ÉTOILES ET ROSETTES DE DEUX NOMBRES DIFFÉRENTS

Pl. 106. — Plan carré. — Subdiviser l’espace environnant le centre en seize parties égales, et l'espace environnant le milieu des côtés en douze parties égales. Par la rencontre des deux rayons penchés et couchés, on fait passer une circonférence dans laquelle on inscrit une étoile de six pointes au moyen des diagonales menées de b en 3 divisions. Une circonférence tangente à la première et décrite du centre, inscrit une étoile de huit pointes dont les côtés sont les prolongements de l’étoile précédente. Le reste s’ensuit.

Pi.. 107. — Plan trigone. — Répartition hexagonale de deux rosettes étoilées l’une de huit mailles, l’autre de six mailles. Du milieu des côtés de l’hexagone, décrire des circonférences avec un rayon égal à la moitié du côté et les subdiviser en seize parties égales. Du centre de l’hexagone décrire une circonférence tangente aux premières et la subdiviser en douze parties égales. Dans les premières circonférences, mener par les points de divisions des angles, tels, que le pentagone compris entre leurs côtés, soit à peu près régulier (il ne peut l’être rigoureusement), et achever la rosette. Faire les mêmes opérations dans la circonférence du centre. Puis toujours avec la sujétion du pentagone qui, quoique irrégulier, règle tout, on trace la figure pentagonale qui broche sur les pointes des rosettes.

Pl. 108. — Plan trigone. — Répartition hexagonale. Des sommets de l'hexagone, décrire des circonférences tangentes avec la moitié du côté pour rayon. La rencontre des deux rayons voisins des diamètres de l’hexagone détermine le centre d’une circonférence tangente aux premières et dans laquelle on inscrit un heptagone (à peu près régulier : l’angle des deux rayons étant plus petit que deux angles au centre de l’heptagone de 2/63). Les côtés prolongés de l’heptagone déterminent, au centre, une étoile hexagonale et un hexagone brochant sur les lignes. Une circonférence d’un rayon à peu près arbitraire et concentrique aux circonférences des sommets achève la rosette de neuf mailles.

Pj.. 109. Plan isocèle. — Subdiviser l’espace environnant les sommets aigus du losange on vingt parties égales et l’espace environnant les sommets obtus en seize parties égales. La rencontre de deux rayons détermine un point par lequel on fait passer deux circonférences décrites des deux sommets différents du losange. Dans l’une on inscrit une rosette étoilée décagonale et dans l’autre une rosette étoilée octogonale. 11 est impossible que le pentagone intercalaire soit régulier. Cet entrelacs n’est pas très-élégant, mais il est instructif, car il montre bien l’abus du système. Il est clair qu’on s’est posé ce problème d ajuster une rosette décagonale avec une rosette octogonale, mais la conciliation ou 1 ajustement de deux types si différents étant difficile, on n’a pas réussi, et le résultat est médiocre.

Pc. 110. Plan trigone. — Réseau du dodécagone, de l’hexagone et du carré assemblés. Au centre du carré inscrire un octogone régulier qui règle tout le système ; puis au centre du dodécagone inscrire une rosette de douze mailles ventrues; enfin, au centre de 1 hexagone, inscrire une rosette à mailles hexagonales paires. On pourrait adopter pour les rosettes d’autres inclinaisons des lignes, mais alors l’octogone ne serait plus régulier, et, somme toute, le balancement général des lignes serait peut-être moins satisfaisant.

Pl. 111. — Plan carré. — Par les sommets, décrire des circonférences avec le 1/4 de la diagonale du carré pour rayon, les subdiviser en vingt-quatre parties égales. Par le centre du carré et la rencontre des deux rayons voisins de la diagonale, faire passer une circonférence, la diviser en douze parties égales. Pour le surplus, les points de centres étant indiqués, il est facile de tracer les arcs, et, par suite, d’achever la figure.

Pi.. 112. • — Plan trigone. — Répartition losange de doux motifs différents et, par suite, disposition en files alternes. Même tracé que la pl. 76 pour l’une des rosettes. L’autre rosette à mailles hexagonales est inscrite dans une circonférence décrite avec un rayon égal au 1/3 de la hauteur du trigone. Les côtés prolongés se raccordent avec la rosette dodécagonale par des mailles losanges s’entrecroisant en forme de coin.

