ÉQUATIONS DU TYPK HYPERBOLIQUE A DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES
Dans ce qui précède les données et la solution étaient analytiques, et nous obtenions, par suite, cette solution dans un domaine a-^sez restreint. C'était, suivant l'expression de M. Hadamard, une solution locale, mais aussi l'on atteignait les formes les plus génrrales d'équations.
iNoiis allons maintenant prendre des formes d'é(|ualii)ns assez parlicu Hères, assez simples, et inversement étudieileur intégration dans un domaine plus étendu et dans les conditions générales, c'est-à-dire que les fonctions employées sont simplement k fois dérivahles. L'instrument de recherche sera alors, tout nalurellenient, non plus la série de puissances entières, mais bien, dans la méthode de Riemann, Vintégrale de contour et, dans la méthode d'approvimations successives de M. Picard, la série de fonctions continues, uniformément con\'eigente.
1. Méthode de Rieimann. — La méthode de Riemann donne l'intégration de
d'^z dz , dz
a — -+- O r- CZ = o,
Or ây Ox dy
étant données, sur une courbe, les valeurs que prennent la solution z et sa dérivée conormale (qui va être définit;).
La courbe frontière [iy n'est rencontrée qu'en un point par une parallèle aux axes.
Si par un point A on mène des parallèles AB, AG aux axes, les données sur l'arc BC définisseiil la valeur de z au point A.
(J'est un théorème donné par Iiiemann dans un cas plus simple, et l'extension est due à M. Darboux {Théorie des surfaces, 1. 11 ).
Soit 12 le contour ACI'BA et (12) l'aire qu'il limite, on a ces relations, P et Q, u, v étant des fonctions de jc, /, conti-
CHAI». III. — ÉQUATIONS DC TVI'i: IIVI'KRBOLIQUE, ETC. 37
nues et dérivables,
'''' IL: ^ ■'^ "■'' = -i" '^ ''" -JL t "^ "^"^^
les intégrales le long de Q étant prises dans le sens qui amène Ox sur Oy par une rotation de 90°.
FiK. S.
Quand il n\' aura pas d'ambiguïté à craindre, nous repré-
â-z „ dz dz
senterons
- — — par 5 , -7- par s, et -r- par. 2,
Cela posé, avec Riemann, ajoutons à Téquation (1) o = F = z"^ azi-h bz^-i- cz
une a (//'ointe
qui devra être telle que Ton ait
(uF — zGirh- dv = I M dy — \ dj
ff
iv = fudy
Appliquons les formules (3), (3') et faisons A = — <i. B = — h pour faire apparaître les combinaisons
auzi -h azui = i auz)i — uzrti, hu Zi-\- b z 11.^ = ( bu z I ) — // :; A...
Le premier membre de (4) prend la forme / j (c — C — Ui — b.,) uz dx dy -+- / auz dy — buzdx-k- / uz-y dy -ir zux dx.
Nous n'avons qu'à poser
alors G est déterminé.
HlmjîJoyons l'identité
o= / {uz)f dx -h {us),,dy
et la (leu\ièi)ie intégrale curviligne devient
(I) - / u(z.2dy — Zi d.r) -\- z(uidx — Uidy).
L'on introduit ici la <Y/rec/«o« co/?or/na/e d'après M. d'Adhémar {Comptes rendus, février 1901).
Si les axes tournaient de 45°, l'équation (i) serait de la forme
(92 z fT- z dz ,^ Oz
Dans ces conditions, n étant la normale' à la courbe portant les données, on définit la conormale N comme symétrique de la normale par rapport à l'axe des X.
Avec la forme (i) la conormale devient s^j^métriquc de. la tangente par rapport à l'axe des x
. dx dx dy dy
^ ^ d^ ~ Th" 7m '"~ds'
s étant le contour i>, ou bien :
^ d d dx d dy
^ dN "^ dx ds ~ ày d^ '
Si z est intégrale de (i) et u de (2), l'équation {f\) devient donc
(7) o=J^^auzdy~/n.zda>^^^J^^(^z.^--u^yh.
dz Supposons donc (lue z et —rr, sont donnés sur BG.
