FAMILLE OCTOGONALE

Pl. 42. — Plan carré. — Bu centre décrire une circonférence tangente aux côtés, la subdiviser en huit parties égales et mener les diagonales de 3 en 3 divisions, on a ainsi l’octogone étoilé dont les côtés prolongés déterminent des étoiles de quatre pointes aux sommets du carré.

Pl. 43. — Transformation curviligne de la figure précédente. Au centre du carré décrire une circonférence avec le 1 /4 du côté pour rayon, cette circonférence contient les centres des arcs de la grande rosette étoilée. Des arcs raccordant les précédents sont tracés de la même manière aux sommets du carré.

Pl. 44. — Du centre du carré décrire une circonférence tangente aux côtés, Des sommets décrire deux circonférences ; l’une égale à la première et l’autre qui lui soit tangente. Par les diagonales menées de 3 en divisions, le reste s’ensuit.

I’l. 4S. — Subdiviser l’angle du carré en quatre parties égales; la rencontre du premier rayon avec la médiane du carré donne la longueur du rayon d’une circonférence dans laquelle, par les diagonales menées de 4 en 4 divisions, on insci’it un octogone étoilé. Le reste s’ensuit.

Pc. 46. — Par le milieu des côtés du carré de répartition, décrire des circonférences égales et tangentes ; les diviser en huit parties égales et mener les diagonales de 3 en 3 divisions. Au centre du carré, décrire une circonférence avec un rayon égal au 1/4 de la diagonale, y inscrire un octogone. Enfin au centre et aux sommets, décrire des circonférences tangentes aux premières et y tracer l’octogone étoilé.

Pc. il. — Par le centre et les sommets du carré, décrire des circonférences avec un rayon égal à la moitié du côté du carré, y inscrire un octogone, et par les diagonales, mener, de 3 en 3 divisions, un octogone étoilé.

Pi.. 48. — Des sommets et du centre : 1“ avec un rayon égal à la moitié du côté du carré, décrire des circonférences tangentes, y inscrire un octogone régulier ; 2° avec un rayon à peu près arbitraire ( suivant la proportion que l’on veut donner à la maille de la rosette ; ici le rayon est égal à la moitié du côté du carré inscrit) , décrire une circonférence concentrique et y mener les diagonales de 6 en 6 divisions ; on obtient ainsi une étoile dont les côtés prolongés jusqu’à la rencontre des côtés de l’octogone déterminent les mailles de la rosette. Les côtés de l’octogone prolongés déterminent les petits octogones qui séparent les rosettes.

Pl. 49. — Transformation curviligne de l’entrelacs précédent par des traits ondulés et tracés à main-levée. (Le tracé par des arcs de cercle ou au compas n’est point naturellement indiqué ici par la composition de la figure. Cette épure est tirée d’un panneau de menuiserie à petits compartiments dont les cadres après avoir été moulurés ont été cintrés ou courbés au laminoir. Pour une application différente de cet entrelacs et par son emploi à une grande échelle, le tracé au compas pourrait devenir nécessaire; mais ce ne serait alors qu’une nécessité d’exécution ou de métier, ce qui est bien différent do l’invention.)

Pl. 30. — • Répartition de rosettes octogonales suivant un rectangle, ce qui détermine des files parallèles au lieu d’une disposition quadrillée régulière comme dans les exemples précédents. Sur le petit côté, décrire deux circonférences égaies et tangentes, y inscrire les rosettes (Y. la pl. 48) ; achever le petit octogone. On a ainsi la moitié de la figure, l’autre moitié s’ensuit nécessairement.

Pl. Sl. — Répartition de rosettes suivant un triangle isocèle droit ou le losange de l’octogone, ce qui détermine des files alternes. Même tracé que précédemment pour la première partie, pour la seconde partie, on trace une rosette droit en face le milieu des deux premières,

l*i.. 52. — Même disposition que précédemment mais avec des rosettes différentes et obtenues ainsi qu’il suit : après avoir inscrit l’octogone dans le cercle, on mène les diagonales de 6 en (i divisions, puis par les sommets rentrants du petit octogone étoilé intérieur on mène des parallèles aux diagonales, on a ainsi des mailles de symétrie écartelée qui dérivent de l’octogone par le rabattement intérieur de deux angles opposés.

