d*un point à un autre, il choisit toujours celle dans laquelle Vintégrale du produit de sa masse par sa vitesse et par Vêlement de la courbe est un minimum. Ainsi, la vitesse d'un point mis sur une surface courbe, et qui n'est sollicité par aucune force, étant constante, il parvient d'un point h un autre par la ligne la plus courte sur cette surface. On a nommé l'intégrale précédente Vaetion d^un corps. Euler établit donc que cette action est un minimum, en sorte que Péoonomie de la nature consiste à

!• Mkgpo»ition du iyat, du monde, Laplace, t. III, eh« H.

1 épargner : c'est là oe qui constitue le principe de la moindn action, dont on doit regarder Euler comme le véritable inven* teur, et que Lagrange ensuite a dériyé des lois primordiales da mouvement. Ce principe n*est au fond qu'un résultat carieai de ces lois qui, comme on l'a vu, sont les plus naturelles et les plus simples que l'on puisse imaginer, et qui par là semblent découler de l'essence même de la matière. Il convient à toutes les relations mathématiquement possibles entre la force et la vitesse, pourvu que Ton substitue, dans ce principe, au lieu de la vitesse, la fon^ tion de la vitesse par laquelle la force est exprimée. Le principe de la moindre action ne doit donc pas être érige en cause finale; et loin d'avoir donné naissance aux lois du mouvement, il n a pas même contribué à leur découverte, sans laquelle on disputerait encore sur ce quUl faut entendre par la moindre action de la nature. »

Lagrange qui a une haute autorité dans cette question puisqa'O a donné une grande extension au principe de Maupertuis et d'Eo* 1er, et en a tiré de nouvelles applications, Lagrange en parle comme Laplace *.

t Je viens enfin au quatrième principe que J'appelle de la moio* dre action, par analogie avec celui que M. de Maupertuis en avait donné sous cette dénomination, et que les écrits de plusieurs auteurs illustres ont rendu depuis si fameux. Ce principe, envisagé analytiquement, consiste en ce que dans le mouvement des corps qui agissent les uns sur les autres, la somme des produits des masses par les vitesses et par les espaces parcourus, est un minimunh L'auteur en a déduit les lois de la réflexion et de la réfraction delà lumière, ainsi que celles du choc des corps dans deux mémoires, l'un à l'Académie des sciences de Berlin en 1744, l'autre deux ans après à celle de Berlin. Mais il faut avouer que ces applications sont trop particulières pour servir à établir la vérité d'un principe général ; elles ont d'ailleurs quelque chose de vague et d'arbitraire. qui ne peut que rendre incertaines les conséquences qu'on es

I. Lagrange, Mécaniq, analyt,, 2* partie, 2"« sect., p. i88, édit. in-i», 1*7^.

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pourrait tirer pour l'exactitude même du principe. Aussi Ton aurait tort, ce me semble, de mettre ce principe présenté ainsi sur la même ligne que ceux que nous venons d'exposer. Mais il y a une autre manière de Tenvisager plus générale et plus rigoureuse qui seule mérite l'attention des géomètres. M. Euler on a donné la première idée à la fin de son traité des isopérimètres, imprimé à Lausanne en 1744, en y faisant voir que les trajectoires décrites par des forces centrales^ l'intégrale de la vitesse multipliée par Télément de la courbe fait toujours un maximum et un m,inimum. Cette propriété que M. Euler n'avait reconnue que dans le mou* vement des corps isolés, je Fai étendue depuis au mouvement des corps qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque^ et il en est résulté ce nouveau principe général, que la somme des produits des masses par les intégrales des vitesses multipliées par les éléments des espaces parcourus est constamment un maximum et un minimum.

c Tel est le principe auquel je donne ici, quoique improprement, le nom de moindre action, et que je regarde, non comme un prin' cipe métaphysique, mais comme un résultat simple et général des lois de la mécanique. »

Sans vouloir nous porter juge sur des questions si spéciales entre tant de grands esprits, faisons seulement remarquer que lors même que le principe de la moindre action ne serait qu'une des conséquences des lois primordiales du mouvement comme le Veulent Laplaoe et Lagrange, au lieu d'en être le principe comme le croyaient Maupertuis et Euler, même alors les conclusions philosophiques que l'on croit pouvoir tirer de ce principe ne cesseraient pas d'être soutenables. Si, en effet, ces lois primordiales du mouvement sont, comme le pensait Leibniz, contingentes, leurs conséquences le sont également : or l'une de ces conséquences serait la loi d'économie * (au moins dans l'ordre mécanique). En vertu des

1. Buhle (Phil. moderne^ t. VI, c. 20) croit réfater Maupertuis, en disant qu'on ne peut pas concevoir un minimum de force, « que nous pouvons imaginer toujours une plus petite force qu'il eût été possible à la nature d'employer pour arriver à son but. » Mais il nous semble qu'il confond ici deux choses distinctes^

746 àfPfiNDiCË

toit 4a «OttVBittent, It ujiMêblb 4a moftdè «rt orgaaM «VM to «oint de «UpeMe pomUé d'aotioa motrio» : • oe qui est beau, tnals iioft néeessftire k, feuiYMit TéxpreBsion de Leibniz, C'est donc enooit^ là me de cet lois qUi^ comme il le disait aiiiBsi» contriimeiit « à li lonnation d'un système, i Or qae des lois purement mal^Mles ea arrivent à produire par leur jeu naturel, un ordt« que la rafsott déclare plus satislatiant qu'aucun auiare» o*est ce qu'on ne coin* prendrait pas ial^lement t et cela même lierait une preuire de leur oontiagence, « elle ne résultait pas d'ailleurs de la nature de ces lois qui sont données par rexpérience» mais ^ua rien tie démmitrt è prtort.

