CHAH. II. — EQUATIONS DU SECOND ORDRE A DKIX VARIABLES. M

M. Riquier a montré qu'il existe une solution holomorphe (*). L'on passe aisément au cas de données quelconques.

On connaît le point de départ des travaux: de ce savant.

Soit un système différentiel résolu par rapport à certaines dérivées. L'on donne à chaque variable indépendante une cote égale à un et à chaque fonction une cote convenable, de sorte que la cote du deuxième membre ne dépasse pas celle du premier.

Supposons que ce soit possible.

Nous partageons alors les équations en groupes, relatifs à une même fonction inconnue. Si les groupes ne contiennent chacun qii une équation, le Mémoire cité résout le problème de l'intégration.

Sinon interviennent de nouvelles conditions (Comptes rendus, janvier 1908), et nous croyons savoir que M. Riquier va compléter et simplifier ses résultats dans un nouveau Mémoire. Mais revenons au point de vue de Cauchy, dit Calcul des limites, savoir :

1° Formation de séries formelles;

2° Preuve de la convergence par des majorantes.

M. Goursat est arrivé, récemment, à démontrer par cette voie le théorème de M. Riquier, et nous allons résumer cet important travail.

Dans le même ordre d'idées qu'au Chapitre I, n" 2, nous remplaçons a par aX, b par b\ ; nous regardons x,y^ 1 comme variables, et nous faisons jouer à X un rôle spécial, en cherchant une intégrale valable, lorsque X parcourt un champ réel Ut)' (intérieur à un champ (£)), contenant le point 4- i.

Nous écrivons donc la solution cherchée sous deux, formes (^)

(Si) Zo-hlzi -i-l^Zi -t-...-f-X«2„-f-...,

(S2) S Goc^y 37» ;KPXr.

Zn est déterminé par une équation

d^-z,i / à^-Zn\

où manquent les termes en /- seul et t seul.

(') Annales de l'Ecole Normale supérieure, 190:4. (^) E. GouK.sAT, Soc. math, de France, ujoG (Mémoire déjà cité dans le Chapitre I).

Scient ia, n» 29. 3

PREMIJERK PAKTIE.

Donc, flous soiniwes certains de Vexistence de «„, d'après ce qui précède.

Nous écrivons alors l'équation majorante

Pi

— IV] — M '^^ + l(\rhBt), K

.\ = |rt|, B = |6|,

l'on sait ce que sont iVI, p, pi, R.

h et / sont deux, paramètres compris entre o et i .

L'on est ramené à une équation aux deux variables îndé-

pendantes X et « =: "r- 4- ^ ? qui est majorante certainement

si l'on a

i — 4AB >o.

Conclusion. — Soit une équation générale, à caractéristiques réelles,

Soient deux courbes passant par l'origine, non tangentes; transformons ces courbes en axes OX, OY, d'où l'équation

W{\, Y, z, p', ..., t'}=^o, qui s'écrit aussi bien, en remplaçant X, Y par x, /,

S = S(i-\-'XX-+-...-i-C

bt

Posons

z = 5o xy 4- z .

Nous avons une équation (j).

Si donc l'on a

I — /) ab > o, 1 4 ^'^^ > o,

l'on peut déterminer une solution holomorplie par la condition de contenir, à l'origine, deux courbes gauches données.

L'on voit ce qui reste à faire et l'évolution suivie à partir du problème de Gauchy.

Nous allons maintenant nous placer à un autre pointde vue.

CHAI». II. — EQUATIONS W SKfM)Xl» <^«4vKi: A DEl X VAIUABLKS. 'iS

Note. — Signalons seulement (cela résulte de la théorie des caractéristiques) que, par l'emploi des variables caraclérisli(/(tes, on racnène immédiatement les équations

""l^^-^'^d^^'Up =-^ (*■' ■>'' ^' P^ ^>' a, b, c étant fonctions de x, y , avw formes canoniques (')

j;r2 -^ TT^ =/' ^ype elliptique,

Ô.V- dy- &iz

dx dy

= y, » hyperbolique,

-— , = y, » parabohque.

Ceci est d'autant plus important que, dans le cas de n variables indépendantes, on n'a plus un nombre fini de formes canoniques.

La Thèse de M. Emile Cotton {.'Inn. de la Fac. de Toulouse, 1899) le prouve, en rattachant le problème à celui des invariants et des co\'ariants des ds^. ( Voir les Travaux de Christoffel et Sophus Lie et un second Mémoire de M. Cotlon, Ann. de l'École Normale, mai 1900).

(') Camille Jordan, Cours d'Analyse, t. III, p. ih'^.

CllAPJTUE III.