Pl. 53. — Du centre du carré de répartition et avec un rayon égal à la moitié du rayon penché, décrire une circonférence dans laquelle on mène les diagonales de 6 en G divisions. Des sommets du carré, décrire des circonférences tangentes à la première, y inscrire un carré; le prolongement des lignes de l’étoile achève la figure.

Pl. 54. — Des sommets du carré de répartition, décrire des circonférences égales et tangentes, les diviser en seize parties égales. Par les points de division, inscrire une étoile dont les angles rentrants soient égaux à l’angle du pentagone. Par le centre du carré, faire passer quatre lignes se croisant sous l’angle du pentagone étoilé, ce qui donne deux nouveaux côtés du pentagone d’ajustement. Un carré tracé au centre implique le cinquième côté. Le pentagone est pair, il ne peut être régulier.

Pl. 55. • — Des sommets du carré de répartition, décrire des circonférences tangentes, les diviser en seize parties égales et mener les diagonales de 4 en 4 divisions, achever les rosettes comme aun" 52.

Pl. 56. — Des sommets du carré de répartition, décrire des circonférences avec un rayon égal au 1/4 du côté, y inscrire, par les diagonales de 6 en 6 divisions, une étoile dont les côtés prolongés et recoupés par l’étoile octogonale à pointes articulées d’équerre déterminent les rosettes. Ces rosettes sont recoupées d’équerre à leurs pointes par les mailles ai'ticulées à un octogone posé au centre du carré. Cet octogone et les mailles qui l’accompagnent sont déterminées par une circonférence décrite avec un rayon égal au 1/3 delà distance comprise entre le centre et la circonférence décrite des sommets.

Pl. 57. ■ — • Des sommets du carré de répartition, décrire des circonférences tangentes, les subdiviser en trente-deux parties égales. Du centre du carré, décrire une circonférence tangente, y inscrire un octogone dont on prolonge les côtés. Dos circonférences concentriques et décrites avec un rayon à peu près arbitraire inscrivent des étoiles dont les côtés prolongés déterminent les rosettes.

Pl. 58. — Subdiviser les angles du carré dernier en quatre parties égales. La rencontre de deux rayons d’équerre détermine le rayon d’une circonférence que l’on décrit de chaque sommet, et dans lesquelles on mène les diagonales de 6 en 6 divisions.

Pl. 59. — Du centre du carré de répartition, décrire une circonférence tangente aux côtés. Dos sommets, décrire des circonférences tangentes, y mener les diagonales de 6 en 6 divisions et les prolonger. Au centre du carré, tracer une rosette octogonale après

avoir mené dans le grand cercle les diagonales de 6 en 6 divisions. On a ainsi des mailles carrées que l’on transforme en octogone étoilé par un autre carré égal, les croisant d’équerre. On rabat intérieurement les angles saillants de ce second carré, ce qui détermine une figure en croix, dont la répétition en couronne entoure les étoiles et les rosettes.

Pl. 60. — Des centres de répartition, décrire des circonférences tangentes aux côtés du carré. Des sommets du carré, décrire des circonférences tangentes aux premières, y inscrire l’octogone étoilé dont les côtés prolongés déterminent la grande rosette.

Pc. 61. — Le carreau de répartition est un rectangle allongé aux quatre sommets duquel on trace des rosettes octogonales égales et tangentes suivant le petit côté. Dos mailles égales à celles de la rosette, des étoiles ternaires à six pointes, des étoiles paires à cinq pointes et des octogones réguliers achèvent de remplir le rectangle dont la proportion générale est déterminée par le triangle isocèle dont l’angle à la base est égal au 3/4 d’un angle droit.

Pu. 62. — Répartition losange d’octogones séparés par deux mailles affrontées de la rosette octogonale. On a ainsi quatre espèces de figures : un octogone régulier à symétrie radiée, une maille hexagonale paire, une étoile paire de cinq pointes, enfin une étoile écartelée de six pointes.

Pl. 63. — • Répartition rectangulaire analogue à la flg. 61, mais d’un développement moins étendu. Même tracé que la fig. 61 .

Pl. 64. — Même répartition que pl. 48, et même rosette que pl. 82.

