U,^-KU2+ K2U
si elle converge, est rintégrale de
dx dy \ <ix dy
laquelle devient, en posant U := eii(a:+/) y^
dx dy
Nous sommes ramenés au premier cas. L'intégrale V est une fonction entière de K.
Donc la série converge, donc > "« et > -j — ■> 7 — —
convergent absolument et uniformément, quelque grand que soit le rectangle donné de diagonale RQ.
On obtient l'intégrale en tout point de ce rectangle.
Il faudrait parler des équations ditlerentielles ordinaires, des équations du lype elliptique, des équations fonctionnelles, pour montrer tout le parti que M. Picard a tiré de sa méthode.
En restant dans notre domaine, signalons deux extensions très importantes de ce (|ui précède.
4. Extension de la méthode. — 1° Equation non linéaire. — Soit F(.r,y, 5, u, (') une fonction continue et satisfaisant à la condition de Cauchy-Lipschitz, savoir :
1 ^\x,y, 2', u', v')— F(a-,jK, z, u, v)\ < Ki\z'— z I
les K étant des constantes positives.
Les données étant les mêmes que précédemment, M. l^icard obtient aisément un rectangle de convergence pour les approximations :
ôzq dz^' dx Oy
f(^, JK. -0, —^y -,- )'
,^ = Y{x,y,Zu-^j,,—
d'où l'intégration, dans ce rectangle, de
d-iz ^J dz dz\
dxdy \ '■" ' dx dy J
1>I\1;.M1KRK PARTIK.
M. Bianclii a aussitôt fait usage de cette méthode pour l'équation célèbre (M
ôxdy
9° Nouvelles conditions aux iimi/es. — Voici une deuvième extension aussi importante.
Fiii- II-
M. Picard se donne les valeurs de z sur 01*, portion de l'are des x, et sur OQ, portion de la première bissectrice. Soit A un point (.To, /o). l'aire d'intégration po étant ombrée.
f f fK^,y)dxdy =^ ( dy I f{x, y) dx = u{xa, y^u
U est nul sur Ol', OQ, et l'on a
dxodyo
d'où la chaîne d'approximations. . . que ré(jualion donnée soit, ou non, linéaire.
5. Synthèse de la solution. — Considérons notre équation linéaire, intégrée, soit par la méthode de Riemann, soit par les approximations de M. Picard.
Nous sommes, mainlenanl, en mesure de faire la synthèse de la solution obtenue ])ar Riemann.
lin effet, la théorie de M. Picard montre qu'il existe au moins une adjointe u{x^, v^ ; x, y) continue. Mettons cette fonction continue dans la formule de Riemann qui nous donne la solution 3 (roi JKo) ■5' ^^^^ existe.
(') \j. r.iANciii, Leçons de Géométrie. — E. l'icvitr). Journal de M. Jordan, i^^^o, 189'i, cl Note insérée (lans la Théorie des surfaces, <Jc M. G. iJarboux, t. IV.
CHAP. III. — EQUATIONS DU TVI'E IIVPERBOLIQUE, ETC.
Soii une deuxième soliUion ^(a?^, j'^) définie par les mêmes données sur la courbe. Nous voyons que
II y a donc unicité de solution.
En second lieu, u{.x, y) étant co«^/«m ainsi que :;(j7o) /o)! si le point A {xq, y„) tend vers le point (i) sur la courbe frontière, z{x^, y^) tend vers la valeur donnée en (i).
La solution est donc valable.
6. Nouveaux problèmes. Prolongement de la solution. — Une question se pose maintenant, celle à\x prolongement de la solution. Il ne s'agit aucunement de prolongement analytique, mais d'un prolongement moins restrictif.
Voici deu\ remarques de M. Picard (*).
Cas A.
l'arc N'MN.
L'on donne z et une de ses dérivées sur
En tout point A, à droite de OM, Ion peut calculer z d'après les données de droite; en tout point A', à gauche, on peut calculer :; d'après les données de gauche.
Il n'y a aucune raison pour que, A et A' venant sur OM, les solutions se raccordent.
(j(is B. — L'on donne z seul sur OR et Q'Q^ d'où ^ en A, au-dessus de 0.2^ et en A', au-dessous de O.r. Ici il y a raccord sur ÔK, car, sur OR, l'on connaît
àz ,, . ,
ôz
Posons -^ 3= (1. L'on a, sur OR,
ôy
dq
dx
(') liidl. des^Sciences math., 1899.
PREMIKRE PARTIE.
D'où q{-x) sans ambiguïté puisque Ton connaît q en O. Donc :;, p, q ont mêmes valeurs sur OR. Il y a raccord.
7. Travaux de MM. Goursat et Hadamard. — Tout ceci peut être poursuivi si l'on remarque, avec MM. Hadamard et Goursat, qu'une large et simple extension du problème de M. Picard est possible.
Kisr.
l.'oii peut remplacer les données de M. Picard : valeur de z sur Ox et sur la première bissectrice, par celles-ci : valeur de z sur Ox et une cowr^e passant parO, située dans le premier quadrant.
Dans ces conditions on peut se donner : sur un arc M'O,
z et -^, et sur un arc OM, ;; seul, dri
En effet, les données de gauche déterminent z d'une manière unique et continue sur ON, et alors nous connaissons, à droite, la valeur de z sur ON et OM.