L'expression (I) s'écrit aussi bien
CHAP. III. — ÉQUATIONS Dl" TYPE HYPERBOLIQli:. KTC 3;)
L'expression (7) comprend irois termes
/ {zu\ — buz)dx — -\(uz)yi — {uz)\] = iz,
/ {auz — zui)dy -\ \{uz)\— {uz)c] = h-
Si l'on peut déterminer u. annurant (2 ) et tel que
-r bu = o sur AB, pour y — yo,
ôx
au -rr;
rr aM = o sur AO, pour x ^ Xq,
on voit que {uz}x est connu, donc z est connu au point
dz A{j:q, Yo) 6" fonction des valeurs de z et -7^ sur l'arc BC.
L'emploi de la conormale rend intuitif ce théorème complémentaire :
Si la courbe BCse compose de deux parallèles aux axes,
il suffit de donner sur BG la valeur de z, car celle de -j^
en résulte immédiatement .
Ainsi le problème de Riemann est ramené à celui-ci : trouver une intégrale "(^oj/o» ^if) ^^ l'adjointe (2) connaissant ses valeurs :
I j b dx
1 e' ^0 sur AB,
1 f ady
/ e >■" sur AG,
' M = [ au point A.
L'adjointe u{Xq, y^\ ,r, y) ne Sraurait, en général', être connue explicitement, en fonction des transcendantes classiques.
2. Fonction de Riemann. — Nous donnerons le moyen, d'après M. Picard, de la calculer sous forme de série de fonctions. La mélliode de M. Picard ajoute d'ailleurs un complément fondamental à celle de Riemann. Elles se complètent
4o PUEMIiaiK PARTIR.
Tune l'autre et cliacuiie est susceptible des plus larges extensions.
Admettons donc, pour l'instant, qu'il existe une fonction de Kieniaiin. Nous avons {voir G. Oarboux) :
{uz)u^{u:- )v. .
■) J. — I au.z dy — hu z dx / \ z —r— — n -^ \ ds.
Supposons que le contour BC se compose de deux parallèles aux axes BD et DC.
Faisons sur ces droites les mêmes intégrations que sur AB et CA, il vient
(UZ)C («2)1)
(uz)n—{uz)c
âz\
— / u ( a z -\- ^ ] dy,
G ^— D(.ri,ji)
^(uz)y,-^J^ -u(^az-^^-±yfy^£ u{bz^^±^dT.
Si maintenant nous posions
h z -h — = o sur DG,
àz az H — — = o dy
sur BD,
z = I ;ui |)oinl Df^r-j, jki)i
ce qui reviendrait à regarder z comme l'adjointe de // (au lieu de u comme adjointe de s), nous aurions
ou, pour préciser,
z(Xi,yx; 370. jKo) = "(^0, JKo; ^i,7i)- Donc nous pouvons échanger u et ;; à condition d'échanger
EQUATIONS DU TYPB HYPERBOLIQUK, ETC.
les rôles de -r, y et .foi.7o> ^" regardant ^-j y comme />rt/77mètres et ^o)/o comme variables.
\ u(xo, jKo! 27, jK) fisl solution de l'adjointe ;
/ u(x^y, .r„,jyo) est solution de la priinilive équation.
La fonction de Rieniann. sous ce rapport, est analogue à la fonction de Green. (Problème de Diiichlet).
3. Méthode dk M. E. Picard. — La détermination de l'adjointe pose donc le problème de trouver l'intégrale d'une
Fig- 9-
/fl
o.yo)
Fis- lo.
équation linéaire hyperbolique étant données ses valeurs sur des parallèles aux axes PQ, PR. Nous commencerons par le cas simple de l'équation
àx dv
oiz -+-f{x, y) (a = const.),
pour montrer l'élégance des approximations de M. Picard.
Représentons par z" la dérivée seconde et considérons une série de fonctions z,,, ^,, z^^ ... définies par la chaîne d'équations
<=fi-r,.y) \
z" = aS| / toutes ces fonctions étant nulles sur PQ et QK.