Pi„ 113. — Plan trigone. — Répartition hexagonale. Par les sommets de l’hexagone décrire des circonférences égales et tangentes, puis des circonférences concentriques avec le 1/3 du côté pour rayon. La rosette s’ensuit. Du centre de l’hexagone décrire une cir-

conférence avec le 1/3 du côté pour rayon, y inscrire un hexagone. Par toutes les lignes prolongées on achève la figure.

Pc. 114. — Transposition de la nappe précédente par permutation des motifs composants. La rosette qui occupait les sommets de l’hexagone dans la figure précédente, prend ici la place de l’autre motif, et réciproquement.

Pi.. 118. — Plan carré. — On subdivise l’espace environnant le centre du carré en vingt-quatre parties égales et l’espace environnant les sommets en seize parties égales. Par les points de rencontre des deux rayons voisins de la diagonale, on fait passer un cercle qui contient tous les centres des petites circonférences décrites de ces mêmes points de rencontre et tangentes entre elles. On inscrit dans ces circonférences le pentagone étoilé. Le reste s’ensuit. Le pentagone étoilé est tout naturellement indiqué, car l'angle compris entre les deux rayons est sensiblement égal (à 1/60 près en moins) à deux fois l’angle au centre du pentagone.

Pl. 116. • — Plan carré. — Même tracé préliminaire que ci-dessus. Des rosettes étoilées dodécagonales et octogonales sont engagées par quatre sommets, les autres sommets sont reliés par un coin. Pour les rosettes dodécagonales, on décrit deux’circonférences concentriques, l’une avec le 1/3, l’autre avec les 2/3 de la 1/2 diagonale. Une autre circonférence également concentrique est décrite avec un rayon égal au 1 /4 de la diagonale ; la rosette est ainsi entièrement déterminée. Par le point de rencontre de deux rayons on décrit un cercle tangent à cette dernière circonférence, dans lequel on inscrit un pentagone. Une circonférenee tangente, décrite parle centre du carré, inscrit la rosette octogonale.

Pl. 117. — Plan carré. — Même tracé préliminaire que ci-dessus. Par le point de rencontre des deux rayons voisins de la diagonale, mener une verticale qui coupe le rayon prochain en un point qui est le centre du pentagone d’ajustement (ce pentagone n'est qu’à peu près régulier, l’angle de deux rayons diffère do deux angles au centre du pentagone de 1/30). Des sommets du carré décrire une circonférence avec un rayon égal ou à peu près à la moitié de la distance du sommet au centre du pentagone ; on inscrit dans cette circonférence une étoile dont les côtés prolongés déterminent la rosette dodécagonale. La rosette octogonale, au lieu d’avoir des mailles de six côtés a des mailles quadrilatères en coin.

Pl. 118. — Plan carré. — Subdiviser l’espace environnant les sommets en vingt-quatre parties égales et l’espace environnant le centre en seize parties égales. La rencontre des deux rayons voisins de la diagonale détermine un point duquel on décrit un cercle tangent à la diagonale et à la médiane. On inscrit dans ce cercle un pentagone étoilé (sensiblement régulier, l’angle des deux rayons étant plus grand que deux angles au centre du pentagone de 1/60), puis des sommets du carré on décrit des circonférences tangentes à ce dernier cercle. Ces circonférences inscrivent l’étoile dodécagonale, dont les côtés pro-

longés achèvent la rosette. Du centre on décrit également une circonférence qui inscrit l’étoile à huit pointes, et, par suite, la rosette octogonale se trouve déterminée.

Pl. 119. — Plan carré. — Décrire parles sommets des circonférences tangentes et les subdiviser en seize parties égales. Du centre décrire une circonférence tangente aux premières, puis avec le même rayon décrire par les sommets, des circonférences concentriques. Par les points de centre qui sont indiqués dans la figure, on décrit les arcs. Les fleurons qui accompagnent l’octogone à côtés cavés, sont indépendants de la construction géométrique, mais étant dans le mouvement des lignes, ils les accompagnent si naturellement, que nous avons cru bien faire de les indiquer dans l’épure ; d’ailleurs ils existent dans l’original.

