CHAPITRE II

Théorie élémentaire des cerfs-volants.

Ce qu'on appelle force en mécanique. — Composition et décomposition des forces. — Équilibre. — Pesanteur. — Centre de pression sur un cerfvolant. — Théorie de M. Pille t. — Angle et vent limites. — Vitesse des vents.

On appelle force en mécanique toute cause capable de modifier Fétat de repos ou de mouvement d'un corps : telle la pesanteur, qui est capable de faire tomber un corps abandonné à lui-même d'une certaine hauteur, ou de ralentir la vitesse d'un corps lancé de bas en haut, pour le faire, ensuite, retomber à terre.

On distingue dans une force : i® le point d' application ^ qui est le point où agit la force sur le corps considéré : le point A

(fig. i) ; 2** la direction : si une force est appliquée

/A I ^^^^ point d'un corps au repos qui n'est soumis à aucune autre force, ce corps se mettra en mouvement dans une certaine direction, qui est la direction de la force : AB ; 3*^ Y intensité de la force, qui se manifeste par l'effet plus ou moins grand que produit la force. On représentera donc une force par un segment de droite AB dont le point A est le point d'application, la direction AB la direction de la force, et dont la longueur AB est proportionnelle à l'intensité.

On dira que plusieurs forces sont égales lorsque, étant successivement appliquées à un même corps et dans des conditions identiques, elles produisent le même effet.

FiG- I

*ll« I ■ l i. SSg

Supposons que nous appliquions simultanément à un même point d'un corps et dans la même direction plusieurs forces P, Q, R, etc. Il est évident qu'il existe une force F qui, appliquée au même point, produira le même effet. Cette force F sera la somme des forces considérées :

Lorsque, quelles que soient les conditions dans lesquelles se fait le remplacement, on peut substituer à plusieurs forces P, Q, R, etc., une force unique F dont l'effet soit le même que celui des forces P, Q, R,... réunies, on dit que la force F est la résultante des forces P, Q, R, etc.

On appelle composition des forces le problème qui consiste à remplacer plusieurs forces par une force unique qui est leur résultante.

Inversement, on appelle décomposition des forces le problème qui consiste à remplacer une force unique par plusieurs autres qu'on appelle les composantes.

Le problème de la composition des forces présente deux cas, suivant que les forces sont concourantes, c'est-à-dire que prolongées indéfiniment elles se coupent deux à deux en un même point, ou bien qu'elles sont parallèles.

On démontre en mécanique élémentaire que, étant données

deux forces concourantes AQ et AP (fig. 2), leur résultante AR est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du paralléllogramme construit sur les forces AQ et AP. Le problème de la composition des forces concourantes est donc des plus simples : on compose d'abord deux forces quelconques, puis la résultante de ces deux forces avec une troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne une résultante unique R, qui est la résultante de toutes les forces considérées.

Dans le cas où deux forces P et Q sont parallèles (fig. 3),

^i^mmi^mmmf'm

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES CïlRFS-VOLANTS 9

on démontre en mécanique que leur résultante OR est une force

représentée par une droite dont la longueur est égale à la somme des deux autres, dont la direction leur est parallèle, et dont le point d'application est situé sur la droite AB, en un point tel qu'il partage AB en deux longueurs inversement proportionnelles aux deux forces PetQ.

Pour composer plusieurs forces parallèles, on composera

donc deux de ces forces, puis la résultante avec une troisième,

et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne une résultante unique.

Lorsqu'un corps au repos est soumis à une force OA (fig. 4),

nous avons vu qu'il se met en mouvement dans le sens de cette

force . Si nous appliquons au même

^ (j) p^ point une force OB égale à OA,

; mais agissant en sens contraire, le

corps, sous l'action de ces deux forces dont la résultante est nulle, restera à l'état de repos. On dira alors qu'il est en équilibre.

De même, lorsqu'un corps est en repos, ou bien aucune force n'agit sur lui, ou bien la résultante de toutes les forces qui agissent sur lui est nulle, et on dit que le corps est en équilibre sous l'action de toutes ces forces.

Pour qu'un corps soit en équilibre, il faut donc et il suffit que

la résultante de toutes les forces qui agissent sur lui soit nulle.

