FAMILLE HEXAGONALE

Pl. 1. — Plan trigone. — Dos trois sommets du trigone, décrire des circonférences égales et tangentes, les subdiviser en 6 parties égales et joindre les points de division de 2 en 2. — Deux sortes de figures assemblées : l’hexagone convexe et l’étoile hexagonale.

Pl. V. — Transformation curviligne de la nappe précédente par la substitution d’un arc aux côtés des figures. — L’hexagone a les côtés concaves et l’étoile les côtés convexes.

Pl. 2. — Nappe de trois hexagones entrelacés par les côtés, ou bien, à considérer les figures, c’est-à-dire les pièces de rapport : un grand hexagone, un petit hexagone dont le côté est moitié moindre, puis une figure entaillée en queue d’aronde.

Pl. 2'. — Trigones tronqués ou hexagones ternaires entrelacés par les pointes ou les petits côtés, de manière à déterminer une maille régulière.

Pl. 3. — Entrelacs à compartiments. Cinq figures assemblées : un grand et un petit hexagones réguliers, un hexagone barlong, de symétrie écartelée, un hexagone en queue d’aronde, de symétrie écartelée, une étoile hexagonale et un trigone.

Pl. 4. — Hexagones entrelacés cireulairement par les pointes, et dont les sommets sont reliés par un trigone. — Quatre figures assemblées : une étoile, un pentagone, un trigone et un losange.

pL. g. — Hexagones entrelacés par les sommets. — Trois figures assemblées : une étoile, un losange et un pairie dodécagonal.

1 l. 6. Ilan trigone. Aux sommets du trigone de répartition, tracer des étoiles hexagonales dont les côtés prolongés déterminent un hexagone au centre du trigone. La nappe ainsi obtenue est recoupée par des hexagones détachés et entourant les étoiles.

^ 1 ‘ Tricèle révolvé dont le crochet est de deux traits, inscrit dans le trigone que l’on

labat indéfiniment pour couvrir le plan. — A suivre seulement une bande on aurait une rangée contrariée.

1 l. 8. lricèles cramponnés enclavés et laissant pour vide une étoile hexagonale. — Ou bien, et à suivre seulement les traits, des étoiles hexagonales étant placées aux sommets du tiigone de répartition, on en prolonge les côtés de deux en deux en tournant dans le même sens (disposition révolvée) et on en relie les extrémités, d’une étoile à l’autre, par un zig-zag.

Pl. 9. • Etoile hexagonale dont un côté de chaque pointe est prolongé en révolvant ; trois

étoiles ainsi révolvées sont ensuite reliées par un tricèle trigone.

In. 10. Chevrons enveloppant un hexagone en révolvant et s’enclavant par trois au centra du trigone de répartition. Ou bien, et à suivre seulement les traits : trois hexagones à côtés prolongés et révolvés sont raccordés par un tricèle révolvé.

Pl. 11. Rectangles entrecroisés par trois régulièrement suivant leur centre de figure, et entrelacés par leurs petits côtes, ces extrémités se pénètrent régulièrement en déterminant un trigone entouré de trois pentagones pairs.

Pl. 12. — Par les sommets du trigone de répartition décrire avec un même rayon des circonférences tangentes; les subdiviser en douze parties égales et mener les diagonales de 8 en S divisions, on a ainsi des étoiles de six pointes à angles rentrants droits aboutées suivant les cotés du trigone. Ces étoiles embrassent en l’enclavant un hexagone de symétrie ternaire à angles saillants alternativement droits et obtus. (Sur la figure, ou a mené les diagonales des sommets de l’hexagone, il s’ensuit que l’angle n’est pas exactement d’équerre, mais la différence est insensible.)

Pl. 13. Des sommets du trigone de répartition décrire une circonférence avec Un rayon égal à celui du trigone, y inscrire un dodécagone, puis mener les diagonales de 3 en 3 divisions; enfin par les points d’intersection de ces diagonales, mener, de S en 8 divisions, d'autres diagonales qui déterminent les carrés.

1 L. 14. Des sommets du trigone de répartition, décrire des circonférences avec un rayon égal au 1/3 du côté, les subdiviser en douze parties égales, puis mener les diagonales de 3 en 3 divisions. Le reste s’ensuit. Le rayon des circonférences pourrait être plus petit ou plus grand que le 1/3 du côté et alors, moyennant un ajustement convenable, le carré interposé entre les pointes, pourrait avoir son côté égal à celui de l’étoile.

l“i„ la. — Des sommets du trigone, décrire des circonférences avec le 1/3 de la hauteur pour rayon, y circonscrire une étoile à saillants droits, puis prolonger les côtés en révolvant, et finalement les relier au centre par un tricèle perpendiculaire. (Y. la pl. 9.)

Pl. 15'. — Même épure que la pl. 14.

