CHAPITRE III

LINFINL ~ LE FINI

L'iîSFiNi DU TEMPS. Les axtésocratiques ; Aristote — L'idée qui régna dans la philosophie de l'antiquité, dans toutes les écoles, et qui reçut sa formule définitive avec la sentence : De nihilo nihil, était le produit naturel de lexpérience, et de la logique appliquée aux ûiits, lorigine de ceux qu'on observe, ne pouvant jamais être définie qu'à l'aide d'antécédents dont la connaissance ou l'idée sont fournies par les conséquents. Les auteurs de cosmogonies, dont la tache était d'imaginer un commencement des choses n'avaient pu que présenter comme initiales certaines existences, ou matérielles ou symboliques, qui leur semblaient être des conditions de toutes les autres, mais qui n'étaient pas pour cela mieux expliquées. Les philosophes ioniens appliquaient la même méthode à des idées d'ordre purement physique. Les éléates qui, les premiers, voulurent prendre pour principe un véritable inconditionné attribuèrent ce caractère à Fidée de l'être universel, qui est toujours et n'admet pas le changement, en sorte qu'en effet aucune chose ne vient de rien. L'idée de l'éler-

nité invariable se posa ainsi en opposition absolue de celle de l'instabilité universelle sans aucun pur commencement, dans laquelle la philosophie ionienne trouvait, de son côté, chez Heraclite, sa forme la plus achevée.

La polémique s'institua avec une logique très nette, qui devait s'affaiblir plus tard, entre la thèse du fini et la thèse de l'infini appliquées, à la composition de la quantité dans le mouvement, afin d'examiner si le mouvement (condition de tout changement matériel) est possible. On supposait la réalité de la matière, sans distinction de l'objectif et du subjectif, de la puissance et de l'acte, et Zenon Téléate démontrait que l'infinité des parties d'un composé dans l'étendue, supposé que ces parties existassent réellement, seraient impossibles à franchir pour un mobile : d'oii l'absurdité du mouvement, dans l'hypothèse. La démonstration ne portait pas moins sur la division et l'écoulement du temps que sur la division et le parcours de l'espace; car l'éléatisme niait toutes les sortes de divisions. La critique a souvent oublié ce point. Dans tout ce qui n'a pas de fin, la fin est impossible à atteindre, voilà la majeure de tout le raisonnement. Elle ne manque pas de clarté (XXXIX).

On peut s'étonner que deux idées non pas seulement différentes, mais dont la contradiction ressort de leurs simples énoncés, aient pu être et soient encore matière à confusion. Une quantité de grandeur indéfinie est celle à laquelle on pense comme toujours susceptible d'augmentation : l'espace, par exemple, ou le nombre, parce qu'une étendue imaginée ne peut être si grande qu'on n'en puisse imaginer une plus grande, ou un nombre déterminé être tel qu'il ne puisse être aug-

UINFINI. ~ LE FINI

mente d'une unité. Au contraire on appelle actuellement infinie une quantité quon suppose donnée et dont le compte des parties, inépuisabh^ selon la conception qu'on s'en forme, se trouverait l'être en fait également; si, par impossible, il était entrepris, et cela quelque loin qu'il fût poussé, en sorte quelle ne pourrait jamais devenir une donnée. Que la première idée ait pu conduire à la seconde, qui en est formellement la contradictoire, on se l'explique par le réalisme instinctif de l'esprit qui, en pensant à l'accumulation indéfinie des éléments composants de certains objets, se sent sollicité à en former idéalement la synthèse intégrale, et à les assembler dans le concept nominal d'un sujet.

Le mot grec h.T.v,^o^^ dont le français, ilUmité. est l'exact équivalent, se pnMait à rendre l'idée de la chose inépuisable, sans qu'on fût obligé de répondre catégoriquement à la question de Fétat actuel de cette chose, relativement à la numération. C'est ainsi qu'Anaximandre a pu imaginer, en regard des mondes qui se forment et se détruisent, l'existence en tout temps de qualités sans bornes, dont la substance unique compose ces mondes innombrables ; %i peut-être Anaxagore, plus tard, n'at-il pas eu des idées plus arrêtées sur la multiplicité infinie ou indéfinie des hornéoméries (XXII).

Les anciens pythagoriciens donnaient, eux aussi, à l'illimité un sens bien différent de l'infini des modernes. Ce terme de leur table des oppositions ne s'appliquait à la matière que comme un multiple confus de tous les genres que le Nombre ne soumet pas à la mesure. Il servait à désigner l'état d'indétermination qui précède Tharmonie du Cosmos, obtenue progressivement par l'introduction de la limite (Trspa;). Dans cette

conception cosmo-mathématique, l'Infini prenait, sous l'aspect rationnel, un rôle analogue, à celui qu'il avait sous Faspect matériel dans la doctrine d'Anaximandre, avec cette différence en plus, qu'il représentait le principe passif, imparfait, désordonné, obscur, sur lequel opère le principe opposé de la Lumière et du Bien, au lieu de la Substance d'Anaximandre, puissance directrice de ses propres évolutions pour la production des mondes. L'application de Fillimité à l'idée du temps était, dans ces deux doctrines, étrangère à Fidée systématique d'éternité, qui ne s'était même pas formulée dans l'éléatisme, où elle n'entrait que sous la forme indirecte et obscure d'un présent toujours présent, sans origine et sans changement.