Cette doctrine e été eelle de «oufê Técole L«ibntfeieiiM tt xvm« sièole. Pormey^ Maupertuis, Bégiielin, dans è6ê trâtciiKt flpé« oiauK qui méritent d*étre lus, t>nt «outenu la ctmtingenoe des lois du mouvement^ par oette raison qu« toutes ces tois «'i4>|Rtfent sur le principe de la raison suffisante, qui est la source den ^^éritil contingentes» tandis que 1» priàoipe de oâukudtolion eét ertui d«

« im prinoipin géttémut du meuv^meiit, dit Fùtm^f eitptfment

ce qui arrive constamment dans les mobiles» toulM les fols que II

ioi«e motrice est «lodifiéa dans le «àbc des totpê ; el ees modillcatiens tsoneistent dan» ïh dtvensfté de la ^mss^ et de lit difecHoa. f^ première ^ la i»<noipàle de ees irègtes est t que tout eoi^ per* sévère da«i eoft émt de i^poti eu de mouvement, eft neiissT^Mtf la «ème vitesse et la même direction jusqu'à ee qu*unè OMMe es» terne Ton tire. » S'il y avait une loi nécessaire, d*une nécessité ab* solue, et destruetive de toute contingenee, ce serait celle-là. Ob» pendant» lorequAdft la démentie, et en général torsqn'èn démewilii toutss les «è^ du tlieo dss ^doits, m» démoiiMaMôBÉ iK>nt «•

îa fofèè et Vadiùh iBotHces. Ce sodI deux choses distinctes. Ëa oalre» Bolile croit quli s'agit d'un miDimum absolu, tandis qn'il ne s'agit que d'un mmûmni dans des conditions données : par exempte) fairô ane horloge la plrn petite poe* sibtè, dé naanièit à ce qu'elle puisse tenir dans une poche : de là ^invention ém âionues. Û est éviàent qu'il ne s'agit pas là d'une horlo^ nuoroscc^^iitte ; iMii mtOt qu'elle peut tenir àass une poche, le problème est résolu, qasad pôurràil Coûcevoir d'autres montres de plus en plus petites à V'mùsué

fésbUd^ dàtlS te ï)riVrèipè de îè f^ifiott feUffiSâttte, qui ett f âît î« fôtt» dfetnent 6t là ft3i^cis, inàlS qUi, suivant sa nâtUrô, n€ peut lui donner qû'Utte hécèssîté hypôthétitJUè> lâtîttelle h'èsJt aUtrè ôhosé qU© la contingence. Il fen est de mêniè dé l'égalité d'action et de réaction des corps. Elle dépend uniijueôi^nt du mênie principe. D'habiles mathématiciens 8ë sont ausiil attaché* à prouver que dans le chOc des corps élastiques, il se tôôn'serve la même quantité de forces vives. Tout cela Va aboutit au même principe qui tient poUi* ainsi dlfe, soUs son. empire, toutes les règles du mouvement. Il n'y a aucune de ces règles qui découle de ressehôe fliéHiê dfes *M>rps par la ïègîé du pfiflcipe de contradiction < ».

8» D'Ahmbért tt les îofô du màuvemÈrït

b'Alembert, dans sels Éffiïfïents dte phifû^ûphiè, a touché égalé* ment à cette question. îl dîslmgufe deux Uortès de Ibfâ du mouvé* fiàent, à savoîr les loi§ du ttiou^ement par impulsion, et lés lois du mouvement sans impulsion apparente, c'êst-à-dîre celles de l'attraction. Les première^ séuiës, se^oh lui, seraient nécessaires; les secondés ne léseraient pas : t Eh supposant, dit-il, comfoc bien des philosophes l'ô cTfoiènt aujoùrd*hul, quôCeâ lois n^alnit point TlmpulsioA pour causé, il est évident qU^ellcs ne pourraient être en aucun sens de vérité nécessaire ; que la èhute dés corps serait la suite d'une volonté immédiate ~ét paHiCûIièrô du créateur, et que sans cette volonté expresse, un corps placé èft l'air y rescerait en repos ^. >

€ M. Cote (dans sa préface dé là ?• édition des Principes de Newton) dit expressément que ï'àttractîoii est une propriété aussi essentielle à la matière que l^impénétrabilito el l'étendue : assertion qui nous paraît trop précipitée. Car cette force pourrait être une force primordiale, Un principe général do mouvement dans la nature, sans être pour cela Une propriété essentielle de la matière.

i. Formey, Examen de la preuve qu^on tire des fins te la natUre. (Mém. de TAcad. de Beriin. 1747.) — Pour le détail de celte démonstration, voir également : Mauperluls, ^xamefi phiXoso'phique àè la preuve de l'existence 4e Dieu employée dans Vessai àe Cosmologie (Mém. de TAcad. de Berlin, 1756, p. 389) ; et Qéguelin : i>e Vusage du principe de ta raison suffisante dans les tcii géHé» raies de la mécanique (î&td., 1778, p. 367)