Montrons, d'après M. Hadamard, (ju'en un point \{j\,, j'q) l'on a une solution unique.
z est nul sur ON et sur OPM. Il est nul en tout
CHAI», m. — EQUATIONS DU TYPE HVPERBOLIQUK. ETC. 49
point A(.r(,, fo). Mettons Vindice i aux variables sur Tare OPM. La formule de Rieroann ne saurait ici donner la solution, mais la solution vérilie la formule, donc
o = ^A' = — / U çi clfx = -^ f u !f 1 dju
L' = u{o,jo; a?,,jKi).
Soit une fonction arbitraire 'i(7'o) et soit Y l'ordonnée du point extrême N; l'on a encore
o=/ '\'iro)dyo I Uoidyu
ce qui s'écrit
o = I 'i, dyx I •l'U dy».
Considérons maintenant l'adjointe U = «(o, yo? -^'i' JKi)» U existe au moins une solution de Véquation adjointe^ soit V, qui s'annule sur NM et prend sur OGBM la valeur arbitraire F(jKi). De sorte que l'on a l'équation
[d'après le n" 2 a devenant — a dans l'équation adjointe, avec U = ;: (^1, V, ; o,yo) adjointe de l'adjointe]. Faisons donc
il en résulte que l'intégrale
a la valeur arbitraire ¥{yy).
Or
o= / F<p, dyi,
donc cp" est nul^ donc s^ 6St /iw/.
Scientia, n° 29. -»
Telle est la belle démonstration de M. Hadamard {Soc. math, de France, 1900). Plus tard {Soc. math., 1908),
FiK. .5.
If
M. Hadamard a étendu à ce cas la solution de Riemann, par la fonction de Riemann-Hadamard , identique à celle de Riemann dans une région, et prolongée avec une discontinuité convenable au tlelà. H n'y a aucune difficulté à cela. {Voir aussi M. Brillouin, Comptes rendus, mars 1908). Enfin, M. Hadamard a traité le problème suivant {Soc.
math., 1904) :
dz ^ -, , f,
z el -rr, sont donnes sur iv,
z seul est donné sur 7 G et pB.
De son côté M, Goursat faisait une étude approfondie des équations
A/--+- iBs-i- Ct =f{x, y, z, /), q);
A, B, G dépendant de ./■, y seulement et en supposant les courbes données réelles. Ce sont les équations hyperboliques dont nous dirons un mot :
Il est à remarquer que, si le calcul fonctionnel commence à jouer un rôle immense pour les problèmes de Diriclilet, depuis les mémorables travaux de M. Fredholm, ici, des problèmes fonctionnels ont été la base des recherches de M. Goursat. En résolvant des questions telles que celle-ci :
7t(,r) et o}(,r) étant définis, trouver une fonction cp telle que l'on ait
çp I (o ( ,r )J — (f ( .r ) = 7: ( a: ).
M. Goursat parvient à intégrer l'équation par approximations successives, en avançant progressivement ainsi :
M. Picard se donnait z sur deux segments de l'axe O.r et de la première bissectrice. M. Goursat se dontu; ^ sur deux, courbes :
CHAP. m. — EQUATIONS DU TVPl!: Il YPlîKBOl.lQr lî, ETC. il
I ° J un .r et y — aj? (a > i ) ; 2° / =z mx ; y := /Wj a: ( /?i > o, m, > o ) ; 3° yt^j;; ^=:a)(^) courbe située dans le premier quadrant ;
Fig. i6.
Fig. .7-
4» y=rw(x) courbe ONB et j = (Oi(^) courbe OMA (A-.'i6).
Si les courbes étaient tlQ, 12P, nous aurions \q problème mixte dont nous avons parlé {fiif. 17).
Si les courbes étaient OR, OS, nous aurions le problème de Cauchy dans le premier et dans le troisième quadrant, sauf à avoir le raccord en O {fig- 18).
Les courbes ONB, OMA, sur lesquelles l'on donne z seul, doivent donc être dans un même quadrant.
Il faut remarquer que ces résultats s'étendent, en partie, aux équations du type elliptique. On peut se poser, à leur sujet, ou bien le problème de Diricklet : donnée sur un contour fermé; ou bien les problèmes étudiés ici {voir E. GouRSAT, Annales de la Fac. de Toulouse, 2* série, t. VetVI).
LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES A Tl VARIABLES INDÉPENDANTES.
La théorie générale des caractéristiques est acluellenu'nt assez avancée. Nous en donnerons une idée.
Nous nous attacherons ensuite à l'étude de l'équation
. , , . , du du du
f étant fonction de .r, r. z. u. -—, -—, -—•
•' ■' dx ôy dz
Si y était identiquement nul, nous aurions là une des équations les plus importantes de la Physique. A cause de cela, nous appelons (i) équation des ondes généralisée.
Nous verrons que ses caractéristiques sont réelles.
L'intégration des équations hyperboliques à 4 variables, du type (i) a été très avancée par l*oisson et KirchhofT.
M. Volterra a renouvelé la question par son Mémoire ('), en 1894, qui a provoqué un grand nombre de recherches.
Le problème est présentement en pleine évolution. La théorie générale des équations hyperboliques linéaires se dessine déjà cependant avec une certaine netteté.
( ' ) Acta ntatliematica, t. XVIII.
CHAP. 1. — THEORIE (iÉNERAl,!': DES CAR VCTÉRISTIQUES. 5}