Représentons par p^ l'aire du rectangle de sommet A s'appuyant sur RPQ, par p,- l'aire du rectangle de' sommet ($, r, )
4ï PREMIERE PARTIE.
s'appuyanl sur RPQ. Il est immédiat que l'on a
*o (^0, yo)= I I /(x, y) dx dy ; z^\\, r,) = jj /(a.-, y) dx dy, "Po" p.-
^ii^oryo)= I I oi:.^,d.Tdy; zi(|,-»^)=/ iazadxdy.
f{x^y) étant fini et continu, quel que soit (^, tq) dans p(, l'on a, N étant un nombre assignable :
d'où
Mo(^r,)|<N;
/ / (l-^dy
< aN.roro,
I ^\i^^^,y«) 1 < aN de même d'où
|--2(.r«,jKo)l<a'-N f ^ .ry dx dy < oi'-N^ ^ ,
|::,(tYi)|<aN^r,,
h,('^o,yo)\ <*"N.
n\ ni
La série ^.^-ni-^oi J'o) converge don© ab«oiuinent et inniforménient, quelque grands que soient les segments fixes PQ,
Il en est de niênic de la série
d.rg àyo
puis(]ue
Ox^ ûy^, Doiir l'on peut écrire
Donc \^z„=z z intégrale chercliée. nullte sur R'PQ.
Si l'on donnait la valeur de :; sur PyrrF(a7) et sur
CHAP. III. — ÉQliATIOXS DU TYPE HYPERBOLIQUE, ETC. 4^
IM\ = G(y), l'intégrale cliercliée serait
l^ = F(P) = GfPj.
Supposons maintenant que pour la même équation Ton
donne ;; et -^ sur un arc de courbe RBCQ coupé toujours en
un seul point par une parallèle aux axes.
Appelons Xi l'abscisse du point fixe R extrémité de Tare
donné et Y, l'ordonnée du point fixe Q.
dz Soit f{x) ]^ valeur connue de — au point (c^y) de la
courbe RQ et '\i{y) la valeur connue de -p au même point. Posons
F (a:) = / <^(x)d.K quel que soit x,
G(y) = j '\i(j-)dy quel q,ue soit ^.
La fonction F{x) -i-G{y) est une première partie de Fa solution. C'est une fonction qui, ainsi que ses premières dérivées, prend les valeurs données sur RQ. Nous avons alors à trouver une fonction nulle sur RQ. 11 suffît, pour cela, d'écrire le même système d'équations, en faisant les quadratures, non plus dans les rectangles p^, mais dans les triangles correspondants, formés par \\Q el les parallèles aux axes issues de (^, r, ).
Pour prouver la convergence absolue et. uniforme de la série de fonGl/ùons obtemue, il suffit de majorer de la manière suivante :
On remplace la fonction par une limite supérieure de son module et Ton augmente l'aire de quadrature en remplaçant le triangle de sommet (^, r,) par le rectangle p,- de même sommet.
L'on passe maintenant au cas général très aisément, comme le fait M. Picard. Soit
dz , ()z j..
z'! r= a \- b \- cz -4- /,
ôx ()y
a, b / sont des fonctions continues de :r, r, donc finies.
L'on peut supposer / nul.
Gomme précédemment, Ton forme la fonction
;(,/•,,-) = Fi.7-)-4-G(j-) qui sera z^.
Puis l'on écrit la chaîne déqualions
z\= a- h h- ^ rzo
(J:r Oy
âZ, ÔZy ,
ÔT Oy
toutes ces fonctions ('lant nulles sur la frontière donnée.
Il faudrait, en détail, prouver la convergence uniforme des séries
"^ "^ ^-^»-l "^ àZn--\
Zà"""' ^ ÔT ' Zà dy '
d'oii il résulterait (jue :; = % g„ est l'intégrale. M. Picard
évite de longs calculs par une transformation simple.
Il existe deux nombres assignables K et M tels que, dans tout le champ d'intégration défini par le rectangle construit sur RQ, Ton ait
dzv, ~J7
h^^^czA<M.
Écrivons la chaîne d'équations lî', ï= M
âUi dy
Ml
,. /Ouo du-i \
u-, — K ( i — : 1- Ho
* \ dx ôy 7
tous les u„ <levant être nuls sur la froiiiiéie.
,. , v^ X.^ Ou,, v^ ôu,i ~
Si les séries >^"n, X -; — ' ^ ~i — convergeni, a jorLwri,
les mêmes séries en - convergeront.
M. Picard introduit ici une fonction entière de K. Les fonctions d'un paramètre se rencontrent aussi dans les problèmes de Dirichlet.
Soit
Un = K"-« U„,
CHAP. m. — ÉQUATIONS DU TTPK HYPEKBOLIQUK, ETC. 4f)
la série