On donne le nom de pesanteur à la force qui attire les corps

vers le centre de la terre, et on appelle verticale la direction de

cette force, dont l'intensité s'exprime par un poids.

Si on considère un corps pesant, chaque molécule de ce corps est soumise à l'action de la pesanteur. Nous sommes donc en présence d'un groupe de forces parallèles et de même sens. La résultante de toutes ces forces est le poids du corps considéré, et son point d'application est ce qu'on nomme le centre de gravité du corps.

FiG. 5.

Ces notions étant rappelées, nous allons considérer un cerfvolant plan et sans queue en équilibre dans Tair.

Soit AB ce cerf-volant vu de profil (fig. 5). Il est dans une

position inclinée sur l'horizon, et nous appelons a l'angle qu'il fait avec l'horizon, angle qui définit la position du cerf-volant dans l'air, à la hauteur où il est en équilibré. Cherchons d'abord à nous rendre compte de la manière dont il peut être soutenu en l'air par l'action du vent.

Si nous présentions la surface du cerf-volant au vent de façon que les molécules d'air en mouvement viennent la rencontrer perpendiculairement, elle éprouverait de la part du vent une certaine pression, c'est-à-dire qu'elle serait soumise à une force dont l'intensité dépendrait de la surface du cerf-volant et de la violence du vent. On conçoit qu'il existe un certain point de l'appareil tel que, si le cerf-volant était soutenu en ce seul point par une ficelle qui y serait fortement attachée, il serait en équilibre sans que la surface de l'appareil tende à s'inclinei: plutôt d'un côté que de l'autre. Ce point serait le point d'application de la force du vent. C'est ce qu'on appelle le centre de pression, et l'équilibre existerait parce que nous opposerions à la force du vent la force exercée par la tension de la ficelle. Mais si la ficelle est attachée en M sur l'axe du cerf- volant, audessus du centre de pression 0, il n'y aura plus équilibre F entre les deux forces considérées, et le cerf-volant tendra à s'incliner sur le vent sous l'action des deux forces OV et MF (fig. 6); l'incUnaison continuerait jusqu'à ce que les deux forces soient dans la même direction, c'est-à-dire jusqu'à ce que le cerf-volant soit entièrement horizontal

FiG.

(nous supposons le vent horizontal) si une troisième force ne venait agir : la pesanteur. En effet, le poids de l'appareil agissant sur le cerf-volant en un certain point G, qui en est le centre de gravité, s'oppose à ce que le cerf-volant se couche entièrement sur le vent.

Le cerf- volant, lorsqu'il est en équilibre, est donc soumis à trois

forces : la pression du vent, la tension de la ficelle et la pesanteur.

La puissance du vent s'exerce horizontalement, en supposant

bien entendu que le vent souffle dans le sens horizontal. Mais

si nous décomposons cette force du vent en ses composantes (fîg. 7): ON, perpendiculaire au plan du cerf- volant, et OT, suivant ce même plan, nous voyons immédiatement que cette composante OT n'intervient pas dans les conditions d'équilibre du cerf-volant. En effet, OT ne représente autre chose que la force des molécules d'air glissant le long du plan du cerf- volant.

Nous n'avons donc à considérer que la composante normale ON ayant son point d'application au centre de pression ; sa direction est la perpendiculaire en au plan AB ; enfin, son intensité, qui dépend de la surface S de l'appareil, de la vitesse V du vent et de l'angle a du cerf- volant sur l'horizon, a pour valeur l'expression

N==o,ii3 S. u^sin^ a.

Le poids P du cerf-volant est appliqué au centre de gravité G (fig. 8) ; enfin la traction .de la ficelle F est appliquée au point d'attache, que n'ous supposerons pour l'instant sur l'axe du cerf- volant lui-même, en M. La ficelle du cerf-volant ne suit pas une ligne droite, mais bien une certaine courbe qu'on appelle une chaînette; si nous menons la tangente à cette courbe au point d'attache M, cette droite sera la direction suivant laquelle s'exerce la traction. Nous , appellerons ^ l'angle que fait la force F avec l'horizontale.

Ainsi, sur les trois forces auxquelles le cerf-volant est soumis, nous connaissons la direction, le point d'application et rintensité de deux d'entre elles:

la pesanteur et la pression du vent. Nous allons en déduire la ^ traction de la ficelle.

