SOLIDES IMAGINAIRES

Les Cristalloïdes complexes à sommet étoile, étant formés sur une base polygonale régulière, conduisent» par la multiplication à Tinfini des côtés, a des solides à base circulaire, à des cylindres que j'appellerai imaginaires^ parce que, si leur base inférieure est réelle, leur base supérieure n'est qu'un ensemble d'apothèmes, et que, malgré l'aspect général cylindrique qu'ils présenteraient, leur solidité est incomplète et n'atteint pas la mesure du cylindre réel.

Les cylindres limites en question sont, comme cylindres, réels au plan inférieur, et leur solidité s'évanouit complètement au plan supérieur. En envisageant cette

classe de solides imaginaires de coefficient -> on est même

conduit à supposer des constructions donnant lieu à des cylindres, ou, si l'on veut, à des corps de révolution imaginaires, n'ayant qu'une solidité nulle ~ =o.

Dans un Cristallo'ide normal, construisons les plans par l'axe et par les apothèmes, et envisageons seulement les parties de ces plans renfermées dans le Cristalloïde. L'ensemble de ces plans, de ces sections axiales, pour un polygone d'un nombre infini de côtés, viendra constituer une figure ayant l'apparence d'un corps de ré-

volution; mais sa solidité est absolumeot nulle, bien que tous les points en soient atteints par la construction (*). On aurait ainsi des cônes imaginaires, des équidomoides et des spbëres imaginaires» etc. Les constructions de ces spectres géométriques peuvent d'ailleurs être variées de bien des manières : ainsi» un autre genre de spbëre imaginaire serait obtenu en envisageant l'ensemble des apotbëmes dirigés du centre vers tous les éléments superficiels» soit l'ensemble des rayons en nombre infini.

A côté des solides réels» il y a donc lieu de placer des solides imaginaires» en distinguant» si l'on veut» les corps semi-imaginaires à solidité plus ou moins incomplète» et les corps absolument imaginaires à solidité nulle.

Ainsi donc» les Cristalloïdes complexes réels» de coefficient -« nous ont conduit aux cas infinis» aux cylindres imaginaires de même coefficient. Ceux-ci» à leur tour» pour - = o» nous conduisent au cylindre a feuillets, et

il devient impossible dès lors » la transition s'élant imposée d'elle-même» de refuser une existence géométrique aux Cristalloïdes absolument imaginaires » formés par l'assemblage d'un nombre infini de plans ou de feuillets sans épaisseur autour d'un axe, ou aux corps imaginaires formés par l'ensemble des rayons vecteurs dirigés d'un centre intérieur vers tous les éléments infiniment petits de la surface (structure veloutée).

Nous croyons» dans cette publication et dans les précédentes» avoir suffisamment montré que la théorie des

: ( * ) Les feuillets d'un livre ouyert et placé verticalement donnent une idée de ce dont il s'agit.

Cristalloîdes vient rattacher la stéréométrie de l'ancienne école d'Alexandrie à celle de Técole de Syracuse; on peut même dire que les polyèdres naturels» objet de la cristallographie, se trouvent ainsi reliés par des chaînons continus à la figure de la Terre» au globe terrestre, lequel se trouve classé dans notre série discoïde, en raison de l'aplatissement polaire (*).

Quant aux formes polygonales en général, elles engendrent les formes courbes, à telles enseignes, qu'elles nous expliquent parfois très-clairement certaines propriétés en apparence mystérieuses des figures courbes. Telle est, pour le tore par exemple, la constance reconnue de la différence des surfaces intérieure et extérieure (et aussi des volumes d'une certaine manière). Il suffit, pour toucher du doigt la raison de cette propriété (je ne sais si la remarque a déjà été faite), de construire une couronne polygonale et de remarquer comment les tronçons cylindriques formant chaque côté se raccordent par des genoux coudés dont l'importance reste la même, quelle que soit l'amplitude du vide central. Aussi certaines propriétés, nulles dans les cylindres et effectives dans les tronçons coudés, se retrouveront constantes dans les couronnes de toute grandeur; et si les considérations sont indépendantes du nombre d'angles, elles deviennent applicables, a la limite, au tore circulaire.

La règle centrobarique de Guldin, pour trouver l'aire ou le volume d'un solide de révolution, n'est elle-même que le cas particulier de la double règle que je donne ici("):

(*) Voir la planche 1 de la T/iéorie des CristaUoùlcs élémentaires, (**] J*ai lu la descriplioQ de Tintégrateur de M. Marcel Duprez, et il me parait certain que Ton pourrait construire un stéréomètre^ instru-

Dans un onglet cristaUoïdcU [non surchargé)^ la surface extérieure est égale au produit de la longueur de Varc directeur par V orthogonale correspondant au centre de gravité.

Le volume est égal au produit de l'aire de la directrice par l'orthogonale correspondant au centre de gravité de l'aire.

D'autre part, il est vrai de dire que les formes polygonales ne jouissent pas de toutes les belles propriétés des corps ronds» de la propriété roulante, par exemple, dont l'expression est devenue le nom propre de la sphère même : le grec 2<( AI-PÂ n'est pour moi, en tenant compte des vieilles racines indo-européennes, que la qualification SWAY'-RA, signifiant naïvement : qui par SOI-ROU&, qui roule de soi-même^ la roulante par excellence (*}.

ment qui, sur le tracé d^une courbe, doanerait le coefficient cristal-

loïdal ^, = , "^ par une simple leclure.

(*) En sanscrit: sparas^ rotation; matram^ mesure; cakras^ cercle, etc.; pulas-sadas analogue à poly-èdre, Uç à el-lipse, parâ-pail et upari'paU à para-bole et à hyper-bole. La plupart des expressions géométriques de Tidiome grec se retrouvent, par analogie, dans la langue indienne : les mots cône, cylindre, prisme, s'expliqueraient d'une manière assez plausible par les racines indo-européennes ; il en est de même des mots allemands Kreis, FUucfwy Kegei, Kugel (Au-gola, petite boule), du mot globe, où Ton voit Tamas, l'agglutination ; mais il parait certain que le nom de la pyramide est purement égyptien et se retrouve dans la racine copte PIRAM..., signifiant butte, lieu élevé.