Le système atomistique est probablement le premier dans lequel l'infinité actuelle, accomplie, du temps écoulé, — éternité a parte ante des phénomènes, — ait été envisagée positivement. Démocrite ne crut pas seulement à l'existence sans commencement d'une matière indétejminée; il crut expressément ceci: que des phénomènes semblables, sujets aux mêmes lois, s'étaient toujours produits. Il fallait donc que, à un moment quelconque, le nombre des phénomènes distincts antérieurement apparus fût un nombre actuellement donné, qui néanmoins ne pût être conçu comme numérahle, puisque par hypothèse il n'y avait pfis eu de terme initial de la série des unités, et que la même série n'aurait pas de terme final si on la retournait.

Démocrite ne s'avisa peut-être pas de cette condition dans le concept. Les évolutionistes, Heraclite, Empédocle s'en sauvaient en apparence, et donnaient satisfaction à l'idée du commencement de l'ordre des choses actuel. Mais, si chaque évolution avait son ori-

gine, la suite des évolutions n'en avait aucune et s'enfonçait dans l'illimité. On esquivait seulement l'application du tout et du nombr-e à des actes passés sans nombre, à la multitude indéfinie des causes, numériquement distinctes, de révolution renouvelée dans les temps antérieurs ; mais il fallait qu'au fond on la supposât.

La théorie du monde d'Aristote olTre. eu cette question, un trail singulier de l'histoire des idées métaphysiques. Arislote admit la nécessité d'un point d'arrêt dans la chaîne des phénomènes (àvà-rx-r, 7T7~va'.\ L'existence d'un moteur immohilp , cause des mouvements inférieurs subordonnés, devait, selon lui, répondre à ce besoin d'unité du système du monde, parce qu'un mouvement éternel ne pouvait s'expliquer que par l'action sur son tout d'un moteur dont l'éternité embrassait la sienne. Ce moteur n'étant pas une cause efficiente, mais finale seulement, donnait le point d'arrêt demandé pour la cause ullimedes mouvements, mais non pour les mouvements eux-mêmes, dont Arislote regardait la succession dans le passé comme n'ayant pas eu de commencement. L'éternité du monde impliquait donc, en son système comme dans le système de Démocrite, une suite de phénomènes écoulés dont l'ensemble, parcouru et terminé à chaque moment, est tel pourtant qu'il ne peut pas être conçu comme pouvant se terminer et se reconstituer, s'il était parcouru en sens inverse : point de vue incompatible avec l'existence réelle des unités phénoménales distinctes, séparées dans le temps

Arislote lui-même, ayant affaire aux arguments de Zénom contre la division infinie d'une quantité réelle donnée, distinguait Vinfini em acte de Vinfuii en pim-

sance, qui seul est logiquement admissif^le. II ne songea pas que la puissance, dans l'ordre du temps, ne saurait regarder le passé, mais seulement l'avenir et que, en conséquence, l'éternité des phénomènes écoulés ne pourrait être que leur infinité donnée en acte.

L'ÉTERNITÉ CHEZ LES THÉOLOGIENS. — Ni AristotC, ni IcS

successeurs de Platon dans l'Académie ne semblent avoir prêté une attention sérieuse à la théologie démiurgique de leur maître, et à la création du tem^ps par l'œuvre du Démiurge, dans le Timêe. Cette doctrine qui supposait l'existence d'une matière et celle d'un dieu doué de personnalité, avant la création du monde, et qui représentait les premiers éléments et l'œuvre de leurs combinaisons par des symboles, dût paraître à la fois fictive et subtile, imaginée dans un dessein exotérique. Les néopythagoriciens embrassèrent en général l'opinion de l'éternité du monde. Les stoïciens évolutionistes se croyaient dispensés d'éclaircir la question des évolutions antérieures à celle qui a constitué l'ordre présent. L'idée de Dieu, Feu artiste, auteur du monde, et Monde lui-même, en sa Providence immanente et ses semences m/2omi^/fe, ne justifiait point par un caractère de personnalité active'les expressions morales et religieuses dont on usait dans la secte en l'invoquant. Le syncrétisme néoplatonicien, dernière phase de la philosophie de l'antiquité, ne changea pas l'esprit général des doctrines, ne donna pas un sens moins symbolique à la création ; loin de là, grâce à l'établissement, en qualité de première hypostase

divine, du principe inconditionné que posaient de deux différentes manières le Père des Idées de Platon et la Pensée de la Pensée d'Aristote, le néoplatonisme produisit une théorie de l'être éternel et nécessaire, qui s'imposa, avec les infinis, à la philosophie. Un dogme semblable s'introduisit en même temps dans la théologie catholique, où il dût s'allier à la croyance en un dieu personnel et créateur, avec un sens de la création qui était nouveau pour l'hellénisme.

La théorie de l'infini de Plolin réunit déjà les caractères d'un infinitisme théologique dont la scolaslique devait faire son bien. Il y manque seulement la création, au lieu de l'émanation, parce que les hypostases s'engendrent successivement en descendant jusqu'au monde et dans la matière, sans s'abaisser à la connaissance de leurs produits. L'infini a deux emplois chez Plotin : il signijîe Y illimité, sens négatif, comme dans la table pythagoricienne des oppositions, et aussi l-à perfection, sens positif attaché à la possession de qualités sans n(mibre. D'une part, c'est la matière qui est essentiellement l'infini. — Platon l'avait considérée sous cet aspect ; — mais, d'une autre part, l'infini existe dans le monde comme Fidée et comme l'archétype dont Finfini matériel est l'image et dont il reçoit l'ordre et les déterminations. Il proccnle de l'infinité et de la puissance éternelle de l'Un, n'étant de lui-même que non être, fantôme d'étendue, puissance des contraires.