Pl. 120. — Plan trigone. — Répartition hexagonale do rosettes dodécagones et ennéagones. Des sommets de l’hexagone décrire des circonférences avec un rayon égal à la moitié de la hauteur du trigone, les subdiviser en dix-liuit parties égales et y inscrire les rosettes ennéagones. Au centre de l’hexagone, une circonférence tangente aux premières, inscrit la rosette dodécagone, dont l’étoile est déterminée par une circonférence concentrique égale aux premières. Si l’on observe que l’angle déterminé par les deux rayons voisins du côté du trigone est sensiblement égal à deux fois l’angle au centre du pentagone (à 1/90 près), ou pourra du sommet de )cet angle décrire une circonférence tangente aux angles et y inscrire un pentagone étoilé à peu près régulier qui déterminerait les rosettes. On aurait ainsi une nappe plus régulière. Mais il était de notre devoir de donner l’épure telle que nous l’avons recueillie, c’est-à-dire conforme à l’objet qui la recélait.

Pl. 121. — ■ Transformation curviligne de l’entrelacs précédent, par la substitution de traits arqués et ondulés aux traits rectilignes.

Pl. 122. — Plan trigone. — Répartition hexagonale. Par les sommets de l’hexagone subdiviser l’espace environnant en dix-huit parties égales et par le centre subdiviser l’espace environnant en vingt-parties égales. La ligne qui point les joints de rencontre des rayons, divise le rayon de l’hexagone en deux segments avec lesquels on décrit des circonférences tangentes. Ces circonférences, à l’aide de circonférences concentriques décrites d’un rayon à peu près arbitraire, déterminent les rosettes dodécagones et ennéagones.

Pl. 123. — Plan trigone. — Répartition hexagonale. Des sommets de l’hexagone subdiviser l’espace environnant en dix-huit parties égales, puis décrire une circonférence avec le 1/3 du rayon de l’hexagone pour rayon. Subdiviser l’espace environnant le centre de l’hexagone en vingt-quatre parties égales. Par la rencontre des deux rayons voisins du rayon de l’hexagone, décrire une circonférence, y inscrire un pentagone régulier (l’angle de deux rayons ne diffère de la somme de deux angles au centre du pentagone que de 1/90). Après avoir décrit du centre de l'hexagone une nouvelle circonférence tangente, le reste s'ensuit;

Pl. 124. Plan trigone. — Même construction que ci-dessus. Seules les rosettes des sommets do 1 hexagone sont différentes, étant composées de coins entrelacés régulièrement et reliés à la rosette dodécagone par un autre coin qui broche sur les pointes.

Pl. 12S. Plan trigone. — Répartition hexagonale. Après avoir subdivisé l’espace environnant les sommets de l’hexagone en dix-huit parties égales et l’espace environnant le centre en vingt-quatre parties égales, on décrit, par le point de rencontre des deux rayons avoisinant le rayon de l’hexagone, un cercle tangent aux rayons voisins des premiers ; ce cercle coupe le rayon on un point qui est le centre du pentagone d’ajustemen t; le pentagone est déterminé par un cercle d’un rayon égal à la moitié du rayon du cercle tangent. Le reste s’ensuit comme ci-dessus.

Pl. 126. — Plan losange. — Par les extrémités du petit diamètre décrire deux circonférences égales et tangentes, y inscrire une rosette dodécagone. Par l’un des sommets de la rosette mener une oblique sur le grand axe et inclinée suivant l’angle de la 1/10 partie du cercle. On a ainsi un centre duquel on décrit une circonférence tangente aux premières, on y inscrit une rosette dodécagone et par les prolongements des lignes, le surplus do la figure se trouve rempli. D’après cela, on voit que les côtés du losange ont un jarret, puisque les rayons ne peuvent être dans le prolongement l’un de l’autre.