Pl. 6b. — Par les sommets et le centre d’un carré, décrire des circonférences égales et tangentes, les subdiviser en seize parties égales et mener les diagonales de 4 en 4 divisions; puis, dans des circonférences concentriques et décrites avec un rayon à peu près arbitraire, mener les diagonales de 6 en 6 divisions, ce qui achève les rosettes.

Pl. 66. — Des sommets et du centre du carré de répartition décrire des circonférences avec un rayon égal au 1/6 du côté. Inscrire au centre un octogone étoilé. Au milieu des côtés et avec un rayon égal au 1/6 de la diagonale décrire des circonférences, les diviser en six parties égales et mener les diagonales de 2 en 2 divisions. Le reste s’ensuit.

Pl. 66'. — Des sommets et du centre du carré de répartition décrire des circonférences avec un rayon égal au 1/8 de la diagonale et y inscrire l’hexagone étoilé. Des sommets décrire des circonférences avec un rayon égal au 1/4 de la diagonale et du milieu des côtés décrire des circonférences tangentes qui inscrivent, les unes un octogone régulier et les autres un octogone étoilé. Un carré concentrique à ces dernières figures achève le tracé.

Pi,. 67. — Par les sommets du carré de répartition décrire des circonférences avec le 1/4 du côté pour rayon, y inscrire un octogone étoilé dont on prolonge les côtés ; en menant dans ces octogones les diagonales de 6 en 6 divisions, et les prolongeant on achève le tracé.

IIP SERIE

FAMILLE DODÉCAGONALE.

Pi,. 68. Plan trigone. — Par les sommets décrire des circonférences égales et tangentes, les diviser en vingt-quatre parties égales et mener les diagonales de 4 en 4 divisions! Décrire de nouvelles circonférences concentriques aux premières avec un rayon arbitraire (suivant la proportion que l’on veut donner aux mailles de la rosette) et y inscrire des étoiles dont les côtés prolongés déterminent les mailles de la rosette.

Pi,. 69. Plan trigone. — Des sommets décrire des circonférences égales et tangentes, puis des circonférences concentriques avec un rayon égal au 1/S du côté du trigone, y mener les diagonales de 4 en 4 divisions. Le reste s’ensuit.

Pi.. 70. — Plan- carré. — Même figure que pi. 69, mais sur plan carré. Du centre décrire une circonférence tangente aux côtés du carré et la diviser en vingt-quatre parties égales. Par le point de rencontre du côté du carré et du rayon prochain on décrit une circonférence, tangente à ces deux lignes, puis du centre on décrit une circonférence tangente à la dernière et dans laquelle on mène les diagonales do 10 en 10 divisions.

Pl. 71. — Plan carré. — Ajustement pentagonal. Par le point de rencontre du rayon voisin du côté du carré avec la médiane, on subdivise l’espace environnant en dix parties sensiblement égales (l’angle de deux lignes est égal à 1 fois 1/2 l’angle au centre du pentagone à 1/30 près.) Des sommets du carré et avec un rayon égal à la moitié du rayon voisin de la diagonale on décrit un cercle que l’on divise en vingt-quatre parties égales, on y inscrit une étoile dont on prolonge les côtés, une autre circonférence concentrique et décrite d’un rayon à peu près arbitraire inscrit les autres lignes de la rosette : ces lignes sont tracées suivant l’angle du pentagone. Les quatre rosettes se pénètrent mutuellement suivant les côtés du carré et sont recoupées au centre par un carré et une étoile de quatre pointes à mailles triangulaires.

Pl. 72. — Plan trigone. — Ajustement pentagonal. Mêmes rosettes que ci-dessus, mais détachées et entrelacées par leurs pointes avec des coins, lesquels sont entrelacés à leur tour par un trigone.

Pl. 73. — Plan trigone. — Des sommets décrire deux circonférences concentriques lune avec le 1/3, l’autre avec les 2/3 de la moitié du côté du trigone, y mener les diagonales de 10 en 10 divisions. Au centre du trigotie décrire une circonférence avec le 1/6 du côté pour rayon, y inscrire un ennéagone. Le reste s’ensuit. Une proportion différente donnerait des hexagones de raccord différents.