L'Un, première hypostase, est au-dessus de l'être. Ce n'est pas à l'Un que l'éternité se rapporte, mais à l'Etre intelligible qui vit perpétuellement, el. là môme, elle est encore sans multiplicité et sans changemetit : vie universelle et actuellement infinie, toujours dans le présent, identique, immuable, contenant toutes choses à la

fois en un point unique. Au sein de cette nature éternelle, qui est la seconde hypostase, il n'y a ni antériorité ni postériorité, le temps y repose dans T Etre. C'est l'âme du monde, troisième liypostaso, qui, désirant prendre possession d'elle-même, amplifie le présent et entre en mouvement, menant le temps avec elle.

Telles sont les idées qui, acceptées et reproduites par saint Augustin, sauf en ce qui touche l'émanation de la troisième hypostase, et résumées quant à l'éternité, par la formule célèbre de Boëce en sa Consolation philosophique : Interminabilis vitœ totasimul et perfecta possessio, s'imposèrent aux docteurs scolastiques, à peu d'exceptions près, et à la théologie du christianisme la plus autorisée jusqu'à ce jour.

Le rapprochement des mots interminabilis et iota simul met en évidence, dans cette formule, le trait caractéristique de la doctrine de Fintini du temps, réduit à l'actualité. C'est le choix donné, si Ton tient à comprendre ce qu'on dit, entre deux opinions : ou que l'idée de l'éternité, ainsi définie, est faite de l'assemblage de deux idées contradictoires,— puisque interminabilis est l'attribut d'une vie qui s'écoule, et tota simul la négation de cet écoulement, —ou que la succession est une illusion.

La doctrine néoplatonicienne et la théologie du christianisme diffèrent en deux points, essentiellement : 1*^ ni le dieu premier sans attributs, ni les trois hypostases réunies ne répondent au dieu du christianisme, qtii, absolument parlant, la question de la trinité mise à part, est une personne selon le sens psychologique du mot, une conscience ; 2^ l'émanation et la création e nihilo, la descente de l'être dans la matière et la Providence cause universelle donnent deux vues entièrement opposées du monde.

L'INFÎNL — IM FINI

Apportée par une religion strictement monothéiste, la doctrine de la création s'opposait à l'hellénisme, qui n'avait pu s'allVanchir de rimaginafion irrélléchic de Féternîté, de la matière et du mouvement. L'inlini, sous cette forme, semblait donc banni de la spéculation; il neréttitpas. La pensée, s'arrêtant au Créateur comme à une personne immuable, supprimait, il est vrai, le procès à rinlini des phénomènes (hi monde. Mais rhypothèse d'un Dieu éternellement vivant, encore bien que spirituel, ne changeait que la nature des phénomènes à considérer dans le recul indéiini du temps; elle les faisait passer dans les modificalions internes, dans les pensées de cet être divin, <'t ne les niait pas comme distincts avant la création et régis par la loi de nombre ; ou, si elle les niait, la questi(jn métaphysique de l'infini et du temps subsistait toujours, car le recours à l'absolu ne résout pa< la difiiculté que soulève l'identité de l'être absolu et du Créateur en une même personne.

L'iNFiHi « EXTENSION. — L'iutuition ne s'tMend pas moins à l'indéfini dans l'espace que dans le temps. Cependant, il a toujours paru plus facile de faire abstraction d'une étendue inoccupée au delà, pour se repré senter le monde fini, que du temps avant les phénomènes pour se les représenter commençant à être. La question de lieu est plus facile à écarter que la question d'origine, et l'idée d'ubiquité a pris dans la spéculation beaucoup moins d'importance que l'idée de l'éternité» qui lui est parallèle. Cependant Parménide, en sa doc-

trine de lunité, posait l'Être comme fini, en qualité de parfait, tandis que Mélissos, son disciple, opina pour l'absence de bornes en toutes choses comme à Tégard du temps. La question du vide et du plein fut très disputée après Démocrite et les Éléatcs ; Platon et Aristote se prononcèrent pour le plein ; les atomistes et les partisans de l'infinité des mondes étaient forcés d'admettre le vide dans les espaces inoccupés et l'évolutionisme en laissait un au delà de la matière de l'évolution. Quoique tous ces philosophes regardassent sans hésiter, soit le vide, quand ils l'admettaient, soit le plein, comme des sujets réels et infinis, ils ne se faisaient pas une difficulté de l'existence actuelle des parties de ces multiples sans bornes.

Pour le néoplatonisme, l'infinité de l'être en extension s'applique à l'univers renfermé dans l'unité de son principe. Ce n'est pas que Plotin comprenne cet enveloppement comme celui d'un espace où les objets sont localisés et limités les uns par les autres. Ce ne sont là, dit-il, que des images. L'Être qui possède l'ubiquité estparloia à la fois, ])rése?U tout entier, dans tout ce qu'il est; il n'a cependant pas de lieu, il n'est dans rien, hormis dans ÏUn. L'étendue sensible n'étant que l'image de l'intelligible, on ne peut pas dire que l'idée de l'ubiquité, dans ces mots : partout à la fois, implique matériellement contradiction; c'est dans le concept lui-même que la contradiction réside, parce que l'image prétendue ne représente pas l'Un, mais les rapports de distance et de position inhérents à tout ce qui est représenté dans Fespacc. L'unique sens de la formule est que la réalité appartient toute à Tordre émanant, et que ce qu'on appelle image dans l'ordre émané, est rillusion du phénomène.