Puisque le cerf-volant est supposé arrivé à une certaine hauteur où il est en équilibre, nous en concluons que la résultante des trois forces est nulle, ou bien, ce qui est la môme chose, que Tune quelconque des trois forces est égale et directement opposée à la résultante des deux autres.

FiG. 8.

Fio. 9.

Considérons alors les deux forces suivantes : le poids P de l'appareil représenté par GP (fig. 9) et l'effort normal du vent,

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES CERFS- VOLANTS l3

représenté par ON. Nous savons que GP est vertical et passe le centre de gravité G du cerf-volant ; nous savons également que ON est normal au plan du cerf-volant et passe par le centre de pression 0. Nous connaissons donc le point d'intersection I de ces deux forces. De ce qui précède, il résulte donc que la traction de la ficelle passera par ce point I.

Composons les deux forces N et P. Nous traçons IN' = ON et nous prenons IP' = GP. La résultante est IR. Donc la traction de la ficelle sera représentée par la droite IF' égale et opposée à IR. Nous obtenons ainsi en MF = IF' la force de la traction de la ficelle, en grandeur et en direction, et le point d'application est le point M où la direction de la force rencontre le cerf- volant. C'est en M que la ficelle doit être attachée pour qu'il y ait équilibre.

Cette théorie très simple permet de se rendre compte de la façon dont un cerf-vôlant se tient en équilibre dans l'air. Mais il est évident que nous ne pouvons déterminer ainsi le point d'attache M avant de lancer le cerf-volant, puisque nous ne pouvons savoir a priori sous quel angle a il prendra son équilibre, étant donné surtout que la force du vent est presque toujours continuellement variable.

Le problème devient beaucoup plus compliqué lorsqu'on se propose de construire un cerf-volant réalisant les meilleures conditions pour s'élever le plus haut possible. On se donne un cerf- volant d'une forme déterminée. On peut toujours trouver d'une façon au moins suffisamment approximative la position du centre de gravité et du centre de poussée ; on connaît également le poids. On se propose alors de déterminer le point de l'attache qui permettrai Fappareil de s'élever à une hauteur maxima.

Les méthodes élémentaires ne permettent pas de résoudre ce problème, qui nécessite le secours des mathématiques supérieures. Aussi, pour ne pas dépasser la portée de cet ouvrage, nous donnerons simplement les résultats obtenus par la théorie. Celle-ci, d'ailleurs, est loin d'être établie d'une façon définitive.

l4 THÉORIE ET CONSTRUCTION DES CERFS-VOLANTS

Euler, le premier qui se soit occupé de la question, a formulé quelques conseils qui sont plutôt vagues. Remarquons tout d'abord qu'il s'agit de cerfs-volants avec queue, cet organe paraissant au savant mathématicien des plus nécessaires au fonctionnement de l'appareil.

Il faut donc, d'après Euler, premièrement que la queue soit assez longue, ensuite que l'extrémité inférieure du cerf-volant, ainsi que son centre de gravité, soient le plus possible éloignés du point d'attache de la ficelle ; enfin celle-ci doit être fort longue. Dans ces conditions, l'équilibre du cerf-volant sera assez grand. Tout ceci, on le voit, manque beaucoup de précision, et il seraitassez difficile, avec ces seules données, desavoir quand la queue sera assez longue, quand l'attache sera assez éloignée du centre de gravité et par conséquent si la stabilité du cerf- volant sera satisfaisante.

Nous devons à M. Pillet, maître de dessin à l'Ecole polytechnique, une théorie très élégante et qui conduit à des résultats plus précis, bien que fort incertains, car la théorie en question suppose des conditions qui s'écartent delà réalité. Elle a été publiée dans le recueil de V Association française pour V avancement des sciences, réunie à Grenoble en i885, et voici les résultats pratiques auxquels elle conduit, dans le cas, répétons-le, d'un cerf-volant sans queue.

1° Soient AB (fi g. lo) un cerf- volant, G le centre de gravité et le centre de pression ; 2j£ ^^ o la ficelle doit être attachée en un point M tel que la distance OM du point d'attache au centre de poussée soit la moitié de la distance du centre de gravité au centre de poussée. On doit donc

FiG. lO.

avoir