Pr.. 74. — Plan trigone. — Des sommets décrire une circonférence avec un rayon égal au 1/3 de la hauteur du trigone," la diviser en vingt-quatre parties égales et y mener sous une inclinaison à peu près arbitraire les diagonales d'une étoile. Parle centre du trigone décrire une circonférence qui passe par point de rencontre des rayons avec la hauteur. Des sommets du trigone décrire une circonférence tangente à celle du centre. Enfin une petite circonférence tangente à la dernière inscrit un heptagone sensiblement régulier. (L’angle de deux rayons étant égal à 8/3, est plus petit de 1/21 que trois fois l’angle au centre de l’heptagone.)

Pr.. 78. — Plan trigone. — Subdiviser les angles en quatre parties égales. Le rayon compris entre la hauteur et le côté du trigone croise : 1° une autre hauteur, ce qui détermine lé centre de l’heptagone; 2° le rayon correspondant de l’autre sommet, ce qui détermine le rayon d’une circonférence qui inscrit une étoile. En prolongeant les côtés de cette étoile, puis traçant les heptagones et l’hexagone qui les raccorde on achève la figure.

Pc. 76. — Plan trigone. — Des sommets du trigone décrire des circonférences égales et tangentes, les diviser en vingt-quatre parties égales. Par les diagonales menées de 4 en 4 divisions, on inscrit deux hexagones entrecroisés dont les côtés prolongés déterminent le petit hexagone de raccord. Une corde de huit divisions coupe le rayon prochain en un point par lequel on fait passer une circonférence qui, par des diagonales y inscrites et menées de 10 en 10 divisions, détermine l’étoile et achève par suite la rosette,

Pr. 77. ■ — Plan carré. — Transposition de l’entrelacs précédent sur plan carré. Des sommets décrire des circonférences tangentes, y inscrire les mêmes rosettes que ci-dessus.

Pc. 78. — Plan trigone. — Disposition analogue à la figure 76. Par les sommets du trigone décrire trois circonférences concentriques ; la première avec la moitié du côté pour rayon, la deuxième avec la moitié de la hauteur, la troisième avec le quart de la hauteur. Ces circonférences divisées en vingt-quatre parties égales déterminent les rosettes.

Pl. 79. — Transformation curviligne de la nappe précédente par substitution d’arcs alternativement concaves et convexes aux traits rectilignes.

Pr.. 80. — Plan trigone. — Subdiviser l’espace environnant les sommets en vingt-quatre parties égales. Le rayon compris entre le côté et la hauteur du trigone de répartition rencontre le rayon correspondant de l’autre sommet en un point par lequel on fait passer

une circonférence qui inscrit une étoile par le moyen des diagonales menées de 10 en 10 divisions. Les 2/3 de la distance du sommet au point précédent sont le rayon d’une circonférence qui, par des diagonales menées de 6 eu 6 divisions, inscrit la rosette tout entière.

Pi.. 81. — Plan trigone. Des sommets décrire des circonférences égales et tangentes, les diviser en vingt-quatre parties égales et mener les diagonales de 6 en 6 divisions, ce qui donne trois carrés entrecroisés régulièrement. Par le centre du trigone mener des traits parallèles, puis un hexagone mi-régulier à angles droits. Par le milieu des côtés un carré qui broche sur les pointes des rosettes se relie aux traits parallèles ou aux coins menés du centre.

Pi.. 82. — Plan trigone. — Par les sommets décrire deux circonférences concentriques; l’une avec un rayon égal au 1/3 de la hauteur et dans laquelle on mène les diagonales de 10 en 10 divisions; l’autre avec un rayon égal au précédent augmenté du 1/4 du côté du trigone; cette dernière circonférence inscrit la rosette entière par des diagonales menées de 6 en 6 divisions. Ces rosettes, en s’entrecroisant, déterminent une maille carrée et sont réunies au centre par un hexagone mi-régulier qui détermine trois mailles également carrées.

Pi.. 83. — Plan carré. — Transposition de la ligure précédente sur plan carré. Des sommets du carré décrire des circonférences avec un rayon égal au 3/4 de la 1/2 diagonale. Même rosette que précédemment. Au centre du carré décrire un petit cercle qui inscrit un octogone dont les côtés prolongés rejoignent les équerres qui brochent sur les pointes des rosettes.