L'INFIM. — LE FINI

Cette signification panthéistiquc de l'ubiquité ressort plus fortement dans la théologie scolastique, si on consent à oublier pour un moment les autres dogmes qui s'opposent à celui-là dans la doctrine chrétienne. En effet, la théologie ajoute à la toute-présence de Dieu sa toute-puissance créatrice, exercée partout où quelque chose de réel se produit en acte. Dieu est dans tous les lieux sans se localiser, partout tout entier, non pas comme partie ou attribut de la chose qui se fait, mais de la manière dont ragent est prrsp/tt à ce dans quoi il agit. C'est la doctrine thomiste. Or l'idée de l'infini est la source des imaginations contradictoires de ce genre, parce qu'elle a le don de présenter en images des rapports irréalisables. La supposition d'un accroissement de puissance locomotrice passant du fini à l'infini permet de penser à quelque chose qui siégerait à la fois en plusieurs lieux différents ; autrement ce serait penser que cette chose est dans chacun de ces lieux, et qu'en même temps elle n'y est pas; et cela, c'est ce qui ne se peut penser. Mais, a dit Pascal : « Je vous veux faire voir une chose infinie et indivisible ; c'est un point se mouvant partout d'une vitesse infinie. » Et en effet, l'infini ôterait la contradiction, si lui-même n'était pas contradictoire.

Le trait le plus saillant de l'atteinte portée par la thèse de l'ubiquité à l'ordre rationnel des rapports spatiaux, et à la loi môme de l'étendue, se rencontre dans le dogme catholique de la prrsence réelle, parce que c'est d'un corps qu'il s'agit, quoique du corps d'un dieu, et que ce corps est supposé localisé tout entier dans une multitude de lieux à la fois. Mais l'alliance de l'éternité simultanée et de l'ubiquité avec la providence absolue éclaire bien plus profondément la meta-

lia LES DILEMMES DE LA MÉTAPHYSIQUE PURE

physique de rinfini dans ses conséquences, en ce qu'elle conduit à regarder l'exislence du monde, et non pas seulenienl l'essence divine, comme ne constituant qu'un acte unique et instantané hors du temps et de l'espace.

L'espace infini chez les savants modehines. — La doctrine de la spiritualité de Dieu et hi croyance générale à la limitation du monde matériel s'opposaient, pendant le règne de la scolastique, à ce que l'infini actuel devint un point de vue commun dans la cosmologie. Mais la disposition des esprits changea par suite des découvertes astronomiques, à la fin du xvi° siècle, et de l'adhésion des savants au système du monde de Copernic. L'induction de ce fait : que les bornes jusque-là imaginées du monde observable reculent à mesure qu'on obtient les moyens de constater de plus grands éloignements des corps, à cette hypothèse : qu'il n'y a pas de fin, dans l'espace, pour les mondes réellement donnés, est illégitime. Elle doit l'être aux yeux mômes de ceux qui croient un infini actuel logiquement admissible ; mais elle est trop facile pour nôtre pas commune. Les contemporains des premières observations qui agrandirent démesurément l'idée ancienne des proportions des sphères tombèrent en admiration devant l'étendue insondable de l'univers, sans songer que le beau et le parfait ne consistent pas dans la grandeur des dimensions. Le changement imaginaire de l'échelle géométrique du cosmos, cet écrasement matériel de l'homme, — quoique assez manifeste déjà sur l'an-

lit

cienne échelle supposée, — passa pour un abaissement moral de sa situation, une preuve de son peu de valeur devant l'immensité. On crut que les anciens, en donnant à la révolution des sphères la terre pour centre, avaient entendu se placer eux-mômes au centre d'excellence du monde, ce qui est le contraire de la vérité ; tandis que les modernes, se reconnaissant logés dans « un petit coin de l'univers », seraient fondés à attribuer au système matériel de la création, une incomparable supériorité sur la Terre et les terricoles. Mais rien de tout cela ne répond aux faits. Ce qu'on obtenait par les découvertes modernes, c'était Tinformalion plus exacte des lois de phénomènes à grande envergure, d'impulsion, de pesanteur et de chaleur, et d'un système de révolutions très vaste dont le centre ne se découvre pas encore : le tout parfaitement étranger, qu'on sache, à la valeur morale des existences.

L'idée de l'infini, dans l'abstrait, suivit une marche correspondante à l'extension que rimagination donnait à l'univers, en franchissant toutes bornes. L'illusion née de l'imagination des possibles, ainsi que de l'expérience de Tindélini de la quantité sensible, favorisa le passage de l'idée éi Findélim à celle de l'intini actuel, et de celle-ci aux spéculations qui naissent de la synthèse de rinfini et de la mesure, idées mutuellement contradictoires. Giordano Bruno déploya le môme enthousiasme à célébrer les inondes in/mis qu'à reproduire les élucubratîons de Nicolas de Kuss sur l'unité de l'immensité et du point, de l'éternité et de l'instant : il parut ainsi faire une hérésie monstrueuse de ce qui avait été chez le cardinal un comble de piété mystique. Descartes, pour éviter l'hérésie, s'astreignit à ne point dépasser la notion de l'indéfini, dans son sys-

tème des tourbillons, mais il apparaît clairement que c'est à rinfini qu il pensait, à Tinfini, qui, d'ailleurs, est la môme chose que la continuité du plein dans rétendue matérialisée telle qu'il la concevait.