Pl. 127. — Plan carré. — Subdiviser l’espace environnant le centre en douze parties égales en suivant les diagonales du carré et l’espace environnant les sommets en seize parties égales. Par la rencontre des deux rayons voisins de la diagonale, on fait passer un cercle dans lequel on inscrit un dodécagone. Puis par des circonférences concentriques aux premières, on détermine d’une manière à peu près libre les étoiles.

Pl. 128. — Plan trigone. — Répartition hexagonale de deux rosettes différentes, l’une de douze et l’autre de quinze mailles. Par les sommets et le centre de l’hexagone décrire des circonférences égales et tangentes, et les subdiviser, celles du sommet en trente parties égales et celles du centre en vingt-quatre parties égales. Par le centre décrire une circonférence concentrique avec un rayon égal au 1/3 du rayon de l’hexagone et v tracer une rosette dodécagone. Par le point de rencontre des seconds rayons voisins du rayon de l’hexagone, décrire une circonférence tangente à celle qui inscrit la rosette dodécagone et tangente à une autre circonférence décrite des sommets. Puis enfin, par des circonférences concentriques et décrites avec des rayons à peu près arbitraires, on trace les rosettes pentédécagones.

Pl. 129. — Plan cai'ré. — Par le centre on décrit une circonférence tangente aux côtés du carré ; puis à l’aide de circonférences concentriques et décrites d’un rayon à peu près arbitraire, on trace des rosettes de seize mailles. Par les sommets du carré on décrit une circonférence tangente à la première et on y inscrit une rosette octogonale.

Pl. 130. — Plan carré. — Par le centre du carré on décrit une circonférence tangente aux côtés et une circonférence concentrique avec le 1/3 de la demi-diagonale. On trace la rosette rectiligne de seize mailles et l’on substitue des arcs aux traits rectilignes. Le reste comme ci-dessus.

Pc. 131. — Plan carré. — On subdivise l’espace environnant le centre en trente-deux parties égales, et l’espace environnant les sommets en vingt-quatre parties égales. Par le point de rencontre du rayon voisin de la médiane avec le côté du carré, on décrit un cercle tangent à cette médiane. Puis, par le point de rencontre des deux rayons voisins de la diagonale, on décrit un cercle tangent aux rayons voisins. Par le centre et le sommet on décrit successivement un cercle tangent au premier, puis au second-, et l’on achève les rosettes avec l'aide de circonférences concentriques d’un rayon à peu près arbitraire. Les rosettes sont ensuite transformées en rosettes curvilignes. L’angle déterminé par la rencontre du rayon et du côté est égal à 1 /S6 près à deux fois l’angle au centre de l’heptagone ; on a donc, par suite, un heptagone de raccord que l’on peut considérer comme suffisamment régulier.

Pl. 132. — Même tracé préliminaire qu’à la pl. 131. Seulement ici les rosettes sont étoilées et aboutées par les pointes.

Pl. 133. — Plan carré. — On subdivise l’espace- environnant le centre en trente-deux parties égales ; puis l’espace environnant le sommet en vingt-quatre parties égales. Par la rencontre des deux rayons voisins de la diagonale, on décrit une circonférence tangente à la diagonale et par suite aux rayons voisins. On divise cette circonférence en sept parties égales (l’angle des deux rayons est égal à 1/168 près à trois angles au centre de l’heptagone), et l’on y mène les diagonales do 2 en 2 divisions. On a ainsi un heptagone auquel on mène des circonférences tangentes par le centre et les sommets et dans lesquelles on inscrit les rosettes de seize et de douze mailles par les prolongements des côtés de l’heptagone et à l’aide de circonférences concentriques décrites avec un rayon à peu près arbitraire. Par la rencontre du rayon voisin de la médiane avec le côté on décrit une circonférence tangente à la médiane, on la divise en quatorze parties égales et on y inscrit finalement un heptagone étoilé.

Pl. 134. — Plan carré. — Subdiviser comme précédemment en trente-deux et en vingt-quatre parties égales l’espace environnant le centre et les sommets, puis en quatorze parties égales, l’espace environnant, le point de rencontre du rayon et du côté. Par le point de rencontre des deux rayons voisins du côté, on décrit une circonférence tangente au cercle qui est tangent à la médiane, et on la divise en cinq parties égales (l’angle des deux rayons est égal à deux fois l’angle au centre du pentagone à 1/20 près environ, exactement 23/480). Des circonférences tangentes à celle du pentagone, inscrivent les rosettes de seize et de douze mailles.

