X -\- 'xy = X; d'où

d^z , /rf2- a dz

-Tz ^' IV = toncl. holûin. de A, z, -y-.y y

toutes les dérivées sont positives à l'origine; d'où le lliéorème annoncé.

Nous allons, pour bien préciser le degré d'exception d'une caractéristique d'ordre deux, démontrer ce théorème de M. Goursat :

Par une caractéristique d'ordre deux (S^ — 4RT n'étant pas nul) il passe une infinité de surfaces intégrales. Il existe une injiniié de surfaces intégrales ayant avec l'une de celles-ci un contact d'ordre n {/i quelconque) tout le long de la caractéristirjue.

Si l'on appelle sous-caractéristit/uc la multiplicité ponctuelle contenue dans la caractéristique, l'on peut d'abord supposer que l'équation donnée Fznoa subi une transformation j)oncluelle et (jue la caractéristique est représentée par

sous-raiiictc'iisliquc, ;ixc oar,

n=fi^), s^f'{x), t = o(x).

Faisant alors

CH.\P. II. — ÉQUATIONS Dtl SECOND ORDRE A DEUX VARIABLES. 19

ce système devient

Quelle est alors la forme de l'équation, transformée de F? Nous nous plaçons autour de Vorig^ine .v^=:yz= z. .. = ^-tr:o,

To dx- — So do- dy = Ru dy- = o

doit donner dy = o, donc T„ ir: o, donc Sq ^ o (sinon

•^0 — ^ RoTq

serait nul), on peut donc écrire l'é(|uation

Nous sommes dans le domaine analytique, 4' est une série convergente autour de l'origine.

Changeons x en x -\- ky et nous n'aurons pas de terme en /■ seul.

Or, la caractéristique est, d'une part, donnée par (I). D'autre part, elle est représentée par

; F = o, dy = o, dz = p dx, dp — r dx^ dq = s dx

(II) -, ^ ds . . -, ^ dt

cl \i -1- h -^— = o ou l)ion 1 1 -H b -7- =0.

' dx dx

Donc l'on doit avoir, sur ox,

àt ox Oy

en vertu des équations (I), X, se réduit à — et Yj à j- •

Donc

*=2Aa.,.>..ra...A,

le sisne >^ excluant tous termes en x", Vd?", ix"^ et celui

en r seul.

Formons la série formelle relative à .v — 4> rr 0 en recherchant une intégrale z{x, y) qui soit nulle sur ox, égale à 'l>{y) sur oy, et analytique autour de x =: y r= o.

Au point O, toutes les dérivées p%Q et p^^. sont connues d'après ces données.

Puis, d'après (i),

L'on a

P---6jr

tPo\

Les termes soulignés sont nais en O.

Fig. -.

r>fl>

1 — /'ii-i--; — /'02-+- -, — p-21

Dans les autres l'on a des dérivées nulles en O. Donc en O

L'on a

P''= d^-^ IFJ'^'^ De même Montrons que l'on a

-, />20-|- -^1 Pm

Pi 1 = "•

<lp2n

Pîo-

7^3 1 — Pi \. — Pâi

àpo:

Pli-

C'est le point capital à éclairer.

Supposons que ces relations ont lieu jusqu'à />?j,, /->°2 *^*^ montrons qu'elles ont lieu pour Pn+i,i, Pn+i,^-

Or, tout lernie de p^^zn'P contient l'un des facteurs

Dérivons n fois en x. D'après la formule de Leibniz, nous avons encore, en facteur, l'un des termes \y, z, ..., l\,

|/'30l • • ••) /'/Z-H2,o|, 1/^11) /'m ■ ■ ■ ■ Pri,l, Pn,i\-

Donc

Ecrivons, d'ailleurs,

Pt2 ==^V ■+■ H/)21~V- T/A,3.

Dérivons « fois en x, d'où

/?„+,, 2= A 4- li -hC.

CHAP. II. — KQl AXIONS DU SECOXD ORDRK A UELX VARIABLES. 3l

Le terme A, provenant de W, pareil à *, est nul en O. Ecrivons

Comme R est /iid en O, B est encore nul en 0. Enfin T, comme W, a la même forme que *, donc, si Ton écrit

dx"^

T«/>u3-+- T„,/Ji3 — . . .-f- Tpns,

tous les termes T/,, T sont nuls en O. Donc enfin

Ainsi, dans la série tous les termes contenant y ou j'* sont nuls et l'on a

2= ^03jK^H- C,3.TJK^-i- GolJK^— C.2 3a72j/3-f-. . .,

:; est bien tel que, sur l'axe oa:, l'on ait

i=zp = q=:r^=s=:t = o,

ce qui était exigé.

Or, il y a une infinilé de séries pour z puisque <!'(/) est arbitraire.

11 suffit désormais de montrer qu'ayant pris, dans ^{y)^ {n — 2) coefficients arbitraires, l'on peut prendre les suivants tels qu'il y ait convergence. Cela résultera de ce théorème de M. Goursat :

Soit une équation

manquant de termes en r seul et t seul, holomorphe autour du point Xq, yu, . . . , /q»

Soient de même ^ et 'i* deux fonctions holomorphes avec

Il y aura une inté<:rnle holomorphe prenant des valeurs

données sur des parallèles aux axes, soit

= <p(.p) pour J'=ro, — 4'(J') pour x — x^.

L'on re tu place ; par :; + (^(a;) + '^(,>') — ^O) ■'' par ^o+ -^'i y par Vq + y' el alors les valeurs données devienneol zéro sur les axes ox\ oy' . Puis l'on remplace :;' par z" -\- axy, pour faire disparaître la constante, d'où la forme

i-iY + «3S -+- a^p -^ a^q ^ *2,

i', étant du degré deux.

Avec la majorante

^ m-mi:

et la variable unique X=:^'-t-y, l'on est ramené à une équation différentielle m

d^-z j/d'zy M

^X?~n^^V ~ V dz ^'

telle que toutes les dérivées soient positives en O..., ce qui prouve le théorème de M. Goursat.

3. Théorème de M. Hiquier. — Au point de vue qui nous intéresse spécialement, savoir : équations à coefficients réels et à caractérislûiues réelles, nous venons de démontrer un théorème important. Soit

(i) s = n.x -h '^y ->!- '(z -^ t^p -^ '^xq -\- a r -\- ht -\-

Si a = 6:=o, nous avons obtenu une solution holomorphc, prenant des valeurs données surO.r, Oj',qui sont les directions caractéristiques à Poriglne.

On peut aller plus loin. Prenons ces données nulles.

Soient a et h non nuls, tels (|ue l'on ait

I — ,\ab > o.

Les directions caractéristiques sont donc réelles, à l'origine. Si l'on a, en outre,