La doctrine de Spinoza s'éloigne beaucoup dans la forme, mais peu dans le fond, de celle de Bruno en ce qui touche l'infini. Spinoza ne spécule pas en cosmologie, mais le rapport du phénoménal et de Téternel, des parties et du tout, dans l'infini divin, l'indivisibilité réelle des phénomènes distincts en apparence dans le temps et l'espace, et dont la manifestation n'a pas eu de commencement et n'aura pas de fin, sont des points de théorie qui, envisagés dans l'ordre physique, supposent un monde sans bornes, et à la fois enfermé dans l'unité de l'inétendu réel. Leibniz, en sa polémique avec Clarke, soutient Finfinité de l'univers matériel, comme il le nomme lui-même à cet endroit, quoique sa monadologie exclue la réalité subjective de l'étendue. C'est enfin l'opinion actuelle de la grande majorité des savants, des philosophes et des gens du monde qui pensent d'après eux, que le inonde est infini, sans faire de métaphysique. Kant peut paraître au fond l'avoir adoptée, tout en s'en désintéressant dialectiquement par cet argument que l'espace avec tout ce qu'il contient de phénomènes n'étant que représentation en nous, on ne saurait dire du monde en soi qu'il est infini, non plus que fini.

L'iNIFNI DE COMPOSITION. Le RAPPORT DU FINI A l'iNFINI

- Il est remarquable que, la première fois qu'un phi-

L'INFLM. - LE FINI ,13

losophe s'est avisé de vouloir se rendre compte de ce qui paraît si simple en n'y réfléchissant pas, nous voulons dire de la manière dont une étendue se compose d'autres étendues, et dont le parcours d'un mobile se compose d'autres parcours moindres, ce fut pour confirmer la doctrine éléatique et démontrer ïimpossi^ bilité du mouvement. En reconnaissant que la recherche de la plus petite partie d'une distance entre deux points, ou celle du plus petit changement de lieu d'un mobile, était pour Fesprit un problème insoluble, fallait-il donc que Zenon conclut que le mouvement est une apparence illusoire? Ne pouvait-il se dire que la nature de la conception, dans ce qui regarde ces phénomènes, consiste dans la pensée d'une suite interminable de divisions de l'objet (ou de multiplications, à les prendre en sens inverse), tandis que le sujet a sa propre manière d'être, qui correspond à notre perception, à nos sensations, mais non pas à Findéfînité de nos idées de l'étendue et des nombres. Il restait après cela un problème, mais qui dans tous les cas se pose : celui de la nature de la matière.

Plutôt que d'abandonner le point de vue de la croyance irréfléchie commune en l'existence d'une matière des corps possédant subjectivement les qualités sensibles dont l'imagination prolonge l'application possible à travers leurs parties indéfiniment diminuées, le grand dialecticien d'Elée nia la réalité des rapports perçus de Tordre mécanique, c'est-à-dire la perception elle-même, ou sa loi selon l'ordre de la nature, et soutint que le phénomène est illusoire. Nul philosophe n'ayant songé, pendant plus de deux mille ans après cette époque, à résoudre la difficulté de la première de ces deux manières ; mais tous ayant été même en Renouvier. — Dilemmes de la métaph. g

peine crapercevoir le vrai sens et la portée des arguments de FEléate, qu'ils prirent le parti de traiter de sophismes, on peut juger par là des progrès accomplis dans la science de l'esprit, entre l'âge de Zenon et celui de Berkeley, de Leibniz et de Malebranche. . Les arguments de Zenon ont gardé toute leur valeur, pourvu qu'on les comprenne comme démontrant Timpossibilité logique d'admettre l'existence d'un sujet matériel en soi, ayant des parties en soi, qui seraient franchies par un mobile dans l'intervalle linéaire de deux points entre lesquels ces parties seraient multipliées sans fin. La définition de la quantité géométrique abstraite, dont une partie, quelque petite qu'elle soit, est conçue comme divisible en d'autres parties qui sont divisibles de même, et cela sans fin, pose une loi des possibles pour l'entendement, non un jugement pour la détermination d'un sujet. L'impossibilité ressort immédiatement du principal argument de Zenon, car il consiste, au fond, à remarquer que la bisection d'une ligne, et de sa moitié, et de la moitié de sa moitié, etc., est une opération qui, ne pouvant se terminer en son concept, ne peut fournir le concept d'une ligne dans laquelle elle serait d'avance réalisée par l'existence intrinsèque de toutes les parties d'une telle division. Il y a contradiction. Traduisons la suite des parties en une suite de mouvements partiels pour le parcours de la ligne, on dira par la même raison, avec Zenon : le mouvement ne peut se terminer, le mobile n'aura jamais fini de traverser des parties sans fin. Cq, jamais y nous l'avons remarqué plus haut, s'applique au temps comme à l'espace, parce qu'il s'applique au nombre qui les embrasse tous deux dans la division du continu. Les préventions de la critique, en premier

lieu, peut-être, les fautes des éditeurs des Leçons de physique d'Aristote oà les arguments sont rapportés, ont empêché qu'on les saisît dans leur généralité logique.

A V Achille de Zenon, hi Flèche (jui vole ajoute un trait de polémique qui semble s'écarter de la question de l'impossibilité du mouvement, mais qui y tient, au contraire étroitement, en montrant l'irréductJble opposition des idées de continuité et de détermination locale dans le parcours d'un mobile. C'est une sorte de défi, que Zenon adresse à l'adversaire, d'expliquer comment il faut se représenter la position du mobile, qui doit être à tout instant sîtiu' dans une étendue dont les dimensions coïncident avec les siennes, et qui pourtani n'est ni dans un lieu d'où il part, ni dans le suivant, le plus prochain, puisquii se meut de l'un à F autre. On a objecté à Zenon qu'il supposait de la sorte la ligne à parcourir composée de points, et le temps composé d'instants. C'est refuser de comprendie. Zenon uc iait point de suppositions; libre à son contradicteur d'en faire et d'imaginer, s'il le peut, un intervalle minimum entre deux positions du mobile, et une manière d'être situé quand il n'occupe ni l'une ni l'autre. Si, comme le porte l'objection, la ligne à parcourir est composée de points, ou ils se touchent, ou des intervalles les séparent : dans le premier cas, la contiguïté est l'identité, car le point n'a pas de parties, et alors il n'y a pas mouvement; dans le second, le problème demeure. 11 faut alors revenir à la ligne toujours composée de lignes moindres, indéfiniment divisibles : nous nous voyons dans l'impossibilité de comprendre le passage d'un lieu à un lieu suivant, quand nous ne savons commentla suite et renchaînement des lieux peut se défi-

nir, faute de la donne'e d'un minimum de grandeur. L'impossibilité de la continuité de l'étendue et du mouvement ressort fortement de l'argument de la flèche

qui vole.