Pl. 84. — Plan trigone. Des sommets décrire des circonférences avec un rayon égal au 1/3 du côté, y mener les diagonales de 4 en 4 divisions. Puis, au centre du trigone, tracer un hexagone retrait, dont les côtés prolongés coupent les lignes prolongées de la rosette.

Pl. 8S. — Plan trigone. — Des sommets décrire des circonférences égales et tangentes, y mener les diagonales de 4 en 4 divisions; on détermine ainsi les rosettes aboutées inscrites chacune dans un hexagone dont on trace effectivement le contour.

Pr,. 86. — Plan trigone. — Des sommets et du centre avec un rayon égal au 1/3 de la hauteur décrire des circonférences tangentes. Dans les cercles des sommets inscrire des rosettes à mailles ventrues. Dans les circonférences du centre diviser l’hexagone en six trigones contenant chacun un tricèle révolvé dont les traits déterminent au centre un hexagone mi-régulier et se raccordent avec les sommets de la rosette.

Pl. 87. — Plan trigone. — Des sommets décrire une circonférence avec le 1/3 de la hauteur pour rayon y inscrire une rosette dodécagonale. Subdiviser l’hexagone du centre en six trigones dans lesquels on trace des hexagones à côtés révolvés.

Pl. 88. — Plan trigone. — Répartition hexagonale. Des sommets décrire une circonférence avec un rayon égal au 1 /3 du côté. Dans les circonférences des extrémités du grand axe tracer des rosettes de douze mailles, et dans celles du petit axe des rosettes hexagonales. Les rosettes raccordent deux tric'eles révolvés conjugués à retour et tracés sur un canevas trille.

Pl. 89. — Plan trigone. — Des sommets décrire des circonférences égales et tangentes, y mener les diagonales de 4 en 4 divisions. Le polygone étoilé intérieur déterminé par trois carrés entrecroisés régulièrement peut recevoir un motif do mosaïque, c’est-à-dire avoir son à plat subdivisé par des carreaux en coin, en losange, en trigone, en carré et en hexagone ; ou bien une rosette à mailles hexagonales ; une rosette étoilée, à mailles cunéiformes ; une rosette curviligne ; une rosette de douze mailles ; et d’autres motifs encore, par exemple un ornement proprement dit, c’est-à-dire des fleurons ou des rinceaux fleuronnés.

Pi,. 90. — Plan trigone. — Des sommets décrire une circonférence avec le 1/3 du côté pour rayon, la subdiviser en vingt-quatre parties égales et mener les diagonales de 10 en 10 divisions. Les prolongements de ces diagonales déterminent au centre une étoile hexagonale, et au milieu des côtés un carré dans lequel on inscrit une figure en croix.

Pi,. 90'. — Le rayon de la circonférence est égal au 1/3 do la hauteur du trigone et le carré inscrit une étoile à quatre boucles en coin.

Pl, 91. — Plan trigone. — Des sommets décrire une circonférence avec le 1/3 de la hauteur pour rayon, y mener les diagonales de 10 en 10 divisions et les prolonger. On détermine aussi au centre un hexagone et au milieu des côtés un carré que l’on transforme en octogone étoilé. Le surplus est affaire d’ajustement.

Pl. 92. — Plan trigone. — Tracer le réseau assemblé du dodécagone, de l’hexagone et du carré. Mener les diagonales du dodécagone de 8 en 8 divisions, et les diagonales de l’hexagone.

Pl. 93. — Plan trigone. — Parles sommets décrire une circonférence avec le 1/4 du côté pour rayon, y mener les diagonales de 6 en 6 divisions. Au milieu des côtés décrire un petit cercle qui inscrit l’étoile à quatre pointes, et des sommets un grand cercle tangent dans lequel on inscrit un dodécagone.

Pi,. 94. — Plan carré. — Transposition de l’entrelacs précédent sur plan carré. Deux lignes diagonales dont Tune est le côté du carré inscrit, et l’autre est la ligne qui joint les deux rayons voisins des médianes, déterminent deux circonférences dont Tune inscrit un dodécagone et Tautre une étoile par les diagonales menées de 8 en 8 divisions.

pL.gg. — Plan carré. — Parles sommets décrire des circonférences avec un rayon égal

au 1/3 du côté du carré, les subdiviser en vingt-quatre parties égales et mener les diagonales de 8 en 8 divisions. Le reste s’ensuit.

Pl. 96. — Plan trigone. • — Réseau du dodécagone et du trigone assemblés. Par les sommets du dodécagone décrire des circonférences égales et tangentes, mener les diagonales de 3 en 3 divisions, lesquelles, prolongées, achèvent la ligure. Pour plus de commodité, on décrit des sommets du trigone une circonférence avec un rayon égal à la moitié du rayon du dodécagone et on y mène les diagonales de 10 en 10 divisions.

ri. 97. — Plan isocèle. — Répartition losange. On inscrit dans un carré une circonférence tangente que l'on divise en vingt-quatre parties égales, on y mène les diagonales de 2 en 2 divisions. Une circonférence concentrique à la première décrite avec un rayon à peu près arbitraire ou bien égal au 1/4 de la diagonale du carré achève la rosette au moyen des diagonales menées de 10 en 10 divisions. On trace les petits hexagones et l’octogone mi-régulier,; Une nouvelle circonférence, tangente à l’octogone, inscrit la rosette précédente.

Pc. 98. — Plan trigone. — Subdiviser l’espace environnant les sommets en vingt-quatre parties égales. Par le point de rencontre des deux rayons voisins du côté du trigone on fait passer une circonférence ; par les sommets du trigone on décrit des circonférences tangentes et on y inscrit des dodécagones. D’autres circonférences décrites avec un rayon égal au 1/3 de la hauteur inscrivent des étoiles au moyen des diagonales de 8 en 8 divisions. La moitié inférieure de la planche représente la même épure avec tous les rayons des grandes rosettes effectivement tracés.

Pl. 99. — Plan trigone. Réseau de l’hexagone et du trigone assemblés. Des sommets décrire des circonférences circonscrites aux hexagones, les diviser en vingt- quatre parties égales et mener les diagonales de 4 en 4 divisions. Dans une circonférence concentrique et d’un rayon à peu près arbitraire (suivant la proportion des mailles) on mène les diagonales de 10 en 10 divisions, ce qui, avec les diagonales précédentes, achève les rosettes dont les pointes libres sont terminées par une boucle lignée en coin. L’hexagone du centre étant trillé on y trace aisément les tricèles révolvés.

Pl. 100. — Plan trigone. — Même tracé que ci-dessus. La rosette est à mailles hexagonales et reçoit par intercalation une maille losange.

Pl. 101. — Plan trigone. — Tracé par le réseau trillé. Aux sommets, des traits révolvés ou enveloppés en spirale suivant les angles de l’hexagone. Au centre, un tricèle révolvé de quatre traits à angulations hexagonales. Enfin, au milieu des côtés, une croix révolvée biaise.

Pl. 102. — Plan trigone. — Tracé parle réseau trillé. Aux sommets, des traits enveloppés en spirale; au centre, un pairie révolvé à angulations d’équerre; au milieu des côtés, une croix révolvée droite.

Pt.. 103. — Plan trigone. — Entrelacs curviligne. Par les sommets, décrire des circonférences concentriques, l’une avec un rayon égal aux 3/4, l'autre avec un rayon égal aux 8/8 du côté du trigone. Deux traits passés en croix par le milieu des côtés du trigone, s’articulent avec les arcs du cercle. On a donc, en résumé, aux/sommets, un hexagone à côtés concaves révolvés ; au centre, un trigone à côtés convexes révolvés, et au milieu dos côtés, une croix révolvée.

Pt.. 104. — Plan trigone. — Réseau du dodécagone, de l’hexagone et du carré assemblés. On inscrit dans le dodécagone une rosette curviligne de six pointes, dans l’hexagone l’étoile hexagonale. Les prolongements de ces deux figures déterminent dans le carré un octogone étoilé qui n’est qu’à pou prés régulier, à cause du mélange de lignes droites et de lignes courbes.

Pi.. 108. — Plan trigone. — Réseau du dodécagone, de l’hexagone et du carré assemblés. Par les sommets de l’hexagone, faire passer deux traits en croix, l’un d’eux suivant le rayon du dodécagone, et l’autre suivant le côté d’un dodécagone qui recoupe toutes les lignes irradiant des sommets.

ive série