1*l. 16. — ■ Dodécagones entrelacés par le milieu des côtés. Les côtés se croisent à angles droits et sont obtenus par la subdivision en quatre parties égales des angles du trigone, chacun des côtés se trouvant contenu dans les rayons de subdivision. Le second quartier de la planche a les étoiles subdivisées par des rayons. La seconde moitié est la même nappe recoupée par une nappe d’hexagones assemblés.

Pl. 17. — Entrelacement d’hexagones et de dodécagones. Le rayon du dodécagone est égal à la moitié de la hauteur du trigone de répartition. Les côtés de l’hexagone passent par le milieu des côtés du dodécagone.

Pl. 18. — Des sommets du trigone décrire une circonférence avec un rayon égal à la moitié de la hauteur. Les étoiles et les mailles qui en dérivent pourraient être d’une proportion différente; ici elles sont tracées sur le réseau trillé.

Pl. 19. — Distribution suivant le réseau de l’hexagone et du trigone assemblés. Six rosettes à mailles hexagone enveloppent une rosette étoilée à mailles cunéiformes.

Pl. 20. — Six étoiles hexagonales enveloppent une rosette à mailles hexagones. Les rosettes et les étoiles sont reliées par un losange.

Pl. 21. — Des sommets du trigone décrire des circonférences égales et tangentes, y mener les diagonales de 4 en 4 divisions, ce qui détermine deux étoiles hexagonales entrelacées. Au cœur de ces étoiles tracer une rosette à mailles hexagonales. Enfin, au centre du trigone, tracer un trigone qui broche sur trois pointes des étoiles. On a ainsi une nappe continue de rosettes et d’hexagones recoupée par une nappe détachée d’étoiles et de trigones.

Pl. 22. — Même motif que la pl. 21, mais avec ajustement pentagonal. Ce pentagone se détermine aisément en menant, par le milieu des côtés du trigone de répartition, deux lignes croisées suivant les angles du pentagone.

Pl. 23. — Trois hexagones entrecroisés et recoupés par des figures écartelées de huit côtés entrecroisées. Des rosettes à mailles cunéiformes aux trois sommets du trigone; au centre un hexagone qui les relie ; puis enfin des lignes perpendiculaires aux hexago- . es et déterminant les grands hexagones entrelacés.

Pl. 24. — Des sommets du trigone de répartition décrire des Circonférences tangentes t les

diviser en douze parties égales et mener les diagonales prolongées de 4 en 4 divisions Par les angles rentrants de l’étoile ainsi déterminée décrire des cercles avec la moitié du côté pour rayon. On a ainsi deux nappes entrelacées régulièrement. De petits cercles intercalaires raccordent les arcs des rosettes.

Pl. 23. — Trois rosettes hexagonales sont distribuées aux sommets du trigone et entourent un hexagone. — Ou bien, six hexagones distribués aux sommets de l’hexagone de répartition entourent une rosette hexagonale.

Pl. 26. — Des rosettes hexagonales sont distribuées aux sommets du trigone et sont reliées par des traits perpendiculaires qui, en s’entrecroisant, déterminent un petit hexagone.

Pl. 27. — Disposition révolvée. — Aux sommets du carré de répartition tracer des étoiles hexagonales posées alternativement dans un sens et dans l’autre (les motifs sénairos sont aussi des motifs écartelés). L’angle du carré est divisé en trois parties; les points de rencontre des lignes de subdivision déterminent les points de la figure.

Pl. 28. — Disposition révolvée d’une étoile hexagonale à rosette hexagonale intérieure. Les angles du carré de répartition étant divisés en trois parties égales, on fait passer, par le point de rencontre d'un premier et d’un deuxième rayon, une circonférence dans laquelle on inscrit l’étoile hexagonale. — • Le reste s’ensuit.

Pl. 29. — Même motif que pl. 27, avec des lignes prolongées et s’entrecroisant. Même tracé que ci-dessus pl. 28.

Pl. 30. — Disposition révolvée d’une rosette hexagonale. Subdiviser les angles du carré en trois parties égales. Les rencontres des rayons entre eux et avec les médianes du carré déterminent les points de la figure. Au centre un motif linéaire révolvé.

Pl. 31. — Distribution hexagonale. Des sommets de l’hexagone décrire les circonférences avec le 1/3 du côté pouL rayon, y inscrire un octogone régulier; au centre de l’hexagone décrire une circonférence avec un rayon égal à la moitié du côté, y inscrire une rosette hexagonale dont les côtés extérieurs prolongés raccordent les côtés prolongés des octogones.