Zenon est aussi l'auteur d'un argument très connu contre la subjectivité de l'espace. Il consiste à observer que ce sujet contenant, s'il en faut un, aurait besoin d'être contenu lui-môme dans un autre. L'objection semble puérile, elle fait cependant ressortir cette forme de la pensée par laquelle nous plaçons dans l'espace toute chose située hors de nous. Si elle ne s'applique pas à l'espace lui-même, c'est qu'il n'est pas situé, mais qu'il est l'expression universelle du rapport intuitif de contenance. L'étendue, condition des images, n'est point une image; autrement, il est hors de doute qu'il faudrait chercher dans quoi elle est contenue, et c'est l'idée vraie de l'étendue qui viendrait. Mais parce qu'elle est la forme intuitive commune à tous les rapports de position et de figure, l'étendue n'est pas sujette elle-même à l'un de ces rapports, celui de la contenance.

Les questions soulevées par la critique éléatique de la composition matérielle ne retinrent pas assez l'attention d'Aristote., qui ne vit qu'imparfaitement l'application à l'infini de son admirable distinction de l'acte et de la puissance. Les écoles postérieures négligèrent ces sortes d'analyses. C'est seulement quand le néoplatonisme eut à appliquer la notion de nombre, non plus à la matière, pour laquelle il conserva à l'infini sa signification pythagoricienne d'indétermination, mais aux idées et aux âmes, que la doctrine infinitiste mystique s'introduisit dans le concept de composition comme dans celui de la perfection divine (XXXVI). L'unité de l'Intelligence divine, selon Plotin, se forme

L1NFINI. - LE FINI h 7

de la multitude des intelligibles en vertu de leur nature infinie. L'Ame universelle contient toutes les âmes, est à la fois une et infinie; elle est divisée S(-ulement dans ce qui la reçoit : c'est un nombre plus grand que tout nombre, « un nombre universel, un et multiple, qui constitue un tout infini par soi, sans limites. L'infinité trouve ses limites dans les animaux, auxquels la beauté est donnée par la mesure ». Cette dernière pensée est pythagoricienne. La première est volontairement contradictoire, et nous montre dans le néoplatonisme la source de la théologie mathématique identifiant le maximum et le minimuin dans le tout, et faisant descendre le monde matériel infini de la pure unité suprême : forme de panthéisme qu'on peut interpréter comme la réduction mystique du monde à son principe divin, mais, plus naturellement, au point de vue inverse, comme la constitution de la nature de Dieu formée du tout des éléments infinis du monde.

L'infini de composition dans la philosophie moderne. — Les idées infinilistes étaient répandues à l'époque de la jeunesse de Descartes, autant qu'en permettait l'aveu le caractère hérétique de la doctrine de Bruno, supplicié peu d'années auparavant, dont elles étaient l'enseigne éclatante. Descartes, en sa théorie de l'étendue substantielle et du plein, avait toutes les raisons possibles et même l'obligation philosophique de s'expliquer sur les difficultés relatives à l'infini de composition, qui n'est autre que la quantité continue. II aima mieux traiter par le mépris ces prétendues subtilités. Le sujet était cepen-

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dant si important pour la philosophie dont il posait le point de départ, que c'est en en imaginant des solutions que Leihniz et Spinoza composèrent leurs systèmes, à la suite du sien. Leihniz suhstitua aux parties indéhniment divisihles de la matière cartésienne une infinité de suhstances simples, points géométriques à l'égard de l'étendue, et Spinoza une infinité de modes de cette même étendue regardée comme un attrihutde la substance unique. C'était, des deux côtés un infini de composition. On voit par là que Descartes n'avait pas suffisamment délini la matière; et Malehranche pouvait bien la supprimer; on sait qu'il en était tenté fortement.

Pour Spinoza, l'infinité de la composition s'absorbe dans l'indivisibilité fondamentale de Tétendue ; elle est donc une imagination seulement; pour Leibniz, elle est formellement réelle : la distinction réelle des monades, quoique infinies en nombre, est alTirméc. Le philosophe sait et déclare d'ailleurs, en tant que mathématicien, que l'idée d'un nombre actuellement infini est contradictoire i/i lerminh ; la quantité diffn'entielle du calcul appelé infinitHimal, dont il est l'inventeur, il ne la donne que pour une quantité indéfiniment diminuée, dont la détermination reste arbitraire; mais, en tant que métaphysicien, il se croit permis d'assurer que la moindre étendue finie est peuplée d'une infi-' nité actuelle de monades. La raison que Leibniz donne de cette différence de traitement de deux questions qui semblent si bien n'en faire qu'une seule, arithmétique, c'est qu'un amas, une multitude est autre chose qu'un tout. Un tout forme toujours un nombre, une multitude pourrait n'en être pas un. Cette distinction a été souvent renouvelée depuis Letlmiz. Cependant, si