Pl. 133. — Transformation de la grande rosette rectiligne du n° 134, ligne. Le surplus est identique dans les deux figures.

en une rosette curvi-

Pl. 136. — Plan trigone. — Répartition hexagonale. On subdivise : 1° l’espace environnant le centre en trente-six parties égales; 2" l'espace environnant les sommets en dix-huit parties égales et 3“ l’espace environnant le point milieu du côté en huit parties égales. Par la rencontre de trois rayons, on fait passer nue circonférence dont le centre est le point milieu. Des sommets et du centre de l’hexagone on y mène des circonférences tangentes et qui inscrivent des rosettes de dix-huit et de neuf mailles. Le reste est affaire d’ajustement.

Pl. 137.— Pian trigone. — Répartition hexagonale. Subdiviser l’espace environnant le centre en trente-six parties égales, et l’espace environnant les sommets en vingt-quatre parties égales. Parle point de croisement des deux rayons ^voisinant le côté, on subdivise l'espace environnant en sept parties égales ou à peu près égales (l’angle des deux rayons est égal à trois fois l’angle au centre de l’heptagone à 1/21 près). En s’arrangeant de manière à ce que deux côtés de l’heptagone prolongés se coupent au point milieu du côté de l’hexagone, l’heptagone se trouve déterminé, et, par suite, les rosettes de dix-huit et de douze mailles.

Pl. 138. — Plan carré. — Subdiviser l’espace environnant le centre en vingt-quatre parties égales et l’espace environnant les sommets en quarante parties égales. Par le point de rencontre du second rayon du sommet avec la médiane, on décrit un cercle, puis du sommet un autre cercle tangent au précédent, on y inscrit une étoile et on achève la rosette à peu près à volonté. La rosette étant achevée, du centre on y mène une circonférence tangente dans laquelle on inscrit une rosette de douze mailles. Le reste s’ensuit par ajustement. L'angle du second rayon avec la médiane est égal à deux fois 1 angle, au centre de l’heptagone à 1/18 près (exactement 2/38). On peut donc tracer un heptagone qui sera sensiblement régulier.

Pl. 139. — Plan trigone. — Distribution du dodécagone, de l’hexagone et du carré assemblés. Par le point milieu des côtés du dodécagone, on mène les diagonales de 8 en 8 divisions; on a ainsi quatre trigones entrecroisés ; on y inscrit une étoile et la rosette de vingt-quatre mailles se trouve achevée. Dans l’hexagone on décrit du centre une circonférence tangente aux côtés des trigones inscrits, et on y inscrit deux trigones entrecroisés. Un losange trigone est inscrit entre les deux côtés opposés du carré. Enfin, par des tricèles révolvés on raccorde toutes les lignes prolongées et la nappe est achevée.

Pl 140. — Plan trigone. — Distribution du dodécagone, de l’hexagone et du carré assemblés. On inscrit dans le dodécagone une rosette de vingt-quatre mailles, dans l’hexagone une rosette de douze mailles, et enfin dans le carré une rosette de huit mailles. Les rosettes tangentes deux à deux, se trouvent raccordées entre trois par un petit hexagone irrégulier.

Pl. 141. — Plan trigone. — Répartition hexagonale suivant le réseau du dodécagone, de l’hexagone et du carré assemblés. On inscrit dans le dodécagone une rosette de douze

mailles, dans l’hexagone une rosette de six mailles hexagones. Le carré inscrit, comme raccord des rosettes, un octogone mi-régulier, c’est-à-dire de symétrie gironnée.

Pc. 142. — Plan isocèle ou losange. — Subdiviser l’espace environnant les sommets du losange en vingt-quatre parties égales, et l’espace environnant le centre en douze parties égales. Au point de rencontre de deux rayons perpendiculaires l’un à l’autre, subdiviser l’espace environnant en huit parties égales. Les rosettes et l’octogone sont les mêmes que dans l’épure précédente. De petits hexagones réguliers raccordent les figures principales.

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