Pl. 32. — Distribution hexagonale. Dans le trigone élémentaire de l’hexagone, on décrit sur la hauteur et tangente à la base, une circonféreuce avec un rayon égal au 1/4 du côté; on subdivise cette circonférence en cinq parties égales, un rayon prolongé donne sur le côté du trigone le centre d’un heptagone. De ce centre on décrit une circonférence avec un rayon égal à la distance du centre au rayon prochain de l’étoile pentagonale, on y inscrit un heptagone. Le reste s’ensuit. (Dans l’ajustement simultanériient pentagonal et heptagonal il y a lieu à une légère tolérance. En effet, le sommet du trigone à la base, le milieu de cette base, le centre de l’étoile pentagonale et le centre de

l'heptagone forment un quadrilatère dont la somme des angles au lieu d’être rigoureusement égale à quatre angles droits, est plus grande de la fraction 1/1 OS , ce qui est a peu près insignifiant.)

Pl. 33. — Trois étoiles hexagonales inscrivant une autre étoile dérivée, sont entrecroisées et distribuées aux sommets du trigone de répartition. L’entrecroisement donne des losanges et un hexagone au centre du trigone.

Pc. 34. — Plan carré. — Subdiviser deux sommets opposés en trois parties égales, et par le centre du carré mener deux traits en croix. Le reste s’ensuit. Si l’on voulait que les octogones fussent réguliers, il y aurait lieu à une déviation concomitante des lignes de la rosette hexagonale, dont les mailles au lieu d’être régulières, c’est-à-dire sénaires, deviendraient ternaires ou même simplement paires ; en même temps la croix du milieu deviendrait un sautoir.

Pl. 33. — Plan trigone. - Ajustement pentagonal. Par le milieu de la base du trigone et par le sommet opposé tracer suivant l’axe on la hauteur deux angles dont les côtés se croisent en losange et dont Pécartement soit celui du pentagone étoilé (qui est égal à la moitié de l’angle au centre du pentagone). Sur le petit diamètre du losange on construit le pentagone régulier, puis le pentagone étoilé. Le reste s’ensuit, c’est-à-dire l’inclinai.son concomitante des lignes do la rosette hexagonale.

Pl. 36. — Plan de l’hexagone, du carré et du trigone assemblés. Répartition hexagonale avec rosette étoilée au centre. Dans un cercle de rayon à peu près arbitraire décrit du centre de l’hexagone, on mène les diagonales de 4 en 4 divisions, on a ainsi une étoile formée par quatre trigones entrecroisés. Le carré étant quadrillé donne la répétition écartelée d’un point de grecque révolvé et dont le trait élémentaire est un zig-zag d’équerre et de symétrie diagonale. Le trigone reçoit les prolongements des lignes du carré.

Pl. 37. — Plan trigone. — Par les sommets du trigone décrire une circonférence avec un rayon égal au 1/3 du côté. Du point milieu des côtés décrire une circonférence tangente à la première et la diviser en huit parties égales. Du centre décrire une circonférence avec un rayon égal au double de la distance du centre à la circonférence divisée en huit : par les hauteurs du trigone les centres des arcs se trouvent marqués. Cet entrelacs peut être considéré comme formé par l’intersection de grands polygones curvilignes à dix-huit côtés convexes.

Pl. 38. — Plan trigone. — Des sommets décrire des circonférences avec le 1/3 de la hauteur pour rayon ; les milieux des côtés des hexagones inscrits donnent les centres des arcs. Cet entrelacs peut être considéré comme formé par l’intersection de polygones curvilignes à douze côtés convexes.

Pl. 39. — Plan trigone. — Répartition hexagonale. — Des sommets du trigone décrire des

circonférences concentriques, l’une avec un rayon égal au 1/3 du côté, l’autre avec un rayon égal au 1 /6. Par le milieu des côtés du trigone, décrire une circonférence avec la moitié de l’apothème pour rayon et la diviser en huit parties égales. Par les points de division mener deux traits en croix qui raccordent en révolvant les traits prolongés des diagonales menées de 4 en 4 divisions dans les circonférences décrites des sommets. Enfin, au centre du trigone, une circonférence décrite avec un rayon égal à la 1/12 partie du côté, inscrit un hexagone.

Pl. 40. — Plan trigone. — Cet entrelacs est composé de trois nappes : l’une formée d’hexagones et de trigones assemblés, l'autre formée d’hexagones entrelacés et la troisième formée de rosettes hexagonales curvilignes raccordant par trois une rosette ternaire également curviligne. Pour la première nappe on décrit, des centres des hexagones, une circonférence avec un rayon égal au 1/6 du côté du trigone de répartition. Ces circonférences contiennent les centres des arcs de la seconde nappe ; les centres des arcs qui raccordent les premiers par inflexion sont situés au milieu des côtés du trigone inscrit à l’hexagone. La troisième nappe est obtenue en joignant ces derniers centres par des droites .

Pl. 41. — Plan trigone. — Subdiviser les angles du trigone en quatre parties égales; parle centre mener six diamètres entrecroisés. Les rencontres de ces rayons avec les premiers donnent l’hexagone, puis enfin, des circonférences concentriques aux premières inscrivent des étoiles.

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