L'INFIMI. — LE FIMI ^^g

une multitude est déterminée, et que ses parties soient distinctes, et c'est ici ce que l'on suppose, on ne peut pas nier que leur ensemlile forme un tout, qui est un nombre, à moins qu'on ne veuille se soustraire à la loi du rapport du multiple à l'un, ce qui est sortir de la logique. Quels motifs peut-on se croire pour la violer qui n'ait besoin d'elle pour se faire valoir? L'infinitisme ne les donne pas; ils semblent même de nafure à n'être pas facilement éclaircis pour le penseur qu'ils animent secrètement. La solution de la diflieullé nous paraît donnée, en ce qui concerne Leibniz, par la supposition, qu\au fond, il regardait, aussi bien que Spinoza, la division et Tindividualion comme imaginaires.

Le calcul infinîtésimal, quoique interpi-ét(' correctement par son inventeur, qui fut en cela nnil compris, et le calcul des fluxions de Newton, le même que raiilre avec d'autres notations, devinrent, pour les mathématiciens désireux d'en fixer la logique, un sujet scabreux, grâce à l'obsession de Fidée de l'infini, à laquelle on ne se résignait pas à substituer celle de l'indéfini. La plupart furent séduits par uu expédient qui consiste à envisager les limites d'accroissement ou de décroissement de grandeur des quantités varial)Ies, en évitant de considérer la grandeur, à la limite, comme composée des différences en nombre indéfini que la variable doit traverser pour l'atteindre. Mais on déguise ce deinier point de vue, plutôt qu'on ne l'évite. L'assimilation vicieuse de l'indéfini à l'infini actuel demeure au fond de cette méthode.

En regard de ces mathématiciens. (|ui affichent une prétention mal justifiée à la rigueur (4 à la clarté, d'autres ont embrassé le réalisme infinitiste, et défini nettement l'étendue et la durée comme composés des

infinitésimaux de leurs natures respectives, pris en nombres infinis. Ces minima concrets, s'ils sont des points et des instants sans dimensions, comme quelques philosophes le voudraient, ne répondent pas aux concepts de la géométrie et de la mécanique qui ne veulent point d'arrêt à la division des éléments de composition de la quantité; et s'ils donnent satisfaction à cette exigence en restant toujours indéterminés, leurs symboles ne peuvent être réalisés sans que la réalisation s'étende aux infinis d'ordres supérieurs, c'est-à-dire à Vinfiniment plus qu infini ; et cette conséquence, avec des redoublements de contradiction dans le concept, atteint le comble de l'inintelligible.

Les géomètres du xix'^ siècle ont été conduits par l'usage toujours croissant de l'analyse algébrique à réaliser les signes. Les symboles des valeurs infinies, et ceux des imaginaires aussi, se prennent volontiers pour des espèces d'une expression mathématique dont les rapports proprement numériques ne seraient que des cas particuliers. Cette généralisation du nombre, comme on la nomme, est une fâcheuse déformation de la catégorie de quantité, dont la notion fondamentale est altérée, et dont les applications deviennent illogiques, au moins au point de vue d'une méthode positive. La réalisation des infinis amène le géomètre à voir dans une quantité linéaire quelconque un infini qui renferme d'autres infinis, indéfiniment, à mesure qu'on le conçoit divisé, puisque chaque partie est divisible à l'infini comme le tout lui-môme. Toute quantité continue peut se présenter à Finfinitiste sous cet aspect. De là une définition générale de l'infini qu'on a pu formuler en termes forts et précis : La quantité infinie est une quantité dont les

parties, considérées séparément, égalent chacune le tout. Le caractère radicalement illogique d'uue telle définition consiste en ce que les concepts de tout et de partie, et d'égalité, y sont introduits et nécessairement supposés, pour qu'elle soit intelligible, et qu'en monic temps ils sont violés par la proposition elle-même. Toutes les difficultés que, depuis l'origine de la géométrie, les notions de fini, d'indéfini, et les rapports incommensurables suscitaient dans les théories, naissaient du besoin d'éviter la conlradiction en cherchant des méthodes pour la mesure des grandeurs idéalement continues. La méthode que Tinfinitisme découvre après tant de tâtonnements se résumerait donc à faire entrer la contradiction dans le propre concept de la quantité! On voudrait savoir si les pliilosophes qui admettent les proportions infinies dans le monde matériel sont prêts à suivre les géomètres égarés dans cette illogique logication de l'infini en acte. Pour les mathé maticiens, il est juste de reconnaître que les concepts peuvent rester abstraits et idéaux (bien que toujours contradictoires en eux-mêmes) et bornés à leur emploi mathématique. Mais les philosophes sont-ils prêts à regarder comme un concept rationnel, celui par lequel, se transportant dans une partie du monde séparée de celle où nous sommes par une série d'astres échelonnés dépassant tout nombre assignable, on aurait devant soi, dans la même direction, une autre série égale, et puis une autre, etc., et cela de telle sorte que chacune fût numériquement égale, étant infinie, à la somme de toutes celles qui la comprennent elle-même en arrière et en avant ? On objectera que l'infini ne se peut atteindre, et que si loin qu'on se porte, suivant le concept, on ne sera jamais parvenu qu'à des nombres

déterminés d astres, dans une série unique. Sans doute, mais ce sera avouer que le concept de l'infini actuel n'est pas réalisable, et que là où il y a des parties réelles données elles ne peuvent jamais être que linies en acte. Le monde infini concret n'est donc pas plus possiblement réel que le nombre infini abstrait n'est intelli-

gible

Le dilemme de l'infinitisme. — Ce n'est point par rapport à l'espace ou au temps, en particulier, et à leur composition, que doit être réclamée du logicien l'option entre l'aflirmalion ou la négation de la thèse de rinlini actuel; c'est par rapport à ce concept de l'infini et à sa forme. Quand nous avons étudié la question du conditionnement des phénomènes en général, ensuite celle du conditionnement de qualité (catégorie de la substance), nous avons vu le dilemme se poser entre l'acceptation ou le refus de la loi de relativité comme seule applicable aux fonctions intellectuelles pour lu définition de nos connaissances en tout sujet. Et l'application de cette loi était celle du principe de contradiction lui-même, car l'usage des catégories ne s'impose pas moins à la spéculation qu'à l'expérience, et nous n'en saurions contester aucune qui ne persiste alors même à s'affirmer dans nos jugements. Il en est maintenant du conditionnement quantitatif comme du qualitatif: Tout ce que nous distinguons comme ayant ou ayant eu une existence distincte, définissable, nous le pensons en un rapport d'unité à nombre et de partie à tout, de môme que, tout sujet posé, nous le

L'INFmL — LE Fifïï

qualifions de quelque manière déterminée. Si nous pouvons nier, en théorie, les affirmations implicites de notre pensée à cet égard, c'est que des motifs, avoués ou secrets, nous engagent souvent à chercher les moyens de nier cela même que supposent les jugements dont l'exercice de l'intelligence est inséparable. Aussi est-ce d'examen et d*option qu'il s'agit, non de dogmatisme, dans ces problèmes de philosophie première.

Il serait juste cependant de mettre une dillérence de valeur entre une proposition qui s'appuie immédiatement sur le principe de contradiction, et toutes celles qui, pour la combattre, usent d'autres arguments. On a le droit de penser que le philosophe qui ne fait pas cette distinction ne regarde pas la logique comme hors de question dans le débat, ne croit pas que la logique oblige. Nous entendons appliquer à Kant cette remarque. Kant, ce la première et la plus nette de ses antinomies, prouve la ihése des limites du monde dans le temps et l'espace par cette raison, que « rinlini té d'une série consiste en ce qu'elle ne peut jamais être complétée au moyen de la synthèse successive de ses termes », et que, par conséquent, la synthèse qu'on suppose effectuée, d'ua côté, et l'analyse, impossible de l'autre, par hypothèse, sont deux concepts qui se contredisent. De même, dans la deuxième antinomie, où il envisage l'idée de composition matérielle (logiquement la même), Kant prouve la làèse de riuijiossibilité d'existence de composés de composés sans ////, en observant que l'idée de composition implique l'idée du composant, au môme titre qu'elle implique l'idée du composé, et que, en faisant abstraction de la composition, il devrait rester des composants, au lieu qu'il ne doit rien rester, s'il est vrai qu'il n'existe que des compo-

ses. Plus simplement, quoique moins ingénieusement, c'est dire que l'hypothèse d'une composition à la fois donnée et indéfinie, se détruit elle-même, comme celle de l'illimitation dans la première antinomie. L'idée de la composition sans terme contredit l'idée de composition. Voilà ce qui regarde les thèses dans ces deux antinomies.

Quand on examine les arguments que Kant apporte pour prouver les antithèses, auxquelles il accorde une valeur démonstrative (rationnelle) équivalente à celle des thèses, on s'aperçoit qu'ils n'opposent rien aux arguments invoqués à l'appui de celles-ci, et ne se fondent pas comme eux sur la logique, en dévoilant la contradiction dans le concept à combattre. Ils ne leur sont donc pas logiquement comparables. Le philosophe qui prétend, comme Kant, neutraliser les preuves en les opposant, quoique si diverses, pour ne pas conclure, ou, comme Hamilton, pour choisir entre elles, mais en se guidant sur des motifs qui ne relèvent pas de la logique, devrait déclarer sincèrement que, dans son opinion, le principe de contradiction ne doit pas obtenir la primauté dans les motifs de nos jugements. Le dilemme de l'infini porte sur l'application de la logique de la quantité à l'ordre universel des phénomènes dans l'espace et dans le temps. Les rapports de l'unité au nombre, et des parties au tout, sont-ils applicables partout où l'on peut regarder une existence réelle comme constituée, en extension ou en composition? Telle est la question, et la formule des thèses contradictoires entre lesquelles l'option est forcée se pose en ces termes :

Ou des phéîiomènes peuvent, dans V espace [actuelle^ ment), et dans Je temps {passé), être donnés, réels et dis-

tincts, et cependant ne pas former des touts déterminés et des nombres, quand ils sont considérés ensemble ; et des composés (F éléments réels et distincts peuvent être constitués sans que leur somme donnée soit un nombre déterminé ;

Ou toute multitude donnée de phénomènes donnés et distincts forme un tout qui est un nombre déterminé.

Les trois dilemmes que nous avons formulés jusqu'ici regardent le principe de relativité en général, et l'un d'eux, la loi de qualité^ un autre, la loi de quantité, qui sont des rapports statiques applicables à Tordre entier des objets de l'enleiidement. Ils n'impliquent rien du devenir, quoiqu'ils portent sur les phénomènes répartis dans le temps, comme sur ceux qui sont représentés dans l'espace, te dilemme qui va suivre concerne les rapports dynamiques, le devenir, la cause et la fin. II intéresse donc plus directement la vie et la conscience. Il ne laisse pas de tenir aux dilemmes abstraits par le lien métaphysique le plus profond, et particulièrement à celui de l'infini par la